实际问题和一元一次方程-同步辅导.doc
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3.4 实际问题与一元一次方程 1.配套问题 (1)一般情况下,配套问题总有两种事物,一般不是1个配1个,而是1配多,或按比列配置.比如螺钉、螺母,且一个螺钉配两个螺母;桌面、桌腿,一个桌面配四条桌腿,等. (2)常用等量关系:个数相等.不管是2个配1个,还是4个配1个,通过乘以扩大倍数,得到两种事物个数相等从而列出方程.这是配套问题中的等量关系,也是列方程的方法. 析规律 配套问题 一般是用式子表示出各自的个数,再通过乘以倍数扩大数目少的或列比例式列出方程. 【例1】 某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个,若甲、乙两种零件分别取3个、2个配成一套,那么要在30天内生产最多的成套产品,应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数? 分析:可设安排生产甲种零件x天,那么(30-x)天生产乙种零件,x天生产甲种零件180x个,(30-x)天生产乙种零件120(30-x)个,根据比例关系可知甲∶乙=3∶2,或甲×2=乙×3,列出方程求解. 解:若安排生产甲种零件x天,那么生产乙种零件(30-x)天,根据题意,得180x∶120(30-x)=3∶2(或列式子:2×180x=3×120(30-x)). 化简,得360x=360(30-x),解得x=15,30-x=15. 答:安排生产甲、乙两种零件各15天,能生产最多的成套产品. 2.工程问题 (1)基本关系量: 主要有三个量:工作量、工作效率、工作时间.在工程问题中,通常把全部工作量表示为1,如果甲单独完成一项工作需要n小时,那么平均每小时完成的工作量就是.其中即是1小时的工作量,也是甲的工作效率(工作效率:单位时间完成的工作量). (2)基本关系式子:①工作量=工作效率×工作时间;②工作量=人均效率×人数×工作时间. (3)常用等量关系:①各阶段完成的工作量之与=完成的工作总量; ②各人完成的工作量之与=完成的工作总量. 解技巧 工程问题的解法 ①在同一工程问题中,一般都有两个或两个以上的工作效率,相对应的就有两个或两个以上的工作时间,但不论何种情况,应注意:必须是相对应的工作效率乘以工作时间才是工作量.②先干、后干或是甲干、乙干,只有全部完成,才等于1,只是完成部分,工作量就不是1,工作量要由具体情况得出. 【例2-1】 一件工作,甲单独做20小时可以完成,乙单独做12小时可以完成.现在先由甲先做4小时,余下的工作由二人合作完成.问余下的部分二人几小时可以完成? 分析:把总工作量看作“1”,由题意可知,甲的工作效率是,乙的工作效率是.若设余下的部分二人合作需要x小时完成,则根据“甲先做4小时的工作量+甲、乙二人合作的工作量=总工作量1”列方程解出. 解:设余下的部分二人合作需要x小时完成,则++=1,解得x=6. 答:余下的部分甲、乙二人用6小时可以完成. 【例2-2】 某中学的学生自己动手整修操场,如果让初一学生单独工作,需要7.5小时完成;如果让初二学生单独工作,需要5小时完成.如果让初一、初二学生一起工作1小时,再由初二学生单独完成剩余部分,共需多少时间完成? 分析:初一学生的工作总量+初二学生的工作总量=全部工作量. 解:设还需要x小时完成,得 ++=1,解得x=, 所以共需要:1+=(小时). 答:共需小时完成. 3.营销问题 营销问题是应用题中最重要的一部分,也是在中考中出现最多的题,这类问题术语较多、数量关系较复杂,使得题目变化较多,题目难易程度不一,并与我们的生活联系最密切. (1)关键词:成本价(进价),标价,零售价;利润,利润率;折扣数(打x折),盈利、亏损、让利、买入(价)、卖出(价)等. (2)常用等量关系 ①售价、进价、利润、利润率的关系式: 商品利润=商品售价-商品进价. 商品利润=商品进价×利润率. ②标价、折扣数、商品售价关系: 商品售价=标价×. ③商品售价、进价、利润率的关系: 商品售价=进价×(1+利润率). (3)列方程常用等量关系 ①同一个量的不同表示结果相等.最常用的就是售价-进价=进价×利润率. ②根据上面的公式设未知数列方程. 谈重点 营销问题 运用方程解决有关市场营销问题的关键:一是抓住其中的两个基本等量关系:利润=售价-进价,利润=进价×利润率,再就是弄清成本价(有时是进价)、售价、零售价、标价、打几折、打折后的实际售价、利润、实际利润、实际利润率等的关系,只有理清它们之间的关系,才能寻找正确的等量关系,列出方程. 【例3】 某商品的零售价是900元,为适应竞争,商店按零售价打9折(即原价的90%),并再让利40元销售,仍可获利10%,求该商品的进价. 分析:实际售价是900×90%,实际利润是在原利润的基础上让利40元,设进价为每件x元,根据实际获得的利润(不同的表示法)相等列方程求解. 解:设该商品的进价为每件x元,依题意, 得900×0.9-40=10%x+x. 解得x=700. 所以此商品的进价是700元. 4.销售中的盈亏 (1)意义:学会通过计算进行比较判断的理性决策方式,认识盈亏需要通过计算,用数据说明问题. (2)根据营销问题中的计算公式、法则分别进行计算,综合比较判断是盈是亏,方案是优是劣,以及怎样才能获得更大利润效益. 【例4】 新华书店一天内大批量销售了两种书籍,甲种书籍共卖得1 560元;为了发展农业科技,乙种书籍送书下乡共卖得1 350元,若按甲、乙两种书籍的成本分别计算,甲种书籍可盈利25%,乙种书籍亏本10%,试问该书店这一天两种书籍共盈利(或亏本)多少元? 分析:分别计算出两种书籍的进价支出,与售价收入对比求出. 解:设甲种书籍的成本为x元,乙种书籍的成本为y元, 则甲种书籍:(1+25%)x=1 560, 解得x=1 248. 乙种书籍:(1-10%)y=1 350. 解得y=1 500. 所以盈利: (1 560+1 350)-(1 248+1 500) =162(元). 答:该书店这一天售出两种书籍共盈利162元. 5.球赛积分表问题 (1)意义:了解现实生活中的体育知识,学会用数学的思想分析比赛,学会判断、决策,认识有些问题符合题意但不符合实际. (2)相关知识:①赛制:单循环、双循环、淘汰赛、决赛、半决赛等. ②积分办法:篮球:胜一场积2分,负一场积1分,没有平局情况;足球:胜一场积3分,平一场各积1分,输一场积0分. (3)理解:①通过观察表格发现、筛选有用数据,进行分析、计算、判断、决策. ②利用方程不仅能计算未知数的值,而且可以进一步进行推理. ③对于解决实际问题,检验解出的结果是否合乎实际意义是必要的. 【例5】 下表是某赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜: 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 八一双鹿 22 18 4 40 上海东方 22 18 4 40 北京首钢 22 14 8 36 吉林恒与 22 14 8 36 辽宁盼盼 22 12 10 34 广东宏远 22 12 10 34 前卫奥神 22 11 11 33 江苏南钢 22 10 12 32 山东润洁 22 10 12 32 浙江万马 22 7 15 29 双星济军 22 6 16 28 沈部雄师 22 0 22 22 (1)列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系. (2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? 分析:(1)从表格中最后一行看:负22场,积22分,可知负一场积1分.所以若设胜一场积x分,从表中其他任何一行可以列方程,求出胜一场的积分. (2)根据胜负积分及胜负场次列方程计算,观察结果,得出结论. 解:(1)设胜一场积x分,从第一行得出方程:18x+1×4=40,解得x=2. 所以胜一场积2分. 如果用M表示胜场,则负(22-M)场,胜场积分为2M分,负场积分为(22-M)分,总积分W,那么W=2M+(22-M)=(M+22)分. (2)设一个队胜了x场,则负了(22-x)场,如果这个队的胜场总积分等于负场总积分,则有方程2x=(22-x). 解得x=. 因为x=虽是方程的解,但场数只能是正整数,所以任何一队都不可能有胜场总积分等于负场总积分的情况. 6.图表信息题的应用 图表信息题,就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息,要求依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题.主要考查同学们识图看表的能力以及处理信息的能力.解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用,按照题意要求,准确地输出信息,结合所学知识,运用数学的手段加以解决. 解这类题的一般步骤是:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系;(3)选择适当的数学工具,通过建模解决问题. 【例6】 长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校七年级(1)、(2)两个班级共104人去游长风乐园,其中(1)班人数较少,不到50人,(2)班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以班为单位分别购票,则一共应付1 240元;如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节省不少钱.问两班各有多少学生? 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 分析:若设(1)班有x人,那么(2)班有(104-x)人,根据(1)班购票款+(2)班购票款=总支付款1 240元.列方程求出(1)班人数,再求(2)班人数. 解:设(1)班有x人,那么(2)班有(104-x)人,根据题意,得13x+11(104-x)=1 240.解得x=48, 所以,(2)班人数是104-x=104-48=56(人). 答:(1)班、(2)班分别有48人,56人. 7.银行利率问题解法 银行利率问题是应用题一种常见题目,也是居民生活与企业经营中经常遇到的问题.是与生活息息相关实用性较强的数学问题. (1)相关量名称:存款利率、贷款利率、年利率、月利率、利息、本金、本息与. (2)主要等量关系式: 利息=本金×年利率×年数. 利息=本金×月利率×月数(或×12个月×年). 本息与=本金+利息. (3)应用特点:①一般都是根据所给数据直接计算,以算式直接进行运算的方式较多,如计算所得利息,本息与,应交贷款利息等. ②随着人们投资理财意识的增强,通过计算选择最优方案问题最常见,且实用性较强. 破疑点 银行利率 银行利率问题是比较简单的问题,变化不大,很多时候就是用公式代入计算,只是很多学生不理解专业术语,这与接触、认识较少有关. 【例7-1】 某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元,甲种存款的年利率为5.4%,乙种存款的年利率为8.28%,该企业一年可获利息收入12 240元,问该企业存入银行的甲、乙两种存款各是多少万元? 分析:甲种存款利息收入+乙种存款利息收入=12 240元. 解:设甲种存款为x万元,则乙种存款为(20-x)万元,依题意,得x×5.4%+(20-x)×8.28%=1.224. 解得x=15.20-x=5(万元). 答:甲、乙两种存款分别是15万元,5万元. 【例7-2】 银行开办的教育储蓄,一年期、三年期、六年期的定期存款利率分别为2.26%,2.70%,2.88%.小华的父母为准备她六年后上大学的费用,决定现在就参加教育储蓄,他们准备存入10 000元,下面有两种储蓄方式: (1)直接存一个六年期. (2)先存一个三年期的,三年后将本息与自动转存下一个三年期.小华的父母不知选择哪一种储蓄方式获利较多,你能帮助他们吗? 解:(1)设直接存一个六年期期满后获利息为y元,根据题意,得y=10 000×2.88%×6=1 728(元). (2)设先存一个三年期的,三年后将本息与自动转存下一个三年期.期满后获利息为x元,根据题意,得x=10 000×2.70%×3+(10 000+10 000×2.70%×3)×2.70%×3=1 685.61(元). 显然y>x,∴小华的父母选择直接存一个六年期获利较多. 8.百分比问题 (1)意义:百分比问题在应用题中出现很多.百分比是最常见的描述数量变化问题的数据,随着经济在人们生活中重要性的变化,关于用百分数来描述经济问题的情况越来越多,因此在中考中出现的次数也越来越频繁. (2)主要题型:关于百分数的计算特别是在工作效率问题,营销问题中出现最多,此外在农业种植、工业生产、经济、人口变化、溶液浓度等问题中也经常出现.常常与增长(增加)、提高、降低、减少等联系在一起,用来描述事物等的变化. (3)应用注意事项:①应用百分比问题最主要的是弄清谁比谁的问题,也就是基数问题,比谁谁作分母,这是关键点也是易错点,如标价a元的某商品降价10%后,再提价10%,价格就不是a元,两个10%的基数不同(分母不同);②含百分数的问题大多不易理解,计算也较复杂,一般是采取类似于去分母的方法去掉百分数,变为整数解决. 【例8-1】 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析:把上个月石油进口量看作1,则这个月的进口量是1×(1-5%),上月的价格也为1,那么这个月的费用就是1×(1-5%)×1×(1+增长率),实际这个月费用是1×(1+14%),所以相等,列出方程. 解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x,根据题意,得(1+x)(1-5%)=1+14%. 解得x=20%. 答:这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%. 【例8-2】 一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%,而售价没变,所以该商品的销售利润率变成了多少? 分析:可设原来的进价为a元,原来的利润就是47%a,进价提高了5%a,现在的进价就是(1+5%)a,现在的利润就是47%a-5%a. 解:设这种商品原来的进价为a元,原来的利润就是47%a,进价提高了5%a, 所以现在的利润率==40%. 也可设现在该商品的利润率变为x%,得47%a-5%a=(1+5%)a·x%,解得x=40. 所以该商品的销售利润率变成了40%. 9.日历表中的方程问题 日历题也是一元一次方程中常见的问题,要解决这类问题,就要先熟悉一下月历,以2013年6月份的月历为例(其他月历也一样),每一行表示一周,而且每周是从星期日开始的,自左向右,后一个数都比前一个数大1;每一列表示相同的星期几,自上而下,下一个数都比上一个大7. 所以,日历问题实际上就是数列问题,如图:任意用一个正方形框出四个数,若设其中左上角一个为x,那么其他数分别是x+1,x+7,x+8,根据已知的与就可以列方程,求出日期,从而判断是周几或其他情况. 【例9-1】 本周的星期三到星期五这三天的号数之与等于18,你知道星期三是几号吗? 解:星期三为x号,那么星期四就是(x+1)号,星期五就是(x+2)号,根据题意,得x+(x+1)+(x+2)=18,解得x=5,所以本周的星期三是5号. 【例9-2】 小明与小莉出生于2001年12月份,他们的出生日期不是同一天,但都是星期五,且小明比小莉出生早,两人出生日期之与是22,那么小莉的出生日期是( ). A.15号 B.16号 C.17号 D.18号 解析:因为两人的生日不是同一天,但都是星期五,且两人都是12月生日,则两人的生日可能相差7天或14天或21天或28天,又根据两人出生日期之与为22,则两人生日不能相差28天,即两人生日只能相差7天或14天或21天三种情况.设小莉出生日期为x号,则小明的出生日期为(x-7)号或(x-14)号或(x-21)号,根据题意,得①x+(x-7)=22;②x+(x-14)=22;③x+(x-21)=22.分别解这三个方程,得x=,或x=18,或x=.因为日期为正整数,所以符合题意的只有x=18,即小莉的出生日期是18号.故应选D. 答案:D 10.设参数解应用题 在解百分比问题过程中,有些题目中的量必须用到,但又未给出,为使题目直观、明确,我们一般在设未知数的同时也设一个辅助未知数(参数),以便于题目的理解与应用,这就是设参数解题法,这种解法,在解题过程所设的参数未知数在解题过程中自然约掉,从而帮助我们顺利理解问题,解决问题.如:某商品降价20%后,若想恢复原价,需要在现价的基础上提高百分之几? 此题要求“提高现价的百分之几”,但题中没有给出原价,也未给出现价,由题意知,现价与原价有联系,若将原价设为a元,则现价就是(1-20%)a,再设需提高现价x%,那么价格就是a(1-20%)(1+x%),这样与原价持平,所以a(1-20%)(1+x%)=a,这就可以使题目明显化、直观化.在解题过程中,a就是辅助未知数,并且在解的过程中,根据等式的性质,a自然约掉.从而解得x=25.即需要在现价的基础上提高25%. 【例10-1】 苹果的进价是每千克3.8元,销售中估计有5%的苹果正常损耗.为避免亏本,商家把售价应该至少定为每千克__________元. 解析:有两种方法,一种是假设只进1千克苹果,那么设定价至少为x元,那么3.8×1=(1-5%)x,解得x=4.另一种设共购进a千克苹果,那么损耗就是5%a千克,同样设定价至少为x元,那么总进价就是3.8a元,损耗后的总售价是(a-5%a)x元.列出方程,可求得x=4.所以定价至少应该是4元. 答案:4 【例10-2】 高一某班在入学体检中,测得全班同学平均体重是48千克,其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%,而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重各是多少? 分析:设女生平均体重为x千克,则男生平均体重为1.2x千克.设男生有y人,则女生有1.2y人,则男生的体重是1.2xy,女生的体重为1.2yx,根据男生的体重+女生的体重=总体重列出方程. 解:设女生平均体重为x千克,则男生平均体重为1.2x千克;男生有y人,则女生有1.2y人, 由题意,得1.2xy+1.2yx=48(y+1.2y). 整理,得2.4xy=48×2.2y. ∵y≠0,∴2.4x=48×2.2. 解得x=44,1.2x=52.8(千克). 答:男、女生平均体重分别为52.8千克与44千克. 11.一元一次方程自编型题 在近几年中考题中,出现了一种新题型——自编题,它对能力的要求更高,要求同学们能在真正理解教材、掌握教材的基础上,达到变“学会”为“会学”的境界,同时也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念. 自编题一般给定条件,让编出一道符合条件的题目,答案都不唯一,并具有开放性.一元一次方程这章的自编题一般分为两类,一是自编方程,给出一个方程的解或再加其他条件限制,编写一道适合的方程;另一种是自编应用题:一般是给出一个一元一次方程,结合这个方程特点,发挥自己的想象力,从生产、生活的各个方面取材编写,编写一道符合所给一元一次方程的应用题,有时还要求出解. 【例11-1】 展开你想象的翅膀,尽可能多的从方程+=1中,猜想出它可能会是哪一类的应用题并将其编写出来. 分析:此题的方程可从教材中找到类似的原型,等于1,含分母,可以当作工程问题的原型,也可从其他方面入手编写,只要符合实际,所列方程是+=1即可. 解:如:向电脑输入一篇文章,若单独输入,小红需10分钟输完,小华需15分钟输完,若由小华先输入2分钟,余下的两人合作,问还需多少分钟输完? 【例11-2】 小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题.请你把空缺的部分补充完整,并求出结果. 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师,如果每人做5个,那么就比计划少2个;__________.请问手工小组有几人?(设手工小组有x人) 答案:如果每人做6个,那么比计划多做8个; 解方程5x+2=6x-8, 得x=10. 答:手工小组有10人. 12.选择最优方案的问题 运用数学知识解决生活、生产实际问题,一般地说要求学生具备以下三种能力:一、阅读理解能力,即要把实际问题转化、抽象、提炼为数学问题.二、数学建模能力,即列出数学式子并能对整个问题作出合理的数学分析.三、数学求解能力,要以科学知识为依据,善于灵活地、创造性地运用知识解决问题.最优方案选择,则是运用数学知识,选择最经济、效果最好的方法.从而在科学研究、生产实践等方面取得事半功倍的作用. 最优方案问题常见的题目背景一般有:(1)买赠活动 (2)活动组合选优 (3)买赠活动与打折 (4)电话计费问题 解决选择最优方案问题的基本的思路是简化事物,使问题变得简单而清晰.可以压缩表述事物的文字,使语言更加精炼.文字少了,自然容易弄清楚事物之间的关系.也可以重新整理描述事物的顺序,使应用题的脉络更加清晰. (1)用列表法化简应用题 (2)用图示法表示应用题 简单的说就是:一般设两种方式花费一样多时的情况,列出方程,求出临界点时的情况,再根据变化通过讨论,选择最优方案. 【例12】 根据下面的两种移动电话计费方式表,考虑下列问题. (1)若一个月内在本地通话250分,按哪种方式交费更合算? (2)在某地每月通话时间为多少分时,两种计费方式收费一样多? 方式一 方式二 月租费 30元/月 0 本地通话费 0.30元/分 0.40元/分 公告 用方式一每月收月租费30元,此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通话费;用方式二不收月租费,根据累计按0.40元/分收通话费. 分析:(1)分别计算一个月内在本地通话250分时,两种收费方式下需缴纳的费用,进行比较即可;(2)分别列出收费方式一、二下费用与通话时间的关系,即收费方式一,费用=30元+0.30元×通话时间,收费方式二,费用=0.40元×通话时间,令二者相等解出答案即可. 解:(1)一个月内本地通话250(分)时, 按方式一交费为:30+0.30×250=105(元), 按方式二交费为:0.40×250=100(元), 因此本地通话250(分)时,按方式二交费更合算. (2)设每月通话x分,按方式一要收费(30+0.3x)元,按方式二要收费0.4x元. 如果两种计费方式的收费一样,则0.4x=30+0.3x, 移项得:0.4x-0.3x=30, 合并同类项得:0.1x=30, 系数化为1得:x=300. 答:如果一个月内通话300分,那么两种计费方式的收费一样多.- 配套讲稿:
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