反比例函数图象的面积问题.doc

反比例函数图象中的面积问题
——苏溪镇中 陈瑗
一、教学目标：
知识与能力目标：
1、深入了解反比例函数式中的K的几何意义。     
2、理解反比例函数与图形面积的内在联系。
3、掌握运用数形结合法双向解决反比例函数与图形的面积数学问题。 
过程与方法目标：
1、通过探索反比例函数与图形面积的内在联系，理解反比例函数表达式的中K的几何意义。 
2、在解决问题的过程中，体会数形结合思想在数学应用中的重要地位。 
3、经历探索反比例函数与图形面积的内在联系，体会函数的思想与建模的思想在数学问题中的运用
情感态度与价值观：
1、 在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力，培养学生数学类比和数学建模思想。感悟数形结合思想方法。 
2、在问题变式中感受函数图象的简洁美，激发学生学数学的兴趣。欣赏和感悟，体验数学的价值。

三、教学过程
反比例函数 （k）的图像是双曲线，我们经常遇到与之有关的面积问题，现做一点分类探讨：
（一）面积不变性
反比例函数（k），动态演示任意一组变量的乘积为一个定值（面积不变性），即xy=k. 如图，，

P
1、三角形的面积
P

分析：以反比例函数上一点P向横纵轴做垂线，记作三角形的底，以P点关于原点的对称点P’亮点的横坐标之和为高线。所以，设点P（x,y），
结论1：图1三角形面积===k
结论2：图2三角形面积=

P
P

同理，以反比例函数上一点P向横纵轴做垂线，记作三角形的底，以P点关于原点的对称点P’亮点的横坐标之和为高线。所以，设点P（x,y），图1三角形面积===2k
图2三角形面积=

练习：
1、如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于点N，点P是x轴上的动点，则△MNP的面积为

分析：利用平行线间的垂线段相等，两个三角形同底等高面积相等。
2、反比例函数和在第一象限的图象如图所示，
作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连结
OA、OB，则△OAB的面积

从两方面分析：（1）K的几何意义：延长AB交y轴于点H，
利用△BOH和△AOH的面积与K的关系；
（2） 利用坐标，设A点坐标，由A点坐标设点B.
【变式】

分析：图1、2证法如同题2；

2、四边形的面积

分析：图1、2可把四边形面积分成4倍的矩形面积，考虑象限中K值的正负问题；
图3、4按平行四边形的面积公式：底乘以高计算。

练习：
1、 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线
上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、
C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 。

从两方面分析：（1）K的几何意义：延长BA交y轴于点H，
利用四边形BHOC和四边形AHOD的面积与K的关系；
（2） 利用坐标，设B点坐标，由B点坐标设点A.

（二） 三角形面积的多种求法
如图，在坐标平面上有两点A(2，3)和B(6，1)，求△AOB的面积；

参考解法有：割补法；铅直求面积法，函数法
其中最常用的如下五种：
（1） 由A、B分别向x、y轴作垂线，构成矩形EOCD，
使得

（2）过A作y轴的平行线，交OB于点H：
AH×（的铅直长乘以水平宽）

（3）求法如图1

（4） 解析式法：根据待定系数法，由A、B点的坐标求AB的解析式分别交x、y轴于点F、G，使得

（5） 当△AOB的A、B在同一反比例函数图象上时，通过面积不变法,证得，所以 。

练习：
1、图中面积相等的图形有哪些？

【变式】如果B是RE的中点，那么哪些三角形面积相等？

分析：平行四边形中，利用面积不变性，，

2、