混凝土中的分形方法研究.pdf
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1、第 3 9卷第 5期 2 0 1 3年 1 O月 四川建筑科学研究 S i c h u a n B u i l d i n g S c i e n c e 2 21 混凝土中的分形方法研究 孙洪泉, 付栋梁 ( 苏州科技学院, 江苏 苏州2 1 5 0 1 1 ) 摘要: 介绍了分形几何学的基本概念和分形维数的测量方法, 对混凝土级配的分形描述、 混凝土孔隙、 裂缝的分 形特征、 混凝土的分形断裂能等作了介绍 , 并对分形几何学在混凝土材料研究中的应用前景作了展望。 关键词: 分形维数; 分布函数; 混凝土孔隙; 断裂能; 混凝土声发射 中图分类号: T U 5 2 8 文献标志码: A 文章
2、编号: 1 0 0 8 1 9 3 3 ( 2 0 1 3 ) 0 5 2 2 1 0 5 Ap p l i c a t i o n s o f f r a c t a l t h e o r y i n c o n c r e t e S UN Ho n g q u a n FU Do n g l i a n g ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e ri n g , S u z h o u U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , S u z h o u
3、2 1 5 0 1 1 , C h i n a ) Ab s t r a c t : I n t h i s p a p e r , t h e b a s i c c o n c e p t s o f t h e f r a c t a l g e o me t r y a n d t h e me a s u r e me t h o d s o f t h e f r a c t a l d i me n s i o n a r e i n t r o d u c e d T h e f r a c t a l d e s c rip t i o n o f t h e c o n c
4、 r e t e g r a d a t i o n a n d t h e c o n c r e t e p o res , t h e f r a c t a l c h a r a c t e ris t i c s o f t h e c r a c k s , a n d t h e f r a c t a l f r a c t u r e e n e r g y of t h e c o n c r e t e a r e p res e n t e d F u r t h e r mo re, t h e印 p h e a t i o n p r o s p e c t s
5、o f t h e f r a c t a l g e o me t r y i n t h e c o n c r e t e ma t e ri a l s a r e d i s c u s s e d Ke y wo r d s: f r a c t a l d i me n s i o n; d i s t rib u t i o n f u n c t i o n; c o n c r e t e p o r e ; f r a c t u r e e n e r gy ; c o n c r e t e a c o u s t i c e mi s s i o n O 引 言 1
6、 分形维数及其计算方法 为了描述 自然界的一些复杂图形和现象 , 1 9 7 5 年, 美藉波兰裔教授 M a n d e lb r o t 创造了“ f r a c ta l ” 一 词( 即“ 分形” ) , 并著成了 分形: 形状、 机遇和维 数 一书, 介绍了复杂几何体和复杂现象出现的频 率与分形维数的关系。分形, 即具有分数维数的几 何形体。由于经典的几何形体都是整数维数( 如零 维 的点, 一维 的线 , 二维 的平 面等) , 分形几何体所 具有的分数维数称为“ 分形维数”, 用于和一般整数 维的几何体 区分开来。该 书的发表 , 标志着分形几 何学的产生 。在随后 的 1 9
7、8 2年 , 他又发表 了 大 自 然的分形几何 一书, 介绍了自然界大量存在的分 形现象及其背后的成因, 该书更被认为是分形几何 学领域的“ 圣经 ” 。此后 , 分形几何 学迅速发展 , 在 诸多领域得到推广和应用。 目 前, 分形几何学在混凝土的研究中已经占有 重要地位。本文将首先介绍一下分形几何的基本概 念, 然后着重论述一下分形几何学在混凝土研究中 的一些应用。 收稿 日期 : 2 O 1 2 3 1 2 作者简介: 孙洪泉( 1 9 5 4一 ) , 男 , 江苏建湖人, 教授 , 主要从事分形理 论与应用 的教学和研究工作 。 Ema i l : h q s u n ma i l
8、 u s ts e d u c n 1 1 分 形维 数 试想一条一维的直线, 如果将其长度扩大至原 来的3 倍, 则会得到一条大的直线, 其相当于 3 个 原来的直线; 再设想一个二维的正方形, 如果将其边 长扩大至原来的3 倍, 则会得到一个大的正方形, 它 正好相当于 3 个原来 的正方形 ; 一个立方体 , 如果 将其边长扩大至原来 的 3倍 , 则会得到一个大的正 方体, 它正好相当于 3 个原来的正方体。换句话 说, 如果一个 d 维几何对象的每个独立方向都扩大 为原来 的 口倍 时, 如果得 到 个原来 图形 的话 , 则 上述 3个数之间有如下关系 : o =N, 即有 d=l
9、 n ln a 。在欧氏空间中, 维数一般是整数, 称之为拓扑 维。当维数是分数时, 则称之为分维, 又称分形维 数, 记为 , 从而分维数 D 。 用如下公式表示: D o = l n Nl na。 1 2 分形维数的测量方法 分形维数的测量方法很多, 实际应用较多的是 盒维数法。根据盒子形状的不同, 盒维数法又可分 为网格盒子法和弦长盒子法 。 盒维数法又称数盒子法, 采用如下方法测量分 形维数: 取长为r 的小盒子, 将分形曲线覆盖起来, 有些盒子并未覆盖到分形 曲线上, 所 以这些盒子是 空的。数数多少盒子不是空的, 记下非空盒子数 2 2 2 四川建筑科学研究 第 3 9卷 ( r
10、) , 然后改变盒子长度 r, 重新测量盒子数 ( r ) 。 随着盒子长度 r 的减小 , ( r ) 会逐渐增加。当 r 时, 得到数盒子法定义的盒维数 : D 0一l i m lIl , 实际测量中, 一般不可能取到 r = 0 , 可取一系 列 r 和 ( r ) , 然后 由双对数坐标 中 l n N( r )一l n r 直 线斜率来求得 D 。 , 如图 l 所示。 图 1 盒维数计算示意 F i g 1 S c h e ma t i c o f t h e b o x d i me n s i o n 实际应用中, 对于不同的分形体, 盒子的形状也 有所不同 J 。根据盒子形状
11、 的不 同, 盒维数法又可 分为网格盒子法、 弦长盒子法、 线段盒子法和同心圆 盒子法等。 1 )网格盒子法 网格盒子法 是用正方形或 矩形 网格覆 盖分形 体, 正方形边长作为盒子的边长 r i , 覆盖住分形体的 盒子数目为 ( r i ) , 其中 = 1 , 2 , 3 , , 17, 。图2中, r 由大N4 , 变化 , 分别取为 1 、 1 3 、 1 6 。 夏 磊 菇 “ l 3 1 6 图 2 裂 纹网格盒子 覆盖 法 Fi g 2 Th e b o x c o v e r i n g me t h o d o f t h e c r a c k s 2 )弦长盒子法 图3
12、是一个用弦长测量技术来计算粗糙表面剖 面分形维数的示意图。把岩石粗糙表面按照不同水 平( 厚度) 磨平( 图3( a ) ) , 然后将岩石的粗糙表 面沿某一个纵截面切开 , 则岩石的纵截面与磨平 面 的交线形成一系列的弦长线( 图3( b ) ) 。取这些不 同的水平厚度值 h i 为盒维数计算中的 r i , 对应于 h i 的弦线的长度 2 i 之和设为盒维数计算中的 ( r i ) , 即 ( r i )=z ik k= l 如果粗糙表面是分形 的, 则弦长与厚度 的关 系 应满足分形分布 。 ( b ) 弦长线 ( c ) 厚度为h i 的磨平面 图 3 弦长盒子 法示意 F i g
13、 3 Th e b o x i n g me t h o d o f c ho r d s 分形维数的其他测量方法还有 : 改变观察 尺度求维数; 根据测度关系求维数; 根据相关函 数求维数; 根据频谱求维数; 码尺法; 小岛法 等。 2 分形在 混凝土材料性能研究 中的 应 用 混凝土是一种多相复合材料, 其在骨料级配、 孔 隙、 破坏断裂、 损伤描述等方面都具有 明显 的分形特 征。许多学者使用分形几何学对混凝土进行 了大量 研究 , 主要成果有 以下几个方面的内容。 2 1 混凝土集料的分形描述 粗 、 细集料构成对混凝土物理力学性能的影 响 非常大。细集料一般为砂 , 粗集料一般 为碎
14、石。分 形在混凝土集料中有不同的体现。首先, 由于集料 本身的不规则性 , 集料颗粒表面就构成了一种分形 。 其次, 由岩石的破碎规律而导致的骨料粒径分布也 是一种分形。文献 4 对混凝土集料进行了研究; 推导了混凝土骨料的粒径分形函数和骨料的级配分 形 。其 中, 混凝土集料粒径分布函数为 : F ( r ): rmi nrma x 式 中r 为骨料粒径 ; F ( r ) 为粒径分布 函数 , 即直径 不大于r 的粒径所 占的比例; D为骨料粒径分形维 数。对于无穷破碎体来讲; r m in 可以近似为零, 从而 2 2 4 四川建筑科学研究 第 3 9卷 后 , 应力一 应变关系基本不再
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