全等三角形教案.docx

知识与技能目标:
掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的的概念及表示方法。。掌握全等三角形的性质。体会图形的变换思想，逐步培养动态研究几何意识。初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。
过程与方法目标：
围绕全等三角形的对应元素这一中心，。设计一系列问题，给出三组组合图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，进面引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题-----全等三角形的性质，经历理解性质的过程。，体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。
情感与态度目标:
学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣。
教学重点：全等三角形的性质
教学难点：寻找全等三角形中的对应元素
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。
课前准备 ：全等三角形纸片
【教学教程】
一、创设情境，引入新课
1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？
一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。
归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.学生动手操作
⑴在纸板上任意画一个三角形ABC，并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。
⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF，使它与△ABC全等？
3.板书课题：全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
“全等”用“≌”表示，读着“全等于”
如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF
二、 探究
全等三角形中的对应元素
1. 问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？
2．学生讨论、交流、归纳得出：
⑴.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
⑵.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。
全等三角形的性质
1.观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边      
有什么关系？对应角呢？
      全等三角形的性质：
      全等三角形的对应边相等．
  全等三角形的对应角相等．   
2.用几何语言表示全等三角形的性质
如图：∵∆ABC≌ ∆DEF
　　∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形对应边相等）
　　　∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F（全等三角形对应角相等）
探求全等三角形对应元素的找法
1.动画（几何画板）演示
(1)图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?
归纳：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻折、旋转的方法．
(2)说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角
归纳：从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题．可见图形转换的奇妙．
2. 动画（几何画板）演示
图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合？用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.
3. 归纳：找对应元素的常用方法有两种：
  （1）从运动角度看
    a．翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素．
    b．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
    c．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（2）根据位置元素来推理
    a.有公共边的，公共边是对应边；
b.有公共角的，公共角是对应角；
c.有对顶角的，对顶角是对应角；
d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；
三、课堂练习
练习1.△ABD≌△ACE，若∠B＝25°, BD＝6㎝，AD＝4㎝，
你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？
练习2.△ABC≌△FED
 ⑴写出图中相等的线段，相等的角；
⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？请与同伴交
流并写出来.
四、课堂小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种：
（一）从运动角度看
1．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
2．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
3．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
（三）根据经验来判断
1. 大边对应大边，大角对应大角
2. 公共边是对应边，公共角是对应角
五、课堂作业
必做题：课本第38页1、2、选做题：第3题
六、板书设计               12．1  全等三角形
       一、概念 二、全等三角形的性质    三、性质应用    例题
四、小结：找对应元素的方法
      运动法：翻折、旋转、平移．
      位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
      经验：大边→大边，大角→大角．公共边是对应边，公共角是对应角。
【教学反思】
课      题  ：12.2.1  三角形全等的判定《1》
【教学目标】：
知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”的条件；
过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
情感态度与价值观：让学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证思想．
教学重点:三角形全等的条件．
　　教学难点：寻求三角形全等的条件．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，
讲练结合，小组合作等方法。
学情分析：这节课是学了全等三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好，根据之前的学情、学好这一节课有把握。
      课前准备  全等三角形纸片、三角板、
【教学过程】：
一、创设情境，引入新课
    [师]， 回忆前面研究过的全等三角形． 已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
    [生]图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
    相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
    [师]很好，老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
    [生]能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．
    [师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图．请问，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
     1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
    2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
    ①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
    ②三角形两内角分别为30°和50°．
    ③三角形两条边分别为4cm、6cm．
    学生活动：分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．
    结果展示：
    1．只给定一条边时：
只给定一个角时：
    2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．
   可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
    [师]那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
    [生]四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
    [师]在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
二 、探究：做一做：
        已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
    学生活动：
    1．讨论作法．
    2．比较、验证结果．
    3．探究、发现、总结规律．
    教师活动：
    教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导．
    活动结果展示：
1．作图方法：
    先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
    2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．
    3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A/B/C/，使AB=A/B/、AC=A/C/、BC=B/C/．将△A/B/C/剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：
    三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
    [师]用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．
    三、例题
[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
    [师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
    证明：因为D是BC的中点
    所以BD=DC
    在△ABD和△ACD中

    所以△ABD≌△ACD（SSS）．
    生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
四、课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
五、布置作业
必做题：课本P43页习题12.2中的第1，选做题：第2题
   六、板书设计 ：    
 课      题 ：  12.2.2  三角形全等的条件《2》
【教学目标】：
知识与技能：理解三角形全等的“边角边”的条件．掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题．
过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的“边角边”条件．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明．
情感态度与价值观：通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．
教学重点:三角形全等的条件．
　　教学难点：寻求三角形全等的条件．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边后的一节课、將中间的边变为角探讨、学生一定能理解，根据之前的学情、学好这一节课有把握。
    课前准备 全等三角形纸片、三角板、                                   【教学过程】：
一、创设情境，导入新课
    [师]在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？
    [生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
    [师]很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．
    （一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？
    [生]两种．
    1．两边及其夹角．
    2．两边及一边的对角．
    [师]按照上节方法，我们有两个问题需要探究．
（二）探究1：先画一个任意△ABC，再画出一个△A/B/C/，使AB= A/B/、AC=A/C/、∠A=∠A/（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
    探究2：先画一个任意△ABC，再画出△A/B/C/，使AB= A/B/、AC= A/C/、∠B=∠B/（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
    学生活动：
1．学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A/B/C/，将△A/B/C/剪下，与△ABC重叠，比较结果．
    2．作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律．
    教师活动：
    教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程．
二 、探究
操作结果展示：
    对于探究1：
    画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，A/C/=AC，∠A/=∠A．
    1．画∠DA/E=∠A；
    2．在射线A/D上截取A/B/=AB．在射线A/E上截取A/C/=AC；
3．连结B/C/．
    将△A/B/C/剪下，发现△ABC与△A/B/C/全等．这就是说：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．
    小结  ：  两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等．简称“边角边”和“SAS”．
如图，在△ABC和△DEF中，

    对于探究2：
    学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法：
    1．画∠DB/E=∠B；
    2．在射线B/D上截取B/A/=BA；
    3．以A/为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B/E交于两点C/、F，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC全等的．
    也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
    归纳总结：
    “两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：
    两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）
   三、应用举例
[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么？
    [师生共析]如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．
    在△ABC和△DEC中，AC=DC、BC=EC．要是再有∠1=∠2，那么△ABC与△DEC就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等．
    证明：在△ABC和△DEC中

      所以△ABC≌△DEC（SAS）
      所以AB=DE．
1．填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
四、练习
1.  已知：  AD∥BC，AD＝ CB(图3)．
求证：△ADC≌△CBA．
2.已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．
求证：△ABD≌△ACE．
五、课堂小结
　　1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
　　2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
六、布置作业
必做题：课本P43——44页习题12.2中的第3，选做题：第4题题
   七、板书设计