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培养六年级学生分析分数应用题的能力
[内容摘要] 数感是人们对数的直接感知能力，关系着学生正确地解决问题的能力。分数应用题中数感能力的主要表现为正确判断单位“1”的量；正确分析数量关系，具有条件、问题间的融会贯通的能力；一题多解、一题多问、一题多换的判断能力和解决问题的能力。具体的培养方法可以抓住关键句正确感知，多法并举分析数量关系，一题多解追求灵活性，通过沟通分数、整数应用题的联系，重视问题反思，提高学生解决分数应用题的能力，从而培养学生良好的数感。
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数感是人们对数的直接感知能力。《数学课程标准》中对数感的具体体现描述为：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”
而分数应用题主要是指由于分数乘法意义的扩展而出现的应用题。我们认为分数应用题的数感表现为：正确判断单位“1”的量；正确分析数量关系，具有条件、问题间的融会贯通的能力；一题多解、一题多问、一题多换的判断能力和解决问题的能力。为此我们培养小学生的数感可以从以下三方面入手。
一、抓住关键句，正确感知。
正确判断单位“1”的量，是解决分数应用题的关键。我们曾对六年级的学生做过一次测试统计，发现个别学生没有从意义上去分析，只会根据模式、叙述样式作机械的判断。对改变了叙述形式、省略成分的句子，学生就觉得比较困难。统计情况如下表：

试题1
试题2
试题3
题目
六年级有男生120人，是女生的9/10，女生有多少人？
一个养鸡场，母鸡的1/5是公鸡只数，公鸡有200只，母鸡有多少只？
一批图书，故事书占2/5，其中故事书有２００本，这批书有多少本？
类型
承前省略比较量
改变叙述顺序
承前省略单位“1”并改变叙述顺序
正确率
97%
87%
85%
为此我们认为抓住关键、正确感知、提高数感的方法有二:
1.区分类型，这是提高准确判断单位“1”的第一步。一般来说，单位“1”主要在下列三种句型中体现出来：
第一种：“定语式”。这类句子中充当单位“1”的量是句子中的定语成分，表达形式为“谁的几分之几（或百分之几）”。例如柳树是杨树的80%，杨树是单位“1”的量。这是一种最基本的判断方法。第二种：“颠倒式”。关键句的基本形式是“甲数是乙数的几分之几”，所谓颠倒式就是关键句中类似的主宾位置调换，如测试题2：“母鸡的1/5是公鸡只数”，根据“定语式”的判断方法，母鸡就是单位“1”的量。第三种：“省略式”。有承前省略、习惯性省略两类。如测试题3：“一批图书，故事书占2/5”，承前省略了单位“1”——“一批图书”，又如 “一种电视机以九五折优惠出售”，还有像出油率、合格率、成活率等等都属于习惯性口语化的省略。分析这类关键句总是认真读题，把关键句补充成基本型的“甲数是乙数的几分之几”，而后找出单位“1”的量。
2.抓住关键句强化对应感知能力。有许多学生解题时喜欢把题目中的已知数量判断为单位“1”，或把一个较大的数量看作单位“1”，实际上单位“1”并不是固定的，它是一个抽象的概念，随题目的变化而变化。题目的变化，主要体现在含有分率的数量关系句的变化上，所以判断时，一定要抓住含有分率的数量关系句去提问、分析、对应。我们从测试题2、3的统计情况可以看出，学生对于改变了叙述的方式和省略了成分的关键句，判断时错误率就高，为此我们要帮助学生抓住关键句，分清类型，转化补充成基本型的关键句，正确判断单位“1”的量。如“一批图书，故事书占2/5”数感好的学生一读就能找出“一批图书”是单位“1”的量，而数感比较差的学生我们就要引导一步步去提问、对应：故事书占2/5，说明故事书只有2/5，谁是5/5——单位“1”呢，通过对应，找到一批图书是单位“1”的量，故事书只有一批图书的2/5。
二、多法并举、分析数量关系
正确的数量关系分析，是数感的重要标志，能够顺逆自如的分析数量关系，是思维灵活性、多样性的体现。分数应用题是抽象的，学生的思维也正处在形象思维向抽象思维的转折时期。正确理解分数应用题的数量关系，对培养数感，发展思维都有较大的好处。我们在调查摸底的发现，学生对一些典型的数量关系掌握得不错，但是对一些逆思考的、变化的条件问题，没有真正的理解，也有较高的错误率。如
题目
试题类型
正确类别人数
正确率
答题类型分析
1.建造一座儿童活动中心，实际用了225万元，比原计划节省了25万元，节省了百分之几？
逆思考型的“节省的占计划的百分之几的应用题”
25÷（225+25）的为35人
25÷(225-25)的为3人
90%
单位“1”的量求错，原计划的量应该比现在多，这才叫“节省”，学生没有认真的思考。
2.电器厂今年生产电冰箱1000台，比去年增产200台，今年比去年增产百分之几？
逆思考的增产百分率应用题
200÷（1000－200）的为31人
200÷1200的2人
200÷1000的2人
1000÷1200的2人
79%
学生受“1+”、“1-”分数应用题的影响，看见多就加，把去年的量算成了1200，有的没有看清楚谁与谁比，胡乱凭感觉做题。
3.一个农场，牛的头数比羊少1/5，羊的头数比牛多百分之几？
复杂的纯分数意义上的百分数应用题
（5-4）÷4的18人
1/5÷4/5的4人
（5-4）÷5的5人
4÷5的有9人
56%
本题的解题关键为把关键句转化成谁是谁的几分几之，从而确定牛羊的份数，最后求多的百分率。错误的同学中大部分只化出了牛和羊的头数比，没有求出多的分率
针对学生存在的问题，我们主张：
1.从问题出发进行数量关系的分析。整数应用题我们认为从条件出发进行综合分析，一步步推导出所求的问题，我们所可以随学生的喜好，但对于六年级的学生，对于六年级的分数（百分数）应用题，应该用分析法分析比较合适。如测试题1、2、3三题，学生如果不能从数量关系：实际节省的量÷计划投资的量/今年增产的量÷去年的生产的量/羊比牛多的量÷牛的量，明白必须先求的量，解题就无从做起。从问题出发，分析必须知道的两个量，这是解决分数（百分数）应用题的关键。
2.抓住关键句比划关系也是解题正确关节。如测试题1、2，学生不能从“实际用了225万元，比原计划节省了25万元”中得出原计划的量是（225+25），或者不能从“今年生产电冰箱1000台，比去年增产200台”中得出去年的量是“（1000－200）”，光有正确的数量关系式，也是不行的。我们从学生的错误情况分析可以得出总有10%的学生是见多就加，见少就减的，没有认真分析的习惯。这个环节说明我们要重视关键句的分析，也要重视分析方法的指导，如画图、大小数标注、关键词圈点等，还要重视分析习惯的培养。有好多学生就是没有这种认真的态度去重视，良好的习惯是推动，正确的方法去实施，凭感觉胡乱解题，导致错误，非常可惜。
3.化分为整，让抽象变为具体。通过转化关键句，读取出关键句中隐含的数量比、份数比，从而把分数应用题转化为整数应用题，用归一法来解决分数应用题。如测试题3，抓住关键句“牛的头数比羊少1/5”，转化为“牛的头数是羊4/5”，从而读取出牛和羊的头数比是4：5，也就是说牛可以看作4份，羊可以看作5份，求羊的头数比牛多百分之几？只要羊比牛多的分数（5-4）=1份，除以单位“1”的量——牛的份数4，即25%。如果从1/5÷4/5来解题就比解抽象，难以理解。再如测试题1，抓住关键句“梨树比桃树多3/4”来分析，转化成“梨树是桃树7/4”，即梨树可以看作7份，桃树为4份，已知4份的桃树有48棵，那么7份的梨树应该为（48÷4）×7=84棵。这种转化关键句，化分数为整数的解题策略，在更复杂的分数应用题中会更显身手。这种解题能力的掌握也标志着学生数感的提升。
三、一题多解、追求灵活性
用多种方法解决问题，是一个人数感好坏的重要标志，实际上也是区别整数、小数应用题和分数、百分数应用题是否融会贯通的一个重要的衡量指标。六年级上册的相遇问题，我们做了一次调查：题目为“相距350千米的两地，甲车单独开需要5小时，乙车单独开需要7小时，如果两车从两地相对开出，几小时后相遇？”学生用两种方法解答的情况如下：
方法
1÷（1/7+1/5）
350÷（350/7+350/5）
350×（1/7+1/5）
350÷（7/350+5/350）
人数
32
21
4
2
正确率
82%
54%
错误类型1
错误类型2
我们从上表可以看出，学生已经习惯于用分数的方法思考，正确的掌握率已经达到了82%，而对原来的相遇问题的思考方法有点生疏，仅为54%。从错误的情况来看，两种方法混淆在一起，既有整数的思考成分，也有分数的成分，列出了不伦不类的算式，有的同学就是空者，只会做一种方法了。
1.由浅入深，帮助学生建立整数与分数应用题的联系。学生能不能用多种方法来解，一定程度上表现为对整数和分数应用题之间沟通、转换能力的水平高低。所以我们在教学时一定要由浅入深、以旧引新，把基础打实了，把知识嚼烂了，只有这样才能融会贯通，才能有更高、更快的发展。例如上面的相遇问题，可以从整数应用题入手，要求相遇的时间，必须知道两车同行的路程和两车同行的速度，即路程÷速度和，求出相遇的时间。然后把一条路350千米看作单位“1”，甲车5小时能行完全程，说明甲车每小时能行全程的1/5，就是甲车的速度，同理，乙车每小时行使的路程占全程的1/7，这里的“1”就是代表350千米，也可以在不同的情境中代表另外的一条路的长度，只要在同一问题情境中，相遇的时间只跟甲乙两车单独行完全程的时间有关。最后用多种数据验证一下，如全程为385千米、315千米等，用两种方法解答，即帮助学生建立分数和整数应用题的联系，又让学生明白分数应用题的简洁性。同样道理，如整数、份数比、分数应用题的测试题，通过这样的分析、比较、验证来建立它们之间的有机联系。
又如整数百分比和份数百分比的比较。题目：“书店运来故事书和科技书共140本，科技书的本数比故事书的多4/5，故事书比科技书少百分之几？”，学生用多种方法解答情况如下：

方法
（90-50）÷90
（9-5）÷9
4/5÷（1+4/5）
140×（1+4/5）；4/5÷140；（5-4）÷4
正确率
36%
21%
8%
（错误类型）23%
从上可以看出，57%以上的学生能够转化关键句为：科技书是故事书的9/5，在求比谁多、比谁少百分之几的应用题中，学生还是喜欢用整数的方法来解，先用按比例分配的方法求出科技书为90本，故事书为50本，最后求出故事书比科技书少的百分数。对于用份数来解，学生还有点陌生，只用1/5的学生能够解答。更多的学生是无从下手，或者整数、分数相互混淆，没有清晰的思路。
2.舍得花时间加强练习和自我反思。数感的形成，一是靠天赋，二是靠熟练，三是靠反思。第一项我们没有办法改变，但二三两项这是我们教师的职责。一定数量的练习，能够从量变促成质变，而反思则是量变到质变的一条捷径。
《新课标》指出：反思的思维过程，是数学思维能力的具体体现。荷兰著名数学家弗赖登塔尔曾指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”、“通过反思才能使现实世界数学化。”我们认为通过反思，能够深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律；通过反思，可以沟通知识间的相互联系，从而促进知识的同化和迁移，产生新的发现。
如测试题中的“书店运来故事书和科技书共140本，科技书的本数比故事书多4/5，故事书比科技书少百分之几？”对于整数（90-50）÷90的解法，学生说个解题思路应该没有问题，但是对于份数比的解（9-5）÷9和分数解4/5÷（1+4/5）并不是一件易事，我们就得化时间让学生说个明白。（9-5）÷9，算式是简单，但必须通过反思，让生知其然有知所以然。首先要转化关键句，科技书是故事书的9/5，其次明白科技书为9份，故事书为5份，故事书比科技书少4份，少的份数与科技书的9份比，最后求出故事书比科技书少4/9。同样的道理，4/5÷（1+4/5），4/5是故事书比科技数少的量相当于故事书的4/5，而（1+4/5），是科技书相当于故事书的分率，他们单位“1”的量是统一的，都是故事书，因此这个算式是正确的。只有通过学生的反思分析，才能真正看出理解题意的深度。正是著名数学教育家波利亚所说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。”
综上所述，分数应用题中的数感培养，分析法是基本方法，抓住关键句、转化关键句是关节点，一题多解、一题多变、一题多问、化分数为整数等是培养数感的具体方法，学习反思是培养数感、检验应用数感的一条捷径。