数学系常微分方程期末试卷A及答案.doc

数计学院 系 级 班 姓名 __ 学号 _ 任课教师 审题人
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（A）

试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程

题 号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
分 数

阅卷人

试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷；
2、考试所用时间：120分钟。
3、考试班级：数计学院数11级

一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．方程所有常数解是　　 　　．
2．方程的基本解组是 ．
3．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　 　　．
4．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式．
5．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．
（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面
7. 方程（ ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
8．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2

第 1 页（共 5页）

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年 月 日
9、 微分方程的通解 （ ）
A、 B、
C、 D、
10．阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间
（C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间

三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11. 解方程

12. 解方程

第2页（共 5 页）
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年 月 日
13. 解方程

14. 解方程

15．试求的奇点类型及稳定性

第 3 页（共 5 页）
年 月 日……………………………………………密…………………………封…………………………线………………………………………………………………………

四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程的通解

17．求下列方程组的通解
．

第4页（共 5 页）
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年 月 日
五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．

19．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．

12-13-2学期期末考试
《常微分方程》A参考答案及评分标准
（数学与计算机科学学院）
制卷 审核
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1． 2．
3．平面
4．充分必要 5．开

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．D 7．C 8．A 9．D 10．D

三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11．解 分离变量得
（3分）
等式两端积分得通积分
（6分）

12．解 方程化为
(2分)
令，则，代入上式，得
(4分)
分量变量，积分，通解为
(5分)
原方程通解为
(6分)

13．解 对应齐次方程的通解为
（2分）
令非齐次方程的特解为
（3分）
代入原方程，确定出
（4分）
再求初等积分得
（5分）
因此原方程的通解为
+ （6分）

14．解： 由于，所以原方程是全微分方程． （2分）
取，原方程的通积分为
（4分）
即 （6分）

15．解： 令，则： 2分
因为，又由得
解之得为两相异实根，且均为负 4分
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 6分

四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解：对应的齐次方程的特征方程为：
（1分）
特征根为：
（2分）
故齐次方程的通解为：
（4分）
因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
（6分）
代入原方程，有
， （7分）
可解出
． （8分）
故原方程的通解为
（10分）

17．解： 特征方程为

即
特征根为 ， （2分）
对应特征向量应满足

可确定出
（5分）
同样可算出对应的特征向量为
（8分）
所以，原方程组的通解为
（10分）

五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且．又由刘维尔公式
， （5分）

由于，，于是对一切，有
或
故 是上的严格单调函数． （10分）
19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，
且任一解的存在区间都是． （2分）
显然，该方程有零解． （5分）
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知， (8分)
这是因为零解也满足初值条件= 0，
于是由解的惟一性，有 ．
这与是非零解矛盾． （10分）