数学模拟测试（含答案）.doc

数学模拟测试
一、填空
1.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是
2.已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是 .①③
① ②
③ ④
3.等比数列的各项都是正数，成等差数列， 4.已知向量若则的值为
5. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上．若双曲线以为焦点，且过两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的实轴长为 2－2
分别过点作的垂线，垂足分别为，连结,设则
＝,等腰梯形的周长,令则，
所以 ，所以当即时，,
此时，,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长.
6.若在区间和内各取一个数，分别记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为 　　　　（线规解题）
7.△中，角成等差数列是成立的 条件.充分不必要条件
8.设的展开式的各项系数和为，二项式系数和为，若，则展开式中的系数为

9. 曲线在点处的切线方程为 . 10.如图，在直角梯形中，，，，是线段上一动点，是线段上一动点，，则的取值范围是 ． （建系解题）

11.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得，则的取值范围为_________.

12在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足，,, 则的取值范围是 .
∵,∴，∴，∴为钝角，
∵，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∵，，∴，，∴，∴.
13.在数列中，，为数列的前项和且，则

当时，，
即，所以，
所以
，所以.
14.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.
(1)令，则.
令得，当时，；当时，，所以在上是增函数，在是减函数，
所以，所以.
(2) 令，则，因为，所以，所以，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.
综上所述，，即实数的取值范围是.

二、解答题
15.已知向量向量记
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.

16.已知各项均不为零的数列，其前项和满足.在等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求和，
当时，；当时，.

(2) 记，求的前n项和.
当时，；
当时，．
17.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为．其范围为，分别有五个级别：畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥堵；严重拥堵．在晚高峰时段()，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．

(1)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．
17.解：(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是，
中度拥堵的路段个数是．
(2)的可能取值为．
，，
，，
的分布列为

0
1
2
3

∴.
18.如图所示，四边形为直角梯形，，，△为等边三角形，且平面平面，，为中点．
A
B
E
C
D
P
·

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在△内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．
解：（1）证明如下：取的中点，连结，
因为△是正三角形，所以.
因为四边形是直角梯形，，，
所以四边形是平行四边形，.
又，所以.
又因为,所以平面，
所以.
（2)因为平面平面，
，所以平面，
所以.
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.
A
B
E
C
D
P
·
y
x
z
O

则，，，，，
所以 ,，
设平面的一个法向量为，则
，
令，则,,所以.
同理可求得平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
（3）设，因为，
所以，,.
依题意得即
解得 ，.
符合点在△内的条件.
所以存在点，使平面，此时.
19.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴的一个端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求△ 面积的最大值，并求此时直线的方程.
19.解：（1）由已知得到,所以,即.
又椭圆经过点,所以,
解得,所以椭圆的方程是.
（2）因为直线且两直线都过点,
①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以,
由得,
所以,
,
所以.
令,则,
.
当,即时,等号成立,
故△面积的最大值为,此时直线的方程为.
②当的斜率为0,即时, ;
当的斜率不存在时,不符合题意;
综上, △面积的最大值为,此时直线的方程为.
20.已知函数．
（1）证明函数在区间上单调递减；
（2）若不等式对任意的都成立，（其中是自然对数的底数），求实数的最大值．
40.解：（1）证明如下：，令，
，所以函数在上单调递减，
∴，∴，
∴函数在区间上单调递减.
（2）在原不等式两边取对数得，由知.
设，则
，
设，则
.
由（1）知时，，
∴函数在上单调递减，∴，
∴，∴函数在上单调递减.
∴，
∴函数在上的最小值为，∴，
∴的最大值为.
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