第九章：概率.doc

五年高考真题分类汇编：概率
一.填空题
1．（2013·福建高考理）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．
【解析】本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．
因为0≤a≤1，由3a－1>0得<a≤1，由几何概率公式得，事件“3a－1>0”发生的概率为＝.
【答案】
2．（2013·安徽高考理）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
【解析】本题考查二项展开式的通项．二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
【答案】
3．（2013·浙江高考理）设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
【解析】本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力．Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.
【答案】－10
4．（2013·浙江高考理）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
【解析】本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，CCAA＝480.
【答案】480
5．（2013·重庆高考理）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
【解析】本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝590.
【答案】590
6.（2013·新课标II高考理）从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
【解析】本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力．
试验基本事件总个数为C，而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式得P＝＝，解得n＝8.
【答案】8
7．（2013·北京高考理）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
【解析】本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A＝96.
【答案】96
8．（2013·山东高考理）在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
【解析】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力．当x≤－1时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即－(x＋1)＋(x－2)＝－3≥1，此时无解；当－1<x≤2时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即x＋1＋x－2≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，不等式|x＋1|－|x－2|≥1，即x＋1－x＋2＝3≥1，解得x>2.在区间[－3,3]上不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为1≤x≤3，故所求的概率为＝.
【答案】
9．（2013·大纲卷高考理）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
【解析】本题考查排列组合知识．
法一：(间接法)A－AA＝480.
法二：(直接法)AA＝480.
【答案】480
10．（2013·四川高考理）二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
【解析】本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力．因为C＝10，故含x2的项的系数是10.
【答案】10
11.（2013·天津高考理）6的二项展开式中的常数项为________．
【解析】本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－1)rx6－r，当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
【答案】15
12．（2013·重庆高考文）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
【解析】本题主要考查古典概型，考查考生的逻辑思维能力．三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种排法，其中甲、乙相邻有4种排法，所以甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
【答案】
13．（2013·江苏高考文）现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
【解析】本题考查古典概型的相关知识，意在考查用枚举法求概率．
基本事件总数为N＝7×9＝63，其中m，n都为奇数的事件个数为M＝4×5＝20，所以所求概率P＝＝.
【答案】
14．（2013·大纲卷高考文）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
【解析】本题主要考查组合、分步计数乘法原理的应用．第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC＝60种情况．
【答案】60
15．（2013·福建高考文）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．
【解析】本题主要考查几何概型与随机模拟等基础知识，意在考查或然与必然思想，考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．由题意，得0<a<，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1<0”发生的概率为.
【答案】
16．（2013·新课标Ⅱ高考文）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
【解析】本题主要考查古典概型，意在考查考生对基本概念的理解与基本方法的掌握．从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，共2个，故所求概率为＝.
【答案】
17．（2013·浙江高考文）从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
【解析】本题主要考查古典概型的概率求法，即随机事件的概率问题，意在考查考生对基础知识的掌握程度以及简单求解能力．从3男3女中选出2名同学，共有以下15种情况：(男1，男2)，(男1，男3)，(男2，男3)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(男3，女1)，(男3，女2)，(男3，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，其中2名都是女同学的有3种情况，故所求的概率P＝.
【答案】
18．（2013·重庆高考文）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
【解析】由题意知，可分为三类：
第一类：文化课之间没有艺术课，有A·A种
第二类：文化课之间有一节艺术课，有A·C·A·A种
第三类：文化课之间有两节艺术课，有A·A·A种
故P＝＝.
【答案】
19.（2012·广东高考理）(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
【解析】由(x2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r()r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
【答案】20
20.（2012·陕西高考理）(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________________________．
【解析】由二项展开式的通项公式可得，T3＝Ca3x2＝10x2，解得a＝1.
【答案】1
21．（2012·上海高考理）在(x－)6的二项展开式中，常数项等于________．
【解析】(x－)6展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－2)rx6－2r，令r＝3，得常数项为T4＝C(－2)3＝－160.
【答案】－160
22．（2012·上海高考理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
【解析】每人都从三个项目中选择两个，有(C)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个，故所求概率为＝.
【答案】
23．（2012·湖南高考理）(2－)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
【解析】二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r(－)r，显然当r＝3时是常数项，此时T4＝－8C＝－160.
【答案】－160
24.（2012·湖南高考理） 设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2：当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；
(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．
【解析】(1)当N＝16时，P1＝x1x3x5x7x9…x16，此时x7在第一段内，再把这段变换x7位于偶数位的第2个位置，故在P2中，x7位于后半段的第2个位置，即在P2中x7位于第6个位置．
(2)在P1中，x173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P2中x173位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得P3时，x173位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，x173位于十六段中的第四段的第11个位置上，也就是位于P4中的第(3×2n－4＋11)个位置上．
【答案】6　3×2n－4＋11
25．（2012·江苏高考理）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
【解析】由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p＝＝.
【答案】
26．（2012·大纲卷高考理）若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】由C＝C可知n＝8，所以(x＋)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r()r＝Cx8－2r, 所以8－2r＝－2⇒r＝5，所以的系数为C＝56.
【答案】56
27．（2012·湖北高考理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．
【解析】2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n＋1位有9×10n个．
【答案】90　9×10n
99．（2012·浙江高考理）若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.
【解析】不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.
【答案】10
28．（2012·福建高考理）(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.
【解析】(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系数为Ca，故Ca＝8，解得a＝2.
【答案】2
29．（2012·新课标高考理）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．

【解析】依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为×[×＋×(1－)＋(1－)×]＝.
【答案】
30．（2012·浙江高考文）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
【解析】设此正方形为ABCD，中心为O，则任取两个点的取法有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AO，BO，CO，DO，共10种；取出的两点间的距离为的取法有OA，OB，OC，OD，共4种，故所求概率为＝.
【答案】
31．（2012·上海高考文）在(x－)6的二项展开式中，常数项等于________．
【解析】Tr＋1＝Cx6－r(－1)r()r＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，得所求常数项等于C(－1)3＝－20.
【答案】－20
32．（2012·上海高考文）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
【解析】因为每人都从三个项目中选择两个，有(C)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个，故所求概率为＝.
【答案】
33．（2012·福建高考文）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为________．

【解析】根据最优化设计方案，应从EAFGCBD，故铺设道路的最小总费用为2＋3＋1＋3＋
5＋2＝16.
【答案】16
34．（2012·湖南高考文）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29℃～63℃，精确度要求±1℃.且分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．
【解析】存优范围长度为34，选择分数优选，利用分数法选取试点，最少应试验7次．
【答案】7
35．（2012·大纲卷高考文）(x＋)8的展开式中x2的系数为________．
【解析】经观察可得展开式中含有x2的项为Cx5()3＝7x2，故展开式中x2的系数为7.
【答案】7
36．（2012·重庆高考文）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
【解析】基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”的意思就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”可得，其排列方法种数为AA.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为＝.
【答案】
37．（2011·大纲卷高考）(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为____
【解析】二项式(1－)20的展开式的通项是Tr＋1＝C·120－r·(－)r＝C·(－1)r·xr.因此，(1－)20的展开式中，x的系数与x9的系数之差等于C·(－1)2－C·(－1)18＝C－C＝0.
【答案】0
38．（2011·北京高考）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____个．(用数字作答)
【解析】因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．
【答案】14
39．（2011·江西高考）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为____．

【解析】设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝.
【答案】
40．（2011·安徽高考）设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝__________.
【解析】(x－1)21的展开式的通项为Tr＋1＝Cx21－r·(－1)r.由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，
所以a10＝－C，a11＝C，所以a10＋a11＝C－C＝0.
【答案】0
41．（2011·山东高考）若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
【解析】二项式(x－)6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca＝60，解得a＝4.
【答案】4
42．（2011·湖南高考）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.

【解析】圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝，根据条件概率的公式得P(B|A)＝＝＝.
【答案】　
43．（2011·湖南高考）对于n∈N*，将n表示为n＝a0×2k＋a1×2k－1＋a2×2k－2＋…＋ak－1×21＋ak×20，当i＝0时，ai＝1，当l≤i≤k时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如：1＝1×20,4＝1×22＋0×21＋0×20，故I(1)＝0，I(4)＝2)，则
(1)I(12)＝______；(2)I(n)＝______.
【解析】12＝1×23＋1×22＋0×21＋0×20，所以I(12)＝2；
对n＝a0×2k＋a1×2k－1＋…＋ak×20可表示为(a0，a1，…，ak)，
易见127可表示为26＋25＋…＋2＋1即(1,1,1,1,1,1,1)
对任意1≤n≤127，(1，a1，…，ak)(k≤6)，
故表示法中有0个0的有7个
表示法中有1个0的有6＋5＋…＋1＝21个数，
表示法中有2个0的有C＋C＋…＋C＝C个数，
表示法中有3个0的有C＋C＋…＋C＝C个数，
表示法中有4个0的有C＋C＋C＝C个数，
表示法中有5个0的有C＋C＝C个数，
表示法中有6个0的有C＝1个数．
故I(n)＝C×2＋C×22＋C×23＋C×24＋C×25＋26＋7＝1093.
【答案】2　1093
44．（2011·重庆高考）将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为____．
【解析】依题意得所求的概率为C()6＋C()6＋C·()6＝.
【答案】
45.（2011·广东高考）x(x－)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
【解析】原问题等价于求(x－)7的展开式中x3的系数，(x－)7的通项Tr＋1＝Cx7－r(－)r＝(－2)rCx7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C＝84，即x(x－)7的展开式中x4的系数为84.
【答案】84
46．（2011·福建高考）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
【解析】取到的2个球颜色不同的概率P＝＝.
【答案】
47．（2011·江苏高考）从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
【解析】采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
【答案】
48．（2011·湖北高考）(x－)18的展开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示)
【解析】Tr＋1＝Cx18－r(－)r＝(－1)rC()rx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2C()2＝17.
【答案】17
49．（2011·湖北高考）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
【解析】所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P＝＝，则至少有1瓶为已过保质期饮料的概率＝1－P＝.
【答案】
50．（2011·湖北高考）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________．(结果用数值表示)
【解析】(1)当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43种．
【答案】21　43
51．（2011·浙江高考）设二项式(x－)6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
【解析】对于Tr＋1＝Cx6－r()r＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
【答案】2
52．（2011·浙江高考）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
【解析】∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
【答案】
53.（2010·江西高考理）将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）.
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识.先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：

【答案】 1080
54.（2010·安徽高考理）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.
①； ②； ③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【解析】易见是两两互斥的事件，而
.
【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.
【答案】②④
55.（2009·天津高考理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）.
【解析】个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个.
【答案】324
二.解答题
56．（2013·湖南高考理）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查考生的阅读理解能力、收集数据的能力、运算求解能力和创新意识．
(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故所求的分布列为

Y
51
48
45
42
P

所求的数学期望为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
57．（2013·福建高考理）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

X1
0
2
4
P

X2
0
3
6
P

所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
58．（2013·辽宁高考理）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
解：本题主要考查概率的综合应用，离散型随机变量的分布列和数学期望．同时也考查考生分析问题以及应用知识解决实际问题的能力．
(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C·0·2·＝；
P(X＝1)＝C·1·1·＋C0·2·＝；
P(X＝2)＝C·2·0·＋C1·1·＝；
P(X＝3)＝C·2·0·＝；
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
59．（2013·安徽高考理）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.
解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－2＝.
(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.
当k<n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(C)2.当X＝m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k－m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m－k.由乘法计数原理知：
事件{X＝m}所含基本事件数为
CCC＝CCC.此时
P(X＝m)＝＝.
当k≤m<t时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)⇔CC≤CC⇔(m－k＋1)2≤(n－m)(2k－m)⇔m≤2k－.
假如k≤2k－<t成立，则当(k＋1)2能被n＋2整除时，
k≤2k－<2k＋1－≤t.故P(X＝m)在m＝2k－和m＝2k＋1－处达最大值；当(k＋1)2不能被n＋2整除时，
P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数)
下面证明k≤2k－<t.
因为1≤k<n，所以2k－－k＝≥＝≥0.
而2k－－n＝－<0，故2k－<n，显然2k－<2k.
因此k≤2k－<t.
60．（2013·浙江高考理）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.
解：本题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望、方差等概念及相关计算，考查抽象概括以及运用所学知识分析问题解决问题的能力．
(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P

(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P

所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
61．（2013·重庆高考理）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．
解：本题主要考查随机变量的概率、分布列和数学期望，意在考查考生的阅读理解能力以及转化与化归能力．设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj