【6套】天津市南开中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析【冲刺实验班】.docx

中学自主招生数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（3分）春暖花开，走在郑州中原西路上，不禁感慨“郑州的路越来越漂亮了“感慨背后，是对郑州从2012年起建设生态廊道的由衷认可．目前，郑州累计增绿超3亿平方米，相当于140个碧沙岗公园．我们把3亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．3x107
3．（3分）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法（　　）

A．5 B．4 C．3 D．6
4．（3分）下列计算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3
5．（3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．18分，17分 B．20分，17分 C．20分，19分 D．20分，20分
6．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．.2＜x＜3 B．.2＜x≤3 C．.x＜2或x≥3 D．无解
7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，交AB于点D，连接CD若AC＝AD，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
8．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0； ②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）； ⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（　　）

A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．16 B．6 C．20 D．8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）﹣（﹣）0＝　 　．
12．（3分）一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
13．（3分）如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为，则k的值为　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝30°，AC＝2．以AB的中点O为圆心、AB的长为直径，在AB的上方作半圆，再以点A为圆心、AC的长为半径，作扇形DAC，且∠DAC＝30°，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D为AB边上的一动点（点D不与点A，点B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E，把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，连接BA′，若△A′DB为直角三角形，则AD的长为　 　

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x是满足﹣1＜x＜2的整数．
17．（9分）近几年，中学生过生日互送礼物甚至有部分家长为庆贺孩子生日大摆宴席攀比之风已成为社会关注热点．为此某媒体记者就中学生攀比心理的成因对某市城区若干名市民进行了调查，调查结果分为四组：A．社会环境的影响；B．学校正确引导的缺失；C．家长榜样示范的不足；D．其他．并将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（均不完整）

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角度数是　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区120000名市民中有多少名市民持C组观点；
（4）针对现在部分同学因举行生日宴会而造成极大浪费的现象，请你简单说说中学生大操大办庆祝生日的危害性，并提出合理化的建议．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空
①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝　 　；
②当∠B＝　 　°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

19．（9分）郑州大学（ZhengzhouUniversity），简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”．某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．（结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）

20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点C，过点O作OB⊥OA，交直线AB于点B．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）在x轴上有一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标

21．（10分）党的十九大提出实施乡村振兴战略，将生态宜居作为乡村振兴的总目标之一，《乡村振兴战略规划（2018﹣2022年）中更是把建设生态宜居美丽乡村作为重要内容以具体化．某县富强加工厂响应“产业兴旺、生态宜居、生活富裕”的号召，拟计划投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生产线共用资金260万元；而投资兴建1条全自动生产线和3条半自动生产线共用资金280万元．
（1）求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元？
（2）据预测，2019年每条全自动生产线的毛利润为260万元，每条半自动生产线的毛利润为160万元这一年，该加工厂共投资兴建10条生产线，若想获得不少于1200万元的纯利润，则2019年该加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线？
22．（10分）已知，点C为线段AB外一动点，且AB＝4，AC＝2．
问题发现
（1）图1，当点C位于　 　时，线段BC的长取最大值，且最大值为　 　．
扩展探究
（2）如图2，若以BC为斜边向上构造等腰直角三角形BCD，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线时，求CD的长度；
解决问题
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AC为半径，在旋转过程中，试求AD的最大值和最小值．

23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），点B，交y轴于点C（0，2）．连接BC，AC
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线第二象限上一点，满足S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求点E的坐标．

参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）春暖花开，走在郑州中原西路上，不禁感慨“郑州的路越来越漂亮了“感慨背后，是对郑州从2012年起建设生态廊道的由衷认可．目前，郑州累计增绿超3亿平方米，相当于140个碧沙岗公园．我们把3亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．3x107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3亿＝3×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法（　　）

A．5 B．4 C．3 D．6
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字之和相等解答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“1”与“5”是相对面，
“2”与“4”是相对面，
所以，要添加的是“3”的相对面，
∴要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．（3分）下列计算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a2）3
【分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；
B、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；
C、（a2）3＝a6，此选项符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则．
5．（3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．18分，17分 B．20分，17分 C．20分，19分 D．20分，20分
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，
所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，
故选：D．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
6．（3分）不等式组的解集为（　　）
A．.2＜x＜3 B．.2＜x≤3 C．.x＜2或x≥3 D．无解
【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【解答】解：

由不等式①，得x＞2，
由不等式②，得x≤3，
所以原不等式组的解集为2＜x≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，
7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，交AB于点D，连接CD若AC＝AD，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∴∠ACD＝∠ADC＝50°，再利用基本作图得到MN垂直平分BC，所以DB＝DC，利用三角形外角性质和等腰三角形的性质计算出∠DCB＝25°，然后计算∠ACD+∠DCB即可．
【解答】解：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣80°）＝50°，
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
而∠ADC＝∠B+∠DCB，
∴∠DCB＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝50°+25°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
8．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种可能，其中取到0的有8种可能，
∴顶点在坐标轴上的概率为＝．
故选：A．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0； ②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）； ⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（　　）

A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，
∵＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②由图象可知：△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为：x＝，
∴＜1，
∴2a+b＞0，
故③正确；
④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，
故④错误；
⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，
∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，
故⑤正确；
⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故⑥错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．16 B．6 C．20 D．8
【分析】易证△CFE∽△BEA，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题．
【解答】解：若点E在BC上时，如图

∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠CFE＝∠AEB，
∵在△CFE和△BEA中，∠CFE＝∠AEB，∠C＝∠B＝90°，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时，BE＝CE＝x﹣5，即，
∴y＝，当y＝时，代入方程式解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝7，
∴BE＝CE＝2，
∴BC＝4，AB＝5，
∴矩形ABCD的面积为5×4＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）﹣（﹣）0＝　3　．
【分析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是　k≠0且k≥﹣1　．
【分析】让△＝b2﹣4ac≥0，且二次项的系数不为0以保证此方程为一元二次方程．
【解答】解：由题意得：4+4k≥0，k≠0，
解得：k≠0且k≥﹣1．
【点评】一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为0．
13．（3分）如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为，则k的值为　﹣6　．

【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点B和点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），△AOB的面积为，
∴B（0，）
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC
∴点C（﹣a，），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝（﹣a）×＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝30°，AC＝2．以AB的中点O为圆心、AB的长为直径，在AB的上方作半圆，再以点A为圆心、AC的长为半径，作扇形DAC，且∠DAC＝30°，则图中阴影部分的面积为　　．

【分析】设半圆O交AD于E交AC于F，连接OE，OF，EF，根据圆周角定理得到∠EOF＝60°，推出△EOF是等边三角形，得到∠EFO＝60°，推出EF∥AB，求得S△AEF＝S△EOF，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：设半圆O交AD于E交AC于F，
连接OE，OF，EF，
∵∠CAD＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠EFO＝60°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOF＝60°，
∴EF∥AB，
∴S△AEF＝S△EOF，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形CAD﹣S扇形EOF＝﹣＝π﹣＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D为AB边上的一动点（点D不与点A，点B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E，把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，连接BA′，若△A′DB为直角三角形，则AD的长为　或　

【分析】分两种情况进行讨论，当∠DA'B为直角时，设AD＝A'D＝x，通过证△AED∽△ACB，求出A'C，A'B的长度，然后在Rt△A'DB中，利用勾股定理可求出x的值；当∠DBA'为直角时，证△ABC∽△AA'B，求出A'B的值，然后在Rt△A'BD中，利用勾股定理可求出x的值．
【解答】解：如图1，当∠DA'B为直角时，
在Rt△ABC中，
AB＝＝＝10，
由折叠知，△ADE≌△A'DE，
∴AD＝A'D，AE＝A'E，∠AED＝∠A'ED＝×180°＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
设AD＝A'D＝x，
∴，
∴AE＝，
∴A'C＝AC﹣AA'＝8﹣，
在Rt△A'CB中，
A'B2＝A'C2+BC2＝（8﹣）2+36，
在Rt△A'DB中，
BD＝AB﹣AD＝10﹣x，A'D＝x，A'B2+A'D2＝BD2，
∴x2+（8﹣）2+36＝（10﹣x）2，
解得，x1＝0（舍去），x2＝，
∴AD＝；

如图2，当∠DBA'为直角时，
∵∠ABA'＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴△ABC∽△AA'B，
∴，
∴，
∴AA'＝，
在Rt△AA'B中
A'B＝＝，
设AD＝A'D＝x，
在Rt△A'BD中，DB2+A'B2＝A'D2，
∴（10﹣x）2+（）2＝x2，
解得，x＝，
∴AD＝；

故答案为：或．

【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出两种情况的草图．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x是满足﹣1＜x＜2的整数．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后﹣1＜x＜2中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝，
当x＝0时，原式＝＝0．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．（9分）近几年，中学生过生日互送礼物甚至有部分家长为庆贺孩子生日大摆宴席攀比之风已成为社会关注热点．为此某媒体记者就中学生攀比心理的成因对某市城区若干名市民进行了调查，调查结果分为四组：A．社会环境的影响；B．学校正确引导的缺失；C．家长榜样示范的不足；D．其他．并将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（均不完整）

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角度数是　90°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区120000名市民中有多少名市民持C组观点；
（4）针对现在部分同学因举行生日宴会而造成极大浪费的现象，请你简单说说中学生大操大办庆祝生日的危害性，并提出合理化的建议．
【分析】（1）根据题目中的数据可以求得本次调查的人数，从而可以求得扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得C组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得该市城区120000名市民中有多少名市民持C组观点；
（4）根据题意写出几条为孩子和合理化建议即可，本题答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：40÷20%＝200，
扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角度数是：360°×＝90°，
故答案为：90°；
（2）C组人数为：200﹣40﹣50﹣30＝80，
补充完整的条形统计图如右图所示；
（3）120000×＝48000（人），
答：计该市城区120000名市民中有48000名市民持C组观点；
（4）中学生大操大办庆祝生日的危害性：第一，造成孩子们的互相攀比现象；第二，给很多家庭带来负担；第三，不利于孩子们树立正确的价值观；
合理化建议：可以一家人给孩子在家里办一个生日宴，这样可以和孩子拉近感情，又让孩子感受到父母对他们的关注．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，点E为边BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空
①若∠B＝30°，AC＝，则DE＝　　；
②当∠B＝　45　°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

【分析】（1）AC是直径，则∠ADC＝∠CDB＝90°，点E为边BC的中点，连接OD，则∠OCD＝∠ODC，则∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，即可证明；
（2）①CB＝＝＝3，则DE＝BC＝，即可求解；
②只要DE⊥BC，以O，D，E，C为顶点的四边形就是正方形，即可求解．
【解答】解：（1）∵AC是直径，则∠ADC＝∠CDB＝90°，

∵点E为边BC的中点，∴∠ECD＝∠EDC，∠B＝∠BDE，
连接OD，则∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）①CB＝＝＝3，
则DE＝BC＝，
故答案是；
②只要DE⊥BC，以O，D，E，C为顶点的四边形就是正方形，
则∠B＝∠BDE＝×90°＝45°，
故答案为45．
【点评】本题为圆的综合题，涉及到直角三角形中线定理、正方形的性质，直角三角形中线定理的应用，是本题解题的关键．
19．（9分）郑州大学（ZhengzhouUniversity），简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”．某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．（结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）

【分析】设CE＝x，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出BE，根据正切的定义用x表示出AC，根据等腰直角三角形的性质列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设CE＝x，
在Rt△DEB中，sin∠DEB＝，
∴DB＝DE•sin∠DEB≈4×0.6＝2.4，
cos∠DEB＝，
∴BE＝DE•cos∠DEB≈4×0.75＝3，
在Rt△AEC中，tan∠AEC＝，
∴AC＝CE•tan∠AEC＝x，
∵∠ADF＝45°，
∴FA＝FD，
∴x﹣2.4＝x+3，
解得，x＝，
∴AC＝x≈13，
答：大楼AC的高度约为13米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点C，过点O作OB⊥OA，交直线AB于点B．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）在x轴上有一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标

【分析】（1）将点A（﹣，1）代入y＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由射影定理求出BC＝3，那么B（﹣，﹣3），计算求出S△AOB＝××4＝2．则S△AOP＝S△AOB＝．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣×1＝﹣，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；

（2）∵A（﹣，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC＝，AC＝1，
由射影定理得OC2＝AC•BC，可得BC＝3，B（﹣，﹣3），
S△AOB＝××4＝2．
∴S△AOP＝S△AOB＝．
设点P的坐标为（m，0），
∴×|m|×1＝，
∴|m|＝2，
∴m＝±2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）或（2，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出解析式是解题的关键．
21．（10分）党的十九大提出实施乡村振兴战略，将生态宜居作为乡村振兴的总目标之一，《乡村振兴战略规划（2018﹣2022年）中更是把建设生态宜居美丽乡村作为重要内容以具体化．某县富强加工厂响应“产业兴旺、生态宜居、生活富裕”的号召，拟计划投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生产线共用资金260万元；而投资兴建1条全自动生产线和3条半自动生产线共用资金280万元．
（1）求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元？
（2）据预测，2019年每条全自动生产线的毛利润为260万元，每条半自动生产线的毛利润为160万元这一年，该加工厂共投资兴建10条生产线，若想获得不少于1200万元的纯利润，则2019年该加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线？
【分析】（1）可设每条全自动生产线的成本为x万元，每条半自动生产线的成本为y万元，根据等量关系：投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生产线共需资金260万元；投资兴建1条全自动生产线3条半自动生产线共需资金280万元；列出方程组求解即可；
（2）可设2019年该加工厂需兴建全自动生产线a条，根据不等关系：获得不少于1200万元的纯利润，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设每条全自动生产线的成本为x万元，每条半自动生产线的成本为y万元，根据题意，得
，
解得．
答：每条全自动生产线的成本为100万元，每条半自动生产线的成本为60万元．
（2）设2019年该加工厂需兴建全自动生产线a条，根据题意，得
（260﹣100）a+（160﹣60）（10﹣a）≥1200，解得a≥3，
由于a是正整数，
所以a至少取4．
即2019年该加工厂至少需投资兴建4条全自动生产线．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等量关系和不等式关系式是解题的关键．
22．（10分）已知，点C为线段AB外一动点，且AB＝4，AC＝2．
问题发现
（1）图1，当点C位于　线段BA的延长线上　时，线段BC的长取最大值，且最大值为　6　．
扩展探究
（2）如图2，若以BC为斜边向上构造等腰直角三角形BCD，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线时，求CD的长度；
解决问题
（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AC为半径，在旋转过程中，试求AD的最大值和最小值．

【分析】（1）当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长度最大，最大值为6；
（2）以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线，且点A在线段CD上时或点A在线段DC的延长线上时，设CD＝x，在Rt△ADB中，利用勾股定理可分别求出两种情况下CD的长度；
（3）当AC⊥AB且点C在AB上方时，AD取最大值，将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DBE，证明△ADE为等腰直角三角形，通过解直角三角形可求出AD的最大值；当AC⊥AB且点C在AB下方时，AD取最小值，将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DFB，且A，F，B三点在同一直线上，证明△ADF为等腰直角三角形，可通过解直角三角形可求出AD的最小值．
【解答】解：（1）如图1，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长度最大，
BC＝AB+AC＝4+2＝6，
故答案为：线段BA的延长线上，6；

（2）①如图2﹣1，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线，且点A在线段CD上时，
设CD＝x，
则DB＝x，AD＝CD﹣AC＝x﹣2，
在Rt△ADB中，
AD2+DB2＝AB2，
即（x﹣2）2+x2＝42，
解得，x1＝1﹣（负值舍去），x2＝1+，
∴CD＝1+；

②如图2﹣2，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线，且点A在线段DC的延长线上时，
设CD＝x，
则DB＝x，AD＝CD+AC＝x+2，
在Rt△ADB中，
AD2+DB2＝AB2，
即（x+2）2+x2＝42，
解得，x1＝﹣1﹣（负值舍去），x2＝﹣1，
∴CD＝﹣1；
∴CD的长度为1+或﹣1；

（3）①如图3﹣1，当AC⊥AB且点C在AB上方时，AD取最大值，
将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DBE，
则∠ADE＝90°，△DCA≌△DBE，
∴DA＝DE，BE＝AC＝2，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AE＝AB+BE＝4+2＝6，
∴在等腰直角△ADE中，
AD＝AE＝3，
∴AD的最大值是3；

②如图3﹣2，当AC⊥AB且点C在AB下方时，AD取最小值，
将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DFB，且A，F，B三点在同一直线上，
则∠ADF＝90°，△DCA≌△DBF，
∴DA＝DF，BF＝AC＝2，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2＝2，
∴在等腰直角△ADF中，
AD＝AF＝，
∴AD的最小值是；
综上所述，AD的最大值为3，最小值为．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能够确定点C的位置并画出图形．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），点B，交y轴于点C（0，2）．连接BC，AC
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线第二象限上一点，满足S△BCD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求点E的坐标．

【分析】（1）将点A（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）由S△BCD＝S△ABC，可得S△BCD＝3；设D（n，﹣n2﹣n+2），D到直线BC的距离是h，可得n2+4n﹣3＝0或n2+4n+3＝0，即可求n；
（3）延长AC与BE交于点F，易证△ABC是直角三角形可知△ACF是等腰直角三角形，由AC＝，CF＝2，可得A是CF的中点，所以F（2，﹣2），
进而确定直线BF的解析式为y＝﹣x﹣，可求交点E；
【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴c＝2，b＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）由（1）可得B（﹣4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝x+2，
∴AB＝5，BC＝2，
∴S△ABC＝＝5，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴S△BCD＝3，
设D（n，﹣n2﹣n+2），D到直线BC的距离是h，
∴S△BCD＝3＝，
∴h＝，
∴＝，
∴n2+4n﹣3＝0或n2+4n+3＝0，
∴n＝﹣2+或n＝﹣2﹣或n＝﹣1或n＝﹣3，
∵点D为抛物线第二象限上一点，﹣4＜n＜0，
∴n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，3）或D（﹣3，2）；
（3）延长AC与BE交于点F，
易证△ABC是直角三角形，
∵直线BC绕点B顺时针旋转45°，
∴∠CBF＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵AC＝，CF＝2，
∴A是CF的中点，
∴F（2，﹣2），
∴直线BF的解析式为y＝﹣x﹣，
由﹣x﹣＝﹣x2﹣x+2可求交点E，
∴x＝﹣4或x＝，
∴E（﹣4，0）或E（，﹣），
∵E（﹣4，0）与B重合舍去，
∴E（，﹣）；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，旋转图形，直角三角形的性质；本题是综合题，掌握待定系数法求解析式，熟练的将函数与三角形相结合，确定△BCF是等腰之家三角形是解题的关键．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（3分）春暖花开，走在郑州中原西路上，不禁感慨“郑州的路越来越漂亮了“感慨背后，是对郑州从2012年起建设生态廊道的由衷认可．目前，郑州累计增绿超3亿平方米，相当于140个碧沙岗公园．我们把3亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．3x107
3．（3分）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法（　　）