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解析中考二次函数

二次函数是初中教学的主干知识，也是中考重点考查的内容。各种题型中均易出现，大约占到左右的分值，选择题、填空题一般考查基础知识，较容易；而综合题中以二次函数为主干的则较灵活，除考查相关基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数型结合思想的运用能力及探究能力，多以压轴题出现，有一定难度。现就几例中考题，站在前人的肩膀上以中考的眼光为广大奋战在中考一些线的师生们总结如下：

考点一：二次函数的图象性质
例1 （09湖州）已知抛物线 (>0)的对称轴为=1,且过点(-1,)，(2,)，试比较和的大小：＿（填“>” “<”或 “=”）。
解：设点(-1, )关于=1的对称点为(3,)，所以= ；∵ >0, ∴当>1时,随的增大而增大, ∴>,即 >
评析：此题考查了对称性、开口方向、增减性等知识，因为两点不在对称轴x=1的同一侧，不能直接运用二次函数增减性质来判断，所以需根据二次函数对称性将其中某一点作关于对称轴对称的点，利用等效替换与二次函数的增减性便可判断大小。二次函数图象性质的考查多以基础题出现，一般难度不大，此题考查了二次函数的一般形式，另外顶点式与交点式的对称轴、开口方向、增减性以及顶点坐标等也需注意。具体的可由下表得出：
二次函数形式
开口方向
对称轴
顶点坐标

>0开口向上
<0开口向下
=-
(-,)

=

=
(,)
开口大小：
1）︱︱越大，抛物线开口越小
2) ︱︱越小，抛物线开口越大
最值：
1）>0时 二次函数有最小值，为顶点坐标的值
2）<0时 二次函数有最大值，为顶点坐标的值
增减性质：
1）>0时 在对称轴左侧随的增大而减小, 在对称轴右侧随的增大而增大
2）<0时 在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小
教学与复习时需要找出具体的例子画出图象理解了此表，并且注意各个性质间的综合应用，而不是死记该表格的内容。

考点二：二次函数的图象特征与﹑﹑及的关系
例2（09孝感）小明从如图所示的二次函数的图象中得到了下面五条信息：（1）<0;(2) >0;(3) -+>0;(4) 2-3=0;(5) 4+2+>0 你认为其中正确的个数有（ ）

A 2个 B 3个 C 4个 D 5
解：∵图象与轴负半轴相交 ∴<0；∵图象开口向上∴>0 ；又∵对称轴在轴右侧∴与异号∴>0；∵=-1及=2时图象均在y轴上方∴-+>0>0，4+2+>0;∵-=∴2-3=0且﹑≠0∴2+3≠0 ∴（1）（2）（3）（5）正确 答案：C 4个
评析：此题主要考查了对称轴位置、开口方向、图象与y轴交点等与﹑﹑及
的关系，解答时要注意数型结合。根据二次函数图象确定有关代数式符号是二次函数考题中一类典型的数形结合问题，需要一定的数形结合思想的运用能力。此类题型主要考查二次函数图象特征与﹑﹑及的关系，具体的可由下表得出：
参数
参数符号
图象特征

>0
开口向上 有最小值
<0
开口向下 有最大值

=0
对称轴为轴 -=0
>0(与同号)
对称轴在轴左侧 -<0
<0(与异号)
对称轴在轴右侧 ->0

=0
经过原点 二次函数解析式：
>0
与轴正半轴相交
<0
与轴负半轴相交

=0
与轴有唯一交点: (,)
>0
与轴有两个交点:
<0
与轴没有交点 图象在轴的上方或下方
二次函数过点（1，++）﹑(-1, -+)
此外，解答该类题型时还需注意的是给出符号之间的一些关系，让考生判断图象特征并选择图象以及判断并确定﹑﹑之间的关系是也是常考题型，如上题的确定“2-3”是否为“0”以及给出解析式或者一些点求类似于“++,-+，4+2+”这样的值的问题，这就需要考生根据对称轴的值以及函数图象和解析式来加以判断确定了，总的来说就是要能够灵活运用图象特征与﹑﹑及的关系。

考点三：二次函数图象的平移
例3（09兰州）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴﹑轴分别向上﹑向右平移2个单位，求在新坐标系下抛物线的解析式。
解：原抛物线顶点为（0，0），新坐标系下顶点为(-2,-2),所以新坐标系下抛物线解析式为
评析：二次函数的平移不改变开口方向及大小，只改变图象位置，由于此题只需顶点坐标即可确定解析式，所以只需确定旧坐标系下顶点继而平移得到新坐标系下顶点，再把解析式写成顶点式即可，其中是顶点坐标；再者，对于该类型的平移可看成坐标系不动，将抛物线分别水平向左﹑向下（与平移坐标的方向相反）平移2个单位。平移题型常考的除了像此题一样平移坐标外还有平移x与y的，其平移规律是“左加右减，上加下减”，具体的可由下表得出：
原函数

变换
>0向右平移个单位
>0向右平移个单位
<0向左平移︱︱个单位
<0向左平移︱︱个单位
变换后的函数

变换
>0向上平移个单位
>0向上平移个单位
<0向下平移︱︱个单位
<0向下平移︱︱个单位
变换后的函数

﹑同时变换
所得函数

若原函数为﹑形式，目标函数为﹑，则平移规律为“左减右加，上减下加”即按上述规律的相反方向平移即可。

考点四：二次函数解析式的确定
例4 （09兰州）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6m，底部宽度OM=12m，现以O为原点，OM所在直线为轴建立直角坐标系。

（1） 直接写出点M及抛物线顶点坐标；
（2） 求该抛物线的解析式；
（3） 若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C,D点在抛物线上，A,B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值为多少？
解：（1） M（12，0） 顶点（6，6）
（2） 设抛物线的解析式为
∵抛物线的顶点为（6，6），∴将（0,0）代入得 =，∴= (-6)+6
⑶ 设A(,0)则B(12-,0),C(12-,),D(, ) 所以“支撑架”总长AD+DC+CB=（+(12-2)+( )
= 所以当=3时，“支撑架”AD+DC+CB有最大值15 m
评析：该题属于二次函数综合题中较易的一类题，只是考查了二次函数的顶点，解析式，最值与实际生活联系等知识，顶点及最值可由二次函数图象性质得到，二次函数解析式有三种（顶点式，交点式，一般式），解该类题型时要根据具体情况选择适当形式，该题三种解析式所需条件均满足，可选择任一形式（此题顶点式较简单）求解，具体的如何选择适当形式可由下表得出：

已知条件
所设形式
解析方法
图象上三个点的坐标

将已知三点代入所设形式，列出方程组求出待定系数
图象与x轴的两个交点及图象上另一点的坐标

将已知两交点横坐标，再代入第三点求出待定系数
①顶点坐标及图象上另一点
②对称轴方程与最值及图象上另一点

①将,换成顶点坐标
②将,换成对称轴方程及最值
再代入图象上另一点求出待定系数

考点五: 二次函数与一元二次方程的关系
例5（09娄底）已知关于的二次函数，
（1） 探究满足什么条件时，一元二次方程的解的情况。
（2） 设二次函数的图象与轴的交点为且，与轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式。
解：（1）在一元二次方程中，

①当，即>0时，方程有两个不相等的实数根，此时
②当，即=0时，方程有两个相等的实数根，此时
③当，即时，方程没有实数根，此时
（2）由题知且
即得 由（1）知，∴ ∴二次函数，其与轴交点（0，2） 顶点(设直线CM的解析式为则，所以直线CM解析式为。
评析：一元二次方程解得情况可据判别式及二次函数与x轴交点情况来确定，具体二次函数图象与一元二次方程解的关系可由下表得到；此类题型还需注意的是韦达定理的灵活运用，此题求函数解析式可据已知条件由根与系数的关系，得到关于的方程从而求出的值，得到二次函数解析式，进而解出直线解析式。
判别式

有两个不相等的实数根：

有两个相等的实数根：

没有实数根
韦达定理（根与系数的关系）：若抛物线与x轴两个交点分别为A,B则：

考点六：二次函数的实际应用
例6 （09武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月销售利润为元。
（1） 求与的函数关系式并直接写出的取值范围；
（2） 每件商品的售价为多少时，每个月可获得最大利润？最大利润为多少?
（3） 每件商品售价为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元。
解：(1) 且为整数）
（2）
∵，∴当时，有最大值2402.5
∵且为整数，∴当时，=2400元；当时，=2400元。
∴当每件商品的售价为55元或56时，每个月的利润最大，最大利润为每月2400元。
（3） 当=2200元时，即解得：
∴当每件商品的售价为51元或60时，每个月的利润为2200元。据二次函数图象性质知：当时，且为整数，每个月的利润不低于2200元，即售价在51元到60元（包括51，60）且为整数时，每个月的利润不低于2200元。
评析：二次函数的实际应用是常见题型，尤其是经济类求最值题型，另外求面积最大，耗材最小等也是不可忽视的。解决这类问题要根据题意建立二次函数模型，再利用二次函数相关性质求解，但要注意自变量的实际意义。这也是二次函数实际应用的思维过程。对于该题中的第一题可用一个表格来分析各个变量间的关系：
原利润
涨价
现利润
销量
总利润
50-40=10

50+-40
210-10
（50+-40）（210-10）
有了这个表格，就可轻松解决此题了; 第二题取时利用了二次函数的对称性质（第三题也用到），根据的实际意义取最大利润；第三题则可画出草图，直接观察图象求解（也属于一元二次不等式求解）。需要注意的是在解决二次函数实际应用时不能忘了考虑自变量的实际取值范围。
另外下面两个例题也是值得注意的：
例7 已知抛物线中，当时，随的增大而增大，求。
解：∵当时，随的增大而增大 ∴
∵图象为抛物线 ∴ 又∵ ∴
评析：此题考查了二次函数的定义，对于二次函数定义我们可以从下面两方面来理解：①二次项系数不为0，此题中要求 ②自变量最高次数一定二，此题中要求
对于此题还需根据二次函数图象性质与之解答。
例8 求函数的最小值，属于全体实数。
解：令则函数=
∵的系数为1>0 ∴函数有最小值：= ，此时
=<，所以当时，为最小值， =
评析：解答此题时需细心观察利用换元将一元四次函数换为我们熟悉的一元二次函数，再利用二次函数相关性质进行解答，但要注意的是换元以后自变量的取值范围。另外此题还可以画出换元后的草图，直接观察草图在自变量范围内求解。

总评：二次函数及其应用是初中代数中的重要内容，与整个初中的代数、几何知识有着十分紧密的联系。新课标内容要求改动较大，更注重二次函数的应用知识，强化了二次函数的最大（小）值，如二次函数与其它知识（方程、三角形、四边形、圆等）联合的综合性题目，中考试卷的压轴题常以它作为主干知识，并将几何图形与函数的图象有机结合，综合性强，难度系数也较大，但一般都是两到三个小题，难度逐渐递增，为此我们可以采取“保证中易分，争取难度分”的得分策略，逐步得分。
二次函数在中考中一直是个经典不息的考点，每年总会有一些新颖的题目出现以便考查学生的综合素质。复习中我们就要抓住二次函数的图象性质、二次函数的图象特征与﹑﹑及的关系、二次函数图象的平移及二次函数与一元二次方程的关系等基础知识以之应对日新月异的中考。

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