平行线和相交线.doc

第五章 相交线与平行线
5．1．1 对顶角
（一）知识与技能目标
1．理解对顶角的概念，能在图形中辨认对顶角．
2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．
3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
二、教学重点、难点
（一）教学重点: 对顶角的概念,对顶角的性质与应用.
（二）教学难点: 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．
三、教学方法
问题情境——探究教学法
四、教具学具准备 投影仪或电脑、三角尺．
教学过程
一、创设情境，引入课题
导语：在日常生活中我们可以看到许许多多的相交线，相信同学们对此并不陌生，请看投影打出的图片（投影片），然后引导学生观察，并回答问题．
问题1：请观察后找出图片中的相交直线、平行线。
问题2：你能再举出一些身边的相交直线、平行线的实例吗？
【板书】10.1 相交线
二、探究新知，讲授新课
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点。
直线AB、CD相交于点O。
问题:两条相交直线.形成的小于平角的角有几个?
问题：请同学们画出任意两条相交直线,用量角器量一量4个角的度数，看看这四个角有什么关系?
1．对顶角的概念
学生活动：观察右图，学生举手回答，教师统一学生观点
对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且他们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角。
学生活动：让学生找一找右图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？
学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？

对顶角的性质: 对顶角相等.
例1、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠ 4的度数。
解：由邻补角的定义，可得
∠2＝180°－∠1
＝180°－ 40°
＝140°
由对顶角相等，可得
∠3＝∠1＝40°
∠4＝∠2＝140°

练习2
变题：若∠１= m°，求各角的度数。
例2、如图,若∠1:∠2=2:7 ，求各角的度数。
解:设∠1=2x°,则∠2=7x °
根据补角的定义,得
2x+7x=180
x=20
则∠1=40°, ∠2=140°
根据对顶角相等,得
∠3=40°, ∠4=140°
三、巩固练习

四、归纳小结
对顶角的特征：
①两条直线相交形成的角
②有一个公共顶点
③没有公共边
性质：对顶角相等
五、作业布置
§5.1.2 垂线
教学目的：
1、使学生你理解垂线的含义与垂线的画法；
2、能理解点到直线的距离，理解垂线段的意义；
3、能在学习中了解几何的不同情况下的分类，以及能在一个三角形作出三角形的高。
教学分析：
重点：如何确定点到直线的距离以及垂直的公理；
难点：如何在教学中渗透变换的思想。
教具准备：
一个可以转化角度的两直线相交模型，一个硬纸皮三角形。
教学设想：
在教学中充分考虑学生的接受能力，注意渗透变换的思想。
教学过程：
一、知识导向：
本节课的知识是学生逐渐接触完整的几何图形及对几何知识的系统学习，在本节的学习中要充分注意知识的连贯性，使学生在学习在有一个充分思维的过程，并在在知识学习的过程自我发现，自我处理问题，通过结合前面的学习，初步学会对几何知识的综合理解应用。
二、新课拆析：
1、知识设疑：
同学们把手中可以转动的两条相交的纸条进行转动，在转动的过程中，是否会出现四个角都相等的情况？如果会，那么每一个角都是多少度？
2、知识释疑：
从上节课的学习中，我们已经知道两条直线相交会出现四对邻补角，两对对顶角，这两条直线称做相交线。
当两条直线转动到所形成的四个角都相等时（等于直角），这时，称这两条直线互相垂直。
概括：两条直线相交，只有一个交点。
当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直。
他们的交点叫做垂足。
垂线
图形：

表示：，，垂足为O，
应用：
∴
3、知识延伸：
（1）画（作）一条已知直线的垂线
已知直线AB，及AB外（上）一点P，求画出过P点垂直于直线AB的直线CD。

（2）垂线的公理
从画图的过程及其结果中，我们很容易发现，过一点只能作
一条直线与已知直线相垂直。
概括：（垂线的性质）在同一平面上，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离
从生活中的实际，我们也很容易得知，如果你将从教室的一边走到教室的另一边，能走最短的路，就是沿着与对面垂直的线路来走，所以
概括：（公理）垂线段最短。
点（直线外）到直线的距离指的就是这个点到这条直线的垂线段的长度。
4、例题讲解：
例：1、如图，已知，，垂足为O，OE是一条射线，且
求：，

2、如图，在△ABC中，请作出AB边上的高，及求出顶点B到边AC的距离。

三、巩固训练：

四、知识小结：
从本节课的学习中，我们应该懂得垂线的含义，并能根据定义画出适合题意的垂线，明白：过一点作一已知直线的垂线有且只有一条，能够通过作垂线求得点到直线的距离。

五、家庭作业：
六、每日预题：
1、你知道你什么叫做“三线八角”吗？
2、在“三线八角”中有哪一些角？

七、教学反馈：

知识的渗透是一个很连贯的东西，这些知识应该化整为零，以平时的学习中慢慢让学生去体会。

在转动的过程中，必须注意到变与不变，什么变，什么不变，为什么，怎么变？

当有一个角是直角时，另外三个角也是直角，这个在原理上必须让学生明白。

图形与语言的结合（转化）是几何中的一个难点。

作图的方法，可以作为一个补充知识进行讲解，在画垂线时，不一定局限于三角板或是量角器，也应懂得利用身边的东西（如书本）。

垂线段的定义是否有必须讲，仍然必待探讨。

做题的格式与方法，过程，应在平时多加学习锻炼。

什么是三角形的高，书本中并没有涉及，在本书中出现了多次编排不合适的地方。

“做一做”中的旋转是一个重点与难点。

习题2的题型是一种全新的题目，做题的方法仍需加强。

“三线八角”可先做简要的说明。

§5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
教学目的：
1、通过学习使学习能从“三线八角”中认识有关“同位角”、“内错角”、“同旁内角”的有关定义；
2、能从一些变形的图形中找到符合题意的对应角。
教学分析：
重点：能从适当的图形中找到相关的角；
难点：如何正确地认识图形。
教学设想：
讲角中主要抓住学生对图形的认识。
教学过程：
一、知识导向：
本节“三线八角”的学习是为后面学习“平行线”打基础，本节掌握的程度将起到至关重要的作用。在本节的学习中，主要是如何引导学生对图形的分解，如何从相关角的位置地认识不同的对应角。

二、新课拆析：
1、知识导入：
（引疑1）如图，直线AB交直线CD于点O，则从前面的学习中，我们也知道在相交所形成的四个角中，存在着两种对应角：对顶角与邻补角。

（引疑2）如图，直线AB分别与直线CD、直线EF都相交，交点分别为P、Q，则图中存在着八个角，这八个角中，有相同顶点的角是对顶角或是邻补角，那么其他的角，又有什么位置关系？

2、知识形成：
我们说：在一个平面内，一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、Q，可以说成“直线l截直线a、b于点P、Q”。
其中，直线l叫做截线，直线a、b叫做被截直线。
在右图，我们很容易得知，有八个角，其中有四对对顶角，八对邻补角，
对于与这样位置的一对角，我们称之为同位角；
对于与这样位置的一对角，我们称之为内错角；
对于与这样位置的一对角，我们称之为同旁内角；
概括： 同位角 一对角位于截线的同侧，被截线的同侧；
内错角 一对角位于截线的异侧，被截线的内侧；
同旁内角 一对角位于截线的同侧，被截线的内侧。
所以，在上图中还有其他的“同位角”、“内错角”、“同旁内角”。
3、例题讲解：
例：请找到图中的同位角，内错角，同旁内角。

三、巩固训练：

四、知识小结：
本节主要为平行线的学习打基础，学习了如何从“三线”中找到“八角”，每对角的相对位置是找到相应角的关键。
五、家庭作业：

六、每日预题：
什么是平行线？如何画一条已知直线的平行线？

“三线八角”的学习主要是位置感的确立，即从位置上找对应角。

从两条相交直线引导到一条直线截两条直线是一个比较正常、合理的方法，也比较能理顺学生的思路。

位置感仍然必须加强。

“试一试”是为下一节课学习平行线作出适当 的铺奠。所以在课堂上应加以必要的引导。

§5.2 平行线
5．2．1 平行线
教学目的：
1、使学生通过学习认识到平行线的美；
2、通过学习使学习能掌握平行线的定义，并能据此来画相关的平行线，并能对平行线的公理进行理解记忆。
教学分析：
重点：对平行线的认识；
难点：平行线公理的理解及应用。
教具准备：
准备一个可以转动的“三线八角”
教学设想：
主要在学生的动手理解为主，充分考虑学生学习的主动性，努力创造条件使学生能发现一些规律性的东西。
教学过程：
一、知识导向：
本节课属于平行线学习的基础课，也是学生在学生相交线后，有关两直线位置关系的另一种情况。学习的过程中，如何确定一条直线的平行线，并能从学习中体会到平行线的几何美，也能学习中找到自己的答案。

二、新课拆析：
1、知识形成：
在同一平面上，如果有直线a、b
（1）如果直线a、b有一公共点，则称直线a、b相交；
（2）如果直线a、b没有公共点，则称直线a、b平行。
概括：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；
在同一平面内，不重合的直线的位置关系：平行或相交。平行线：直线AB与直线CD互相平行
图形：

表示： “∥
2、知识拓展：
（1）过直线外一点画（作）已知直线的平行线
已知：直线AB，及直线AB外一点P，
请过P点作直线AB的平行线。

（2）平行线的公理
从以上的画图，我们容易得知
概括：（平行线的公理）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
3、例题讲解：
请写出图中的平行线：

三、巩固训练：

四、知识小结：
本堂课的主要学习内容是学习平行线的有关概念，能知道同一平面上的两直线的位置关系。能根据自己画图的结果说明过直线外一点画已知直线的平行的方法，并能总结出平行线的公理。

五、家庭作业：

六、每日预题：
1、复习“三线八角”中的有关角？
2、能说出识别两条直线平行的方法。

七、教学反馈：

几何的美感是新课程中使学生能体会到的一个重要方面，所以在讲解平行线时，应有意识加以引导。

从两直线的不同位置关系，运用类比比较的方法引出“平行线”的定义对学生来说是能较轻松理解的。

仍然要注意几何图形的意义及其表现形式。

要掌握住过程直线外一点作已知直线的平行线，这里关必须提醒学生注意到，这个点，必须是直线外的一点。

把平面中的平行线与简单的立体图形相结合对学生的学习是有所帮助的。

§5.2.2 平行线的判定
教学目的：
1、使学生通过学习能掌握运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来说明两条直线平行；
2、使学生通过对三种判定方法的学习，能灵活地利用平行线的三个识别方法解决问题。
教学分析：
重点：对三种判定方法的灵活运用；
难点：如何在不同情况下选择不同的方法。
教具准备：
学生与老师各准备一个可活动的“三线八角”的模型。
教学设想：
运用对比、比较来寻找两直线平行的方法。
教学过程：
一、知识导向：
本节课从平行线的位置感来入手，从实践中找到两直线平行的而必然存在的情形。利用可活动的“三线八角”来发现“同位角相等，两直线平行”。然后在此基础上进行研究从而得到了说明两直线平行的另外的两种方法。

二、新课拆析：
1、知识引导：
从活动的“三线八角”开始，把直线AB及直线EF固定下来，然后对直线CD进行旋转，在这一过程中，当直线CD绕着交点Q点旋转到一定地方时（），将会变成了下一图，会有：∥。
这时，我们可以发现：、∥。
即：当时，有∥。

2、知识形成：
概括：（1）同位角相等，两直线平行（两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行）。

应用：如右下图，已知直线、被直线所截，
（1）如果，那么∥，则
∵ （已知）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
（2）同理，如果已知，则
∵ （已知）
（对项角相等）
∴ （等量代换）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
（3）设疑，如果，是否也会有∥？

概括：（2）内错角相等，两直线平行（两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行）。
（3）同旁内角互补，两直线平行（两直线被第三条直线所截，如果同旁内角，那么这两条直线平行）。

3、例解讲析：
例：1、如图，已知直线、被直线所截，已知，，直线、平行吗？为什么？

2、如图，在四边形ABCD中，已知，，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？

三、巩固训练：

四、知识小结：
本节主要学习了平行线的识别的方法，对于这些方法，应在使用中多加灵活应用，并能抓住角与角之间的等量关系与两直线位置的关系。

新课程中，对于平行线的学习，主要侧重于平行的图形及简单的说理、说明，所以在课堂中的实际操作的重点仍有待考虑。

从“平行线的公理”到如今的“平行的识别”虽然改变的只是一个诩语，但其包含着新知识对学生要求的深度。所以在在课堂上也侧重于学生的自我操作及自我发现识别两直线平行的方法。

应用的安排，是从一个递进的方法来分析三种不同的识别方法，并抓紧了一点，即即数学中的“归一法”最终都归结于“同位角相等，两直线平行”。

例题中的分析，主要在角上作文章，注意角之间的等量关系。

平行线的三种识别方法，必须在小结中加以强调。

§5.2.3 平行线的性质
教学目的：
1、通过学习认识到两直线平行，同位角相等；并以两直线平行，同位角相等进一步引出其他的有关的特征；
2、能够结合平行线，对图形进行简单的平移；
3、通过学习使学生能对平行线的三个主要特征有较深的认识。
教学分析：
重点：灵活地利用平行线的三个特征解决问题；
难点：如何对图形进行平移与旋转。
教学设想：
教学中以渗透逻辑推理为主要学习方法。
教学过程：
一、知识导向：
在本节中，教材通过测量两条平行线被第三条直线所截得的同位角，得出两直线平行，同位角相等，然后通过说理，使学生了解两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。在教学中应淡化平行线的三个特征的逻辑关系，使学生能灵活地利用平行线的三个特征解决问题。在教学中应加强对学生进行初步的数学语言的训练，使学生能用数学语言叙述直线的平行关系，注意渗透逻辑推理的思想。另外，在教学中应注意渗透平移的思想。

二、新课拆析：
1、知识思索：
从上节课中所学习的“平行线的识别”，我们已经知道，如何根据角与角之间的等量关系来说明两条直线是否平行，知道了：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。也就是说，我们利用角的等量关系来得到直线的位置关系（平行）。
反之，我们能否两直线平行的位置关系来等到一些特殊角的特殊的等量关系？
2、知识形成：
如果我们让直线EF分别与一对平行线AB、CD相交，交点分别是P、Q，并由此得到一对同位角：、。
这时，借助量角器，我们将很容易得知：
即：由∥得
也就是说：两直线平行，同位角相等。
概括：（1）两直线平行，同位角相等；
（两条平行线被第三条直线所截，同位角相等）；
运用相同的方法，我们也将能得到：
概括：（2）两直线平行，内错角相等；
（两条平行线被第三条直线所截，内错角相等）；
（3）两直线平行，同旁内角互补；
（两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补）；
应用：如下图示，∥，则
（1） ∵ ∥ （已知）
∴ （两直线平行，同位角相等）
（2） ∵ ∥ （已知）
∴ （两直线平行，内错角相等）
（3） ∵ ∥ （已知）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）

3、例题讲解：
例：1、如上图，已知直线∥，，求的度数。

2、如图，在四边形ABCD中，已知∥，，求的度数，能否求得的度数？

3、将如上图所示的方格中的图形向右平移4格，并向上平移3格，画出平移后的图形。
三、巩固训练：

四、知识小结：
本节主要学习了平行线的特征。即，两直线平行，我们可以得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。另外，要学会根据平行的特点来对图形进行平移。

五、家庭作业：
六、每日预题：
1、如果你们的班级是一个非常民主的班级，你们将如何来选择你们的班长？
2、如何来表示数据出现的次数？
七、教学反馈：

如何渗透逻辑推理的思想将是本节教学中的一个非常重要的知识。在几何学上，对数学语言的训练是初学者最难以理解的东西，所以在教学中必须时时重视。

平行线的识别与平行线的特征两者间的关系应该加以注意，毕竟两者的联系是非常紧密的，而且借助平行线的识别来学习可以达到事半公倍作用。

新课程中淡化了对平行线的三个特征的逻辑关系，主要应侧重于知识的应用。

几何语言的应用形式是平时必须加强的知识。

例3，有关图形的平移，应抓其点与形的关系，即如何做到以点代形，以点代面。

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