有理数及其运算知识总结教师用.doc

有理数及其运算知识总结

一、本章知识概述
本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：
第一部分：主要内容是有理数的有关概念.
首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．
其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．
第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.
第二部分：学习有理数的加减法运算，
通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；
通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；
利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；
综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．
第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．
经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力 .
根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；
根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；
根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．
根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；
使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．
二、重点知识归纳及讲解
1、正数和负数的概念
　　比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.
　　为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.
　　对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.
2、有理数的概念及分类

　　整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．
　　到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.
　　通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.
3、数轴的概念及画法
　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
　　数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.
画数轴的步骤：
（1）画一条直线，一般画成水平的直线；
（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；
（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；
（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.
4、相反数的概念
　　如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.
　　在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.
　　一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.
　　相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.
5、绝对值的概念
　　在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.
　　正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：

6、绝对值的有关性质
（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；
（2）若|a|=0，则a=0；
（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；
（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；
（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；
（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.
7、有理数大小的比较法则
　　在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
　　正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数；
　　两个负数，绝对值大的反而小 .
8、有理数加法法则
　　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 .
　　异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.
　　一个数同 0相加，仍得这个数.
9、有理数加法运算律
　　加法交换律： a＋b=b＋a
　　加法结合律： (a＋b)＋c=a＋(b＋c)
10、有理数减法法则
　　减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a－b=a＋(－b).
11、代数和的意义
　　几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.
12、有理数加减混合运算步骤
（1）把加减混合运算统一成加法；
（2）写成省略加号、括号的代数和；
（3）利用加法法则及运算律进行计算.
13、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得0．
14、多个非零因数相乘，积的符号规律
n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
15、有理数乘法的运算律
(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变．即a·b＝b·a；
(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a·b)·c＝a·(b·c)；
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加．即a(b＋c)＝ab＋ac．
16、倒数的概念
乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b＝1时，a与b互为倒数．
由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.
倒数还可以说成是：1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a≠0，a的倒数为．
17、有理数的除法法则
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．
18、利用除法化简分数
除法可以写成几种不同的形式，例如：
6÷3可以写成，还可写成6∶3.
说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.
19、乘方的概念
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即

在中，a叫做底数，n叫做指数，叫做幂．
的读法有两种：
(1)读作a的n次幂．
(2)读作a的n次方．
20、有理数的乘方法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
21、科学记数法
把一个大于10的数记成的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记数法．
22、有理数的混合运算
有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.
有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.
三、难点知识剖析
1、负数的产生及其意义
　　随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 .
　　正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .
2、数集的概念
　　把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .
3、多重符号的化简规律
　　单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 .
　　括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 .
　　在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .
4、两个负有理数的大小比较
　　两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 .
　　两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .
5、有关绝对值的计算及化简
　　灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .
6、积的符号的确定方法
有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.
7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定
几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．
如： (－12)÷(－2)÷(－3)——三个负数：负
＝－(12÷2÷3)＝－2
(－12)÷2÷(－3)——两个负数：正
＝＋(12÷2÷3)＝2
8、有理数混合运算中应注意的问题
（1）要注意运算顺序；
（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；
（3）要灵活进行小数、分数的互化；
（4）互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.

典型例题
例1：一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6km，走－4.5km，走0km的意义各是什么？
分析：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动 .0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.
解：走 6km表示物体向南走6km；
走－ 4.5km表示物体向北走4.5km；
走 0km表示物体原地不动.
例2：某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋ 10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？
分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为＋ 10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.
解：依题意知，五位同学在实际成绩分别为：
100、85、90、98、87，
其平均成绩为：

例3：如图所示的数轴上， A、B、C、D、E各点分别表示什么数？

分析：根据各点在原点的左侧，右侧还是在原点上，来确定数是负数，正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.
解：点A表示数；　　　　 点B表示数；
　　　 点C表示数0；　　　　　 点D表示－3；
　　　 点E表示数.
例4：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；

分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.
解：这些数在数轴上的表示如图所示 .

　　它们从小到大的排列为：
例5：利用绝对值比较下列有理数的大小 .
（1）－0.6，－60

分析：比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .
解：（1）|－0.6|=0.6, |－60|=60
　　　 ∵ 0.6<60，∴ －0.6>－60.

例6：已知 |a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.
分析：由绝对值的非负性可知， |a＋2|≥0，|b－3|≥0，而且只有当|a＋2|和|b－3|都等于0时，|a＋2|＋|b－3|=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=－2，b=3.
解：∵ |a＋2|＋|b－3|=0，
　　　 又 ∵ |a＋2|≥0，|b－3|≥0，
　　　 ∴ |a＋2|=0，|b－3|=0．
　　　 ∴ a＋2=0，b－3=0．
　　　 ∴ a=－2，b=3．
例7：计算

分析：进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算 .
解：（1）原式=（－5）＋（－3）＋（－9）＋（＋7）
=－5－3－9＋7
=（－5－3－9）＋7
=－17＋7=－10

例8：计算题：

注：（1）要按运算顺序进行计算.
（2）乘方时要看清楚底数与指数，先确定幂的符号.
例9：计算题：

注：第（1）小题先由里及外逐层去掉括号，同时把除法转化为乘法进行运算，第（2）小题应用乘法分配律使运算得以简化.
例10：用科学记数法表示下列各数．
(1)270．3； (2)3870000；
(3)光的速度约为300 000 000米/秒；
(4)0．5×9×1000000； (5)10．
解：(1)270．3＝2．703×100＝2．703×102．
(2)3870000＝3．87×1000000＝3．87×106．
(3)300000000＝3×100000000＝3×108．
(4)0．5×9×1000000＝4．5×106．
(5)10＝1×10．
说明：科学记数法a×10n中，a是小于10且大于等于1的数，n比原数位的整数位数少1，比如：3870000000是10位数，指数n就是9．这就是说n等于原数的整数位数减1，而不是比所有的数位和少1．如179．4＝1．794×102，而不是179．4＝1．794×103．
例11：某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃，若该地地面温度为21 ℃，高空某处温度为－39 ℃，求此处的高度是多少千米？
解： 1×｛［21－（－39）］÷6｝
=1×（60÷6）
=10（千米）
因此：此处的高度是10千米．