中考数学二次函数-经典压轴题及答案.doc

中考数学二次函数-经典压轴题及答案

一、二次函数
1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x﹣2，顶点D的坐标为 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】
（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴抛物线的解析式为yx﹣2．
yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴顶点D的坐标为 （）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （），∴抛物线的对称轴为x．
∵抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x对称．
∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，yx﹣2＝﹣2，则点C的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．
当x时，y，∴点M的坐标为（）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．

【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）y=60-；（2）z=-x2+40x+12000；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求最大值．
试题解析：解：（1）由题意得：
y=60﹣
（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣+40x+12000
（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）
=﹣+42x+10800
=﹣（x﹣210）2+15210
当x=210时，w有最大值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

5．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．
∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）或5．
提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.

6．如图，直线y＝-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面积最大值为；此时D(﹣3，﹣)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【解析】
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】
解：(1)在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
(2)设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，
设DE与AC的交点为点F.
∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC
＝DF•AE+•DF•OE
＝DF•OA
＝×(﹣m2﹣m)×6
＝﹣m2﹣m
＝﹣(m+3)2+，
∵a＝﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，
又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，
∴存在点D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面积最大，最大值为；
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，
直线AD′的解析式为y＝x+9，
由，解得或，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.

7．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；
（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) ;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°，AC⊥BD，
∴∠OAB=30°，
∵AB=20，
∴OB=10，AO=10，
由题意得：AP=4t，
∴PQ=2t，AQ=2t，
∴S=S△ABC﹣S△APQ，
=，
= ，
=﹣2t2+100（0＜t＜5）；
（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，
∵点Q关于O的对称点为M，
∴OM=OQ，
设PM=x，则AM=2x，
∴AP=x=4t，
∴x=，
∴AM=2PM=，
∵AM=AO+OM，
∴=10+10﹣2t，
t=；
答：当t为秒时，点P、M、N在一直线上；
（3）存在，
如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积，
∴S△APN=S△PMN，
过M作MG⊥PN于G，
∴ ，
∴MG=AP，
易得△APH≌△MGH，
∴AH=HM=t，
∵AM=AO+OM，
同理可知：OM=OQ=10﹣2t，
t=10=10﹣2t，
t=．
答：当t为秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积．

【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

8．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【详解】
（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．

9．如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.

(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.
【解析】
分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．
详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；
（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此时Q（，﹣）；
②当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．
点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．

10．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
所以，解得，所以
所以，当时，
答：，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，所以可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯的水平距离最小是
考点：二次函数的实际应用．

11．在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A．
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”
①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式.

【答案】(l)抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1.
【解析】
【分析】
（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解.
【详解】
(l)，
抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，
抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.
(2)①设抛物线y＝x2－2x的“不动点”坐标为(t，t).
则t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.
所以，抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).
②∵新抛物线的顶点B是其“不动点”，∴设点B的坐标为(m，m)
∴新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点为C(m，0)
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧.
∵BC与OA不平行
∴OC∥AB.
又∵点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，
m＝－1.
∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的，
∴新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1.
【点睛】
本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.

12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．

13．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
【解析】
分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2，则Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得，再证△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．
详解：（1）由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），
将点C（0，2）代入，得：-4a=2，
解得：a=-，
则抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，-2），
设直线BD解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：
，解得：，
∴直线BD解析式为y=x-2，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，--m2+m+2）、M（m，m-2），
则QM=-m2+m+2-（m-2）=-m2+m+4，
∵F（0，）、D（0，-2），
∴DF=，
∵QM∥DF，
∴当-m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：

∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，即，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．

14．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
试题解析： （1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想

15．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；
（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

图① 图②
【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；
（2）L=-4m2-1