中考数学培优-易错-难题(含解析)之平行四边形含答案.doc

中考数学培优 易错 难题(含解析)之平行四边形含答案一、平行四边形1已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BMC=90；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得AMB=DMC=45，则可求得BMC=90；（2）由BMC=90，易证得ABMDMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2bx+a2=0，由b2a，a0，b0，即可判定0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b2a，a0，b0，判定方程x2bx+a2=0的根的情况，即可求得答案试题解析：（1）b=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a，又在矩形ABCD中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）存在，理由：若BMC=90，则AMB+DMC=90，又AMB+ABM=90，ABM=DMC，又A=D=90，ABMDMC，设AM=x，则，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当b2a时，存在BMC=90，（3）不成立理由：若BMC=90，由（2）可知x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根，当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B的位置，AB与CD交于点E.（1）求证：AEDCEB（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHBC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，则由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，过点作于， ， ， ， ， 、共线， ，四边形是矩形， ， .【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.3如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形（1）用尺规将图1中的ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积若ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）62；6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可（2）根据互补三角形的定义证明即可（3）画出图形后，利用割补法求面积即可平移CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明SEFM=3SABC即可试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，ABD和ADC是互补三角形（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，AB=AE，AF=AC，BAE=CAF=90，EAF+BAC=180，AEF和ABC是两个互补三角形EAH+HAB=BAC+HAB=90，EAH=BAC，AF=AC，AH=AB，在AEH和ABC中，AEHABC，SAEF=SAEH=SABC（3）边长为、的三角形如图4所示SABC=3421.53=5.5，S六边形=17+13+10+45.5=62如图3中，平移CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设ABC=x，AMCH，CHBC，AMBC，EAM=90+90x=180x，DBI=3609090x=180x，EAM=DBI，AE=BD，AEMDBI，在DBI和ABC中，DB=AB，BI=BC，DBI+ABC=180，DBI和ABC是互补三角形，SAEM=SAEF=SAFM=2，SEFM=3SABC=6考点：1、作图应用与设计，2、三角形面积4如图，在等腰中，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF请直接写出线段AF，AE的数量关系；将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；若，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】如图中，结论：，只要证明是等腰直角三角形即可；如图中，结论：，连接EF，DF交BC于K，先证明再证明是等腰直角三角形即可；分两种情形a、如图中，当时，四边形ABFD是菱形、如图中当时，四边形ABFD是菱形分别求解即可.【详解】如图中，结论：理由：四边形ABFD是平行四边形，是等腰直角三角形，故答案为如图中，结论：理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，在和中，是等腰直角三角形，如图中，当时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知，如图中当时，四边形ABFD是菱形，易知，综上所述，满足条件的AE的长为或【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型5如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DEF和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键6（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）AF的长为1或+1【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论试题解析：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+17在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF（1）说明BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据折叠得出DEF=BEF，根据矩形的性质得出ADBC，求出DEF=BFE，求出BEF=BFE即可；（2）过E作EMBC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在RtEMF中，由勾股定理求出即可【详解】（1）现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，DEF=BEF四边形ABCD是矩形，ADBC，DEF=BFE，BEF=BFE，BE=BF，即BEF是等腰三角形；（2）过E作EMBC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，DE=BE，DO=BO，BDEF四边形ABCD是矩形，BC=8，AD=BC=8，BAD=90在RtABE中，AE2+AB2=BE2，即（8BE）2+62=BE2，解得：BE=DE=BF，AE=8DE=8=BM，FM=在RtEMF中，由勾股定理得：EF=故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键8如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（3，0），C（0，）两点，与x轴交于另一点B（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）过点C作CEx轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由【答案】（1）y=x2+x；（2）F点坐标为（1，1）；（3）四边形CDEF是菱形证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CEx轴，可知C、E关于对称轴对称。根据A、C点求得直线AC的解析式，根据B、E点求出直线BE的解析式，联立方程求得的解，即为F点的坐标；由E、C、F、D的坐标可知DF和EC互相垂直平分，则可判定四边形CDEF为菱形【详解】（1）抛物线y=mx2+2mx+n经过A（3，0），C（0，）两点，解得，抛物线解析式为y=x2+x；（2）y=x2+x，抛物线对称轴为直线x=1，CEx轴，C、E关于对称轴对称，C（0，），E（2，），A、B关于对称轴对称，B（1，0），设直线AC、BE解析式分别为y=kx+b，y=kx+b，则由题意可得，解得，直线AC、BE解析式分别为y=x，y=x，联立两直线解析式可得，解得，F点坐标为（1，1）；（3）四边形CDEF是菱形证明：y=x2+x=（x+1）22，D（1，2），F（1，1），DFx轴，且CEx轴，DFCE，C（0，），且F（1，1），D（1，2），DF和CE互相平分，四边形CDEF是菱形【点睛】本题考查菱形的判定方法，二次函数的性质，以及二次函数与二元一次方程组9如图，AB为O的直径，点E在O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是O的切线；（2）连接EF，当D=时，四边形FOBE是菱形【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出，根据圆的位置关系证得AC是O的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证为等边三角形，而得出，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：CD与O相切于点E，又，OBE=COAOE=OB，又OC=OC，OA=OE，又AB为O的直径，AC为O的切线；（2）解：四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BE，为等边三角形，而，故答案为30【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.10小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出PBC(图1)（1）求证：图1中的 PBC是正三角形： （2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN求证：IH=IJ请求出NJ的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；12-6（3）3a4，a4【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）利用“HL”证RtIHMRtIJN即可得；IJ上取一点Q，使QI=QN，由RtIHMRtIJN知HIM=JIN=15，继而可得NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可（1）证明：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）证明：如图矩形AHIJH=J=90MNJ是等边三角形MI=NI在RtMHI和RtJNI中 RtMHIRtJNI（HL）HI=IJ在线段IJ上取点Q，使IQ=NQRtIHMRtIJN，HIM=JIN，HIJ=90、MIN=60，HIM=JIN=15，由QI=QN知JIN=QNI=15，NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=x，IJ=6cm，2x+x=6，x=12-6，即NJ=12-6（cm）（3）分三种情况：如图：设等边三角形的边长为b，则0b6，则tan60=，a=，0b=；如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，a=sin60DE=，当DE与DA重合时，a=，a；如图DEF是等边三角形FDC=30DF=a点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大11如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m1，将它沿EF折叠(点E.F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0n1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出ADENDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在RtAED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出PDMGAM，EMPEMG由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FKAB于点K，交BM于点O，通过证明ABMKFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是为定值（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90AB=mAD，且n=2，AB=2ADADE+EDF=90，EDF+NDF=90，ADE=NDF在ADE和NDF中，AN，ADND，ADENDF，ADENDF（ASA）.AE=NF，DE=DFFN=FC，AE=FCAB=CD，AB-AE=CD-CF. BE=DF. BE=DERtAED中，由勾股定理，得，即，AE=AD.BE=2AD-AD=.（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，GAM=90M为AD的中点，AM=DM四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90，ABCD.GAM=PDM在GAM和PDM中，GAMPDM，AMDM，AMGDMP，GAMPDM（ASA）.MG=MP.在EMP和EMG中，PMGM，PMEGME，MEME，EMPEMG（SAS）.EG=EP.AG+AE=EP.PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不变，理由如下：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FKAB于点K，交BM于点O，EM=EB，MEF=BEF，EFMB，即FQO=90.四边形FKBC是矩形，KF=BC，FC=KB.FKB=90，KBO+KOB=90.QOF+QFO=90，QOF=KOB，KBO=OFQ.A=EKF=90，ABMKFE.即.AB=2AD=2BC，BK=CF，.的值不变考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质12已知：在矩形ABCD中，AB10，BC12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE2（1）如图，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积；（2）如图，当四边形EFGH为菱形，且BFa时，求GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2？请说明理由【答案】（1）10；（2）12a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GMBC于M在正方形EFGH中，HEF90，EHEF，AEHBEF90AEHAHE90，AHEBEF又AB90，AHEBEF同理可证MFGBEFGMBFAE2FCBCBF10（2）过点G作GMBC交BC的延长线于M，连接HFADBC，AHFMFHEHFG，EHFGFHAHEMFG又AGMF90，EHGF，AHEMFGGMAE2（3）GFC的面积不能等于2说明一：若SGFC2，则12a2，a10此时，在BEF中，在AHE中，AHAD，即点H已经不在边AD上，故不可能有SGFC2说明二：GFC的面积不能等于2点H在AD上，菱形边EH的最大值为，BF的最大值为又函数SGFC12a的值随着a的增大而减小，SGFC的最小值为又，GFC的面积不能等于213已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，BAC=90，如图1所示（1）填空：AB= ，BC= （2）将ABC绕点B逆时针旋转，当AC与x轴平行时，则点A的坐标是当旋转角为90时，得到BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式在的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？（3）将ABC向右平移到ABC的位置，点C为直线AB上的一点，请直接写出ABC扫过的图形的面积【答案】（1）：5；5；（2）（0，2）；直线BD的解析式为y=x+3；S=；（3）ABC扫过的面积为【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；（2）因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；过点C作CFOA与点F，证明AOBCFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据ACBD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90圆心角的扇形面积减去以AB为半径90圆心角的扇形面积求出答案；（3）利用平移的性质进而得出ABC扫过的图形是平行四边形的面积试题解析：（1）一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（-4，0），B（0，3），AO=4，BO=3，在RtAOB中，AB=，等腰直角三角形ABC，BAC=90，BC=；（2）如图1，B（0，3），OB=3，AB=5，AO=AB-BO=5-3=2，A（0，-2）当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），如图2，过点C作CFOA与点F，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，BAO+CAF=90，OBA+BAO=90，CAF=OBA，在AOB和CFA中，AOBCFA（AAS）；OA=CF=4，OB=AF=3，OF=7，CF=4，C（-7，4）A（-4，0）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：，则直线AC解析式为y=x，将ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90时，得到BDE，ABD=90，CAB=90，ABD=CAB=90，ACBD，设直线BD的解析式为y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，直线BD的解析式为y=x+3；因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90圆心角的扇形面积减去以AB为半径90圆心角的扇形面积，所以可得：S=；（3）将ABC向右平移到ABC的位置，ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3，求得C的横坐标为，平行四边CAAC的面积为（7+）4=，三角形ABC的面积为55=ABC扫过的面积为：考点：几何变换综合题14已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N（1）求证：ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，B=D=90，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得BAM=FAN，又B=F=90，所以有ABMAFN，从而得AB=AF，因此当ABAF时，四边形AMCN是菱形试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，BD90，ABCD，ADBC四边形AECF是矩形，AECF四边形AMCN是平行四边形AMCN在RtABM和RtCDN中，ABCD，AMCN，RtABMRtCDN（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形四边形ABCD、AECF是矩形，BBADEAFF90BADNAMEAFNAM，即BAMFAN又ABAF，ABMAFNAMAN由（1）知四边形AMCN是平行四边形，平行四边形AMCN是菱形考点：1矩形的性质；2三角形全等的判定与性质；3菱形的判定15如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）PAG =45，PG=OG+BP理由见解析（3）y=x3（4）、【解析】试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出AOGADG即可(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出ADPABP，再结合AOGADG，可得DAP=BAP，1=DAG；然后根据1+DAG+DAP+BAP=90，求出PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可(3)首先根据AOGADG，判断出AGO=AGD；然后根据1+AGO=90，2+PGC=90，判断出当1=2时，AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180，求出1=2=30；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式(4)根据题意，分两种情况：当点M在x轴的负半轴上时；当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可试题解析：(1)在RtAOG和RtADG中，（HL） AOGADG(2)在RtADP和RtABP中，ADPABP， 则DAP=BAP；AOGADG， 1=DAG； 又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90， DAG+DAP=45， PAG=DAG+DAP， PAG=45； AOGADG， DG=OG， ADPABP， DP=BP， PG=DG+DP=OG+BP(3)解：AOGADG， AGO=AGD， 又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=PGC， 又AGO=AGD， AGO=AGD=PGC，又AGO+AGD+PGC=180， AGO=AGD=PGC=1803=60，1=2=9060=30； 在RtAOG中， AO=3， OG=AOtan30=3=，G点坐标为（，0），CG=3， 在RtPCG中，PC=3（1），P点坐标为：（3，33 ）， 设直线PE的解析式为：y=kx+b， 则，解得：， 直线PE的解析式为y=x3(4)如图1，当点M在x轴的负半轴上时， AG=MG，点A坐标为（0，3），点M坐标为（0，3）如图2，当点M在EP的延长线上时， 由（3），可得AGO=PGC=60，EP与AB的交点M，满足AG=MG， A点的横坐标是0，G点横坐标为，M的横坐标是2，纵坐标是3， 点M坐标为（2，3）综上，可得 点M坐标为（0，3）或（2，3）考点：几何变换综合题