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中考数学应用题归类解析
山东省聊大老干部处（252059）徐连升 李金美

应用题源于生产、生活实践，是中考数学的常见题型．解题时，要求学生要熟悉其基本的生产、生活情景，善于积极地用数学观点和方法去解决实际问题．为了帮助九年级同学系统地复习这一题型，本文以2008年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考．
一、方程型
例1、(长沙市)“5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可生产帐篷178顶．
(1)每条成衣生产线和童装生产线每天生产帐篷各多少顶?
(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？
解：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷x、y顶，则

答：略
（2）由知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．
可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

二、不等式型
例2、(青岛市)2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元／张，B种船票120元／张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A、B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：
(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程；
(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱?
解：(1)根据题意，得

所以满足条件的x为5或6。
所以共有两种购票方案：
方案一：A种票5张，B种票10张。
方案二：A种票6张，B种票9张。
（2）方案一购票费用为

方案二购票费用为

所以方案一更省钱．

三、一次函数型
例3、(乌鲁木齐市)某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元．
(1)请填写下表，并写出y与x之间的函数关系式；
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省?
解：（1）

.
因为且，
即。
又y随x增大而增大，所以当x=3时，能使运这批挖掘机的总费用最省。运送方案是A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘地运往甲地12台，运往乙地0台。

四、二次函数型
例4. （河北省）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为了投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价、（万元）均与x满足一次函数关系。（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元。试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线的顶点坐标是。
解：（1）甲地当年的年销售额为万元，
。
（2）在乙地生产并销售时，年利润

解得n=15或-5。
经检验，n=-5不合题意，舍去，所以n=15。
（3）在乙地生产并销售时，年利润

将x=18代入上式，得（万元）；
将x=18代入得（万元）。
因为，所以应选乙地。

五、统计型
例5、(呼和浩特市)学校要从甲、乙、丙三名长跑运动员中选出一名奥运火炬传递手．先对三人一学期的1000米测试成绩做了统计分析如表1；又对三人进行了奥运知识和综合素质测试，测试成绩(百分制)如表2；之后在100人中对三人进行了民主推选，要求每人只推选1人，不准弃权，最后统计三人的得票率如图1，一票得2分．

(1)请计算甲、乙、丙三人各自关于奥运知识，综合素质，民主推选三项考查得分的平
均成绩，并参考1000米测试成绩的稳定性确定谁最合适．
(2)如果对奥运知识，综合素质、民主推选分别赋予3，4，3的权，请计算每人三项考查的平均成绩，并参考1000米测试的平均成绩确定谁最合适．
表1
侯选人1000米测试成绩（秒）平均数
甲 185 188 189 190 188
乙 190 186 187 189 188
丙 187 188 187 190 188
表2
测试项目
测试成绩
奥运知识
甲
乙
丙
综合素质
85
60
70

75
80
60
解：（1）甲民主得分=100×25%×2=50，
乙民主得分=100×30%×2=70，
丙民主得分=100×40%×2=80。
甲三项平均成绩=，
乙三项平均成绩，
丙三项平均成绩。
，
所以，而甲、乙、丙三项考查平均成绩相同，故选择丙最合适。
如果用极差说明选丙也给分。
（2）甲平均数，
乙平均数，
丙平均数。
所以乙平均数>甲平均数>丙平均数，而三人的平均测试成绩相同，所以选择乙最合适。

六、几何型
例6、(哈尔滨市)如图2，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．

解：过点P作PC⊥AB于G，则
∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80。
在Rt△APC中，cos∠APC=，
PC=PA·cos∠APC=。
在Rt△PCB中，cos∠BPC=，
。
所以当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里。
答：略

七、方程与不等式结合型
例7、(哈尔滨市)荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，
且同一型号汽车每辆租车费用相同．
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?
(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．
解：(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元，由题意，
得

答：略
（2）设租用甲型汽车z辆，由题意，得

解得。
因为z是整数，所以z=2或3或4．
所以共有3种方案，分别是
方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；
方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；
方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．
三个方案的费用依次为5000元，4950元，4900元，所用最低费用为4900元．答：略．

八、不等式与函数结合型
例8、(武汉市)某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖
10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大?每星期的最大利润是多少?
解：（1）y=150-10x
因为
所以且x为整数。
所以所求的函数解析式为

（2）设每星期的利润为w元，则

因为，所以当x=2.5时，w有最大值1562.5。
因为x为非负整数，
所以x=2时，40+x=42，y=150-10x=130，w=1560(元)；当x=3时，40+x=43，y=150-10x=120，w=1560元．
所以当售价定为42元时，每周的利润最大且销量最大，最大利润是1560元．

九、不等式与统计结合型
例9、(呼和浩特市)冷饮店每天需配制甲、乙两种饮料共50瓶，已知甲饮料每瓶需糖14克，柠檬酸5克；乙种饮料每瓶需糖6克，柠檬酸10克。现有糖500克，柠檬酸400克．
(1)请计算有几种配制方案能满足冷饮店的要求?
(2)冷饮店对两种饮料上月的销售情况作了统计，结果如下表。请你根据这些统计数据确定一种比较合理的配制方案，并说明理由．
两种饮料
的日销量
甲
10
12
14
16
21
25
30
38
40
50
乙
40
38
36
34
29
25
25
12
10
0
天数
3
4
4
4
8
1
1
1
2
2
解：（1）设配制甲种饮料x瓶，由题意，得

解得
因为x只能取整数，所以共有6种方案。
所以。
。
(2)配制方案为：50瓶中，甲种配制21瓶，乙种配制29瓶．
理由：因为甲种的众数是21，乙种的众数是29，所以这样配制更能满足顾客需求．

十、方程、不等式、函数结合型
例10、(河南省)某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．
(1)如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本?
(2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔
记本数量的，又不少于B种笔记本数量的，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元．
①请写出w(元)关于n(本)的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时花费是多少元?
解：(1)设能买A种笔记本x本，则依题意，得
12x+8(30-x)=300，
解得x=15．
故能购买A、B两种笔记本各15本．
(2)①依题意，得w=12n+8(30-n)，
即w=4n+240．

解得。
所以w(元)关于n(本)的函数关系式为w=4n+240，自变量n的取值范围是且n为整数．
②对于一次函数w=4n+240．
因为w随n的增大而增大且，n为整数，故当n=8时，w的值最小．
此时30-n=22，
w=4×8+240=272元．
故当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元．

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初中
学科
数学
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