2020-2021天津中考数学二次函数综合题汇编.doc
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1、2020-2021天津中考数学二次函数综合题汇编一、二次函数1已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PDy轴交直线AC于点D(1)求抛物线的解析式;(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;(3)APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MAMC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由【答案】(1)y=x24x+3;(2);(3)点P(1,0)或(2,1);(4)M(2,3)【解析】试题分析:
2、(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解;(2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答;(3)APD是直角时,点P与点B重合,求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,PAD是直角,分别写出点P的坐标即可;(4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MAMC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可试题解析:解:(1)抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0)
3、,解得,抛物线解析式为y=x24x+3;(2)令x=0,则y=3,点C(0,3),则直线AC的解析式为y=x+3,设点P(x,x24x+3)PDy轴,点D(x,x+3),PD=(x+3)(x24x+3)=x2+3x=(x)2+a=10,当x=时,线段PD的长度有最大值;(3)APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),y=x24x+3=(x2)21,抛物线的顶点坐标为(2,1)A(3,0),点P为在抛物线顶点时,PAD=45+45=90,此时,点P(2,1)综上所述:点P(1,0)或(2,1)时,APD能构成直角三角形;(4)由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,MA=MB,由三角形
4、的三边关系,|MAMC|BC,当M、B、C三点共线时,|MAMC|最大,为BC的长度,设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),则,解得:,直线BC的解析式为y=3x+3抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2,当x=2时,y=32+3=3,点M(2,3),即,抛物线对称轴上存在点M(2,3),使|MAMC|最大点睛:本题是二次函数综合题,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,二次函数的对称性以及顶点坐标的求解,(2)整理出PD的表达式是解题的关键,(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断,(4)根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键2如图,已知抛
5、物线经过A(3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求PBC周长的最小值;(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,ADF的面积为S求S与m的函数关系式;S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由【答案】(1).(2).(3).当m=2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(2,2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定
6、二次函数的解析式即可.(2)根据BC是定值,得到当PB+PC最小时,PBC的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可.(3)设点E的横坐标为m,表示出E(m,2m+6),F(m,),最后表示出EF的长,从而表示出S于m的函数关系,然后求二次函数的最值即可.【详解】解:(1)抛物线经过A(3,0),B(1,0),可设抛物线交点式为.又抛物线经过C(0,3),.抛物线的解析式为:,即.(2)PBC的周长为:PB+PC+BC,且BC是定值.当PB+PC最小时,PBC的周长最小.点A、点B关于对称轴I对称,连接AC交l于点P,即点P为所求的点.AP=BP,PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+
7、BC.A(3,0),B(1,0),C(0,3),AC=3,BC=.PBC的周长最小是:.(3)抛物线顶点D的坐标为(1,4),A(3,0),直线AD的解析式为y=2x+6点E的横坐标为m,E(m,2m+6),F(m,).S与m的函数关系式为.,当m=2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(2,2).3如图,已知抛物线y=x2bxc与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第
8、三象限当线段PQ=AB时,求tanCED的值;当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x22x3(2)直线BC的函数表达式为y=x3(3)P1(1,2),P2(1,)【解析】【分析】已知C点的坐标,即知道OC的长,可在直角三角形BOC中根据BCO的正切值求出OB的长,即可得出B点的坐标已知了AOC和BOC的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO与OB的比由此可求出OA的长,也就求出了A点的坐标,然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式【详解】(1)抛物线的对称轴为直线x=1,1b=-2抛物线与y轴交
9、于点C(0,-3),c=-3,抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3;(2)抛物线与x轴交于A、B两点,当y=0时,x2-2x-3=0x1=-1,x2=3A点在B点左侧,A(-1,0),B(3,0)设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,则,直线BC的函数表达式为y=x-3;(3)AB=4,PQ=AB,PQ=3PQy轴PQx轴,则由抛物线的对称性可得PM=,对称轴是直线x=1,P到y轴的距离是,点P的横坐标为,P(,)F(0,),FC=3-OF=3-=PQ垂直平分CE于点F,CE=2FC=点D在直线BC上,当x=1时,y=-2,则D(1,-2),过点D作DGCE于点
10、G,DG=1,CG=1,GE=CE-CG=-1=在RtEGD中,tanCED=P1(1-,-2),P2(1-,-)设OE=a,则GE=2-a,当CE为斜边时,则DG2=CGGE,即1=(OC-OG)(2-a),1=1(2-a),a=1,CE=2,OF=OE+EF=2F、P的纵坐标为-2,把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:x=1+或1-点P在第三象限P1(1-,-2),当CD为斜边时,DECE,OE=2,CE=1,OF=2.5,P和F的纵坐标为:-,把y=-,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:x=1-,或1+,点P在第三象限P2(1-,-)综上所述:满足条件为
11、P1(1-,-2),P2(1-,-)【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果4如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx3(a0)与x轴交于点A(2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当PBQ存在时,求运动多少秒使PBQ的面积最大,最大面积是多少?(3)当PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物
12、线上存在点K,使SCBK:SPBQ=5:2,求K点坐标【答案】(1)y=x2x3(2)运动1秒使PBQ的面积最大,最大面积是(3)K1(1,),K2(3,)【解析】【详解】试题分析:(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b的解析式,通过解方程组求得它们的值;(2)设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SPBQ与t的函数关系式SPBQ=(t1)2+利用二次函数的图象性质进行解答;(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x3由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为(m,m2m3)如图2,过点K作KEy轴,交BC于点E结合已知条件和(2)中的结果求得SCBK=则根据
13、图形得到:SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK(4m),把相关线段的长度代入推知:m2+3m=易求得K1(1,),K2(3,)解:(1)把点A(2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx3(a0),得,解得,所以该抛物线的解析式为:y=x2x3;(2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=tPB=63t由题意得,点C的坐标为(0,3)在RtBOC中,BC=5如图1,过点Q作QHAB于点HQHCO,BHQBOC,即,HQ=tSPBQ=PBHQ=(63t)t=t2+t=(t1)2+当PBQ存在时,0t2当t=1时,SPBQ最大=答:运动1秒使PBQ的面积最大,最大面积是;(3)设直线BC
14、的解析式为y=kx+c(k0)把B(4,0),C(0,3)代入,得,解得,直线BC的解析式为y=x3点K在抛物线上设点K的坐标为(m,m2m3)如图2,过点K作KEy轴,交BC于点E则点E的坐标为(m,m3)EK=m3(m2m3)=m2+m当PBQ的面积最大时,SCBK:SPBQ=5:2,SPBQ=SCBK=SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK(4m)=4EK=2(m2+m)=m2+3m即:m2+3m=解得 m1=1,m2=3K1(1,),K2(3,)点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意该点的运动范围,即
15、自变量的取值范围5如图,直线l:y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线yax22ax+a+4(a0)经过点B,交x轴正半轴于点C(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值及此时动点M的坐标;(3)将点A绕原点旋转得点A,连接CA、BA,在旋转过程中,一动点M从点B出发,沿线段BA以每秒3个单位的速度运动到A,再沿线段AC以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止,求点M在整个运动过程中用时最少是多少?【答案】(1)yx2+2x+3;(2)S与m的函数
16、表达式是S,S的最大值是,此时动点M的坐标是(,);(3)点M在整个运动过程中用时最少是秒【解析】【分析】(1)首先求出B点的坐标,根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值,进而即可计算出二次函数的解析式;(2)计算出C点的坐标,设出M点的坐标,再根据ABM的面积为SS四边形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB,化简成二次函数,再根据二次函数求解最大值即可.(3)首先证明OHAOAB,再结合AH+ACHC即可计算出t的最小值.【详解】(1)将x0代入y3x+3,得y3,点B的坐标为(0,3),抛物线yax22ax+a+4(a0)经过点B,3a+4,得a1,抛物线的解析式为:yx2+2x+3
17、;(2)将y0代入yx2+2x+3,得x11,x23,点C的坐标为(3,0),点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,点M的横坐标为m,0m3,点M的坐标为(m,m2+2m+3),将y0代入y3x+3,得x1,点A的坐标(1,0),ABM的面积为S,SS四边形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB,化简,得S,当m时,S取得最大值,此时S,此时点M的坐标为(,),即S与m的函数表达式是S,S的最大值是,此时动点M的坐标是(,);(3)如右图所示,取点H的坐标为(0,),连接HA、OA,HOAAOB,OHAOAB,即,AH+ACHC,t,即点M在整个运动过程中用时最少是秒【点睛】本题
18、主要考查抛物线的性质,关键在于设元,还有就是(3)中利用代替法计算t的取值范围,难度系数较大,是中考的压轴题.6如图,直线y-x-3与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线yax2+bx3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DEx轴于点E,连接AD,DC设点D的横坐标为m(1)求抛物线的解析式;(2)当点D在第三象限,设DAC的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;(3)连接BC,若EADOBC,请直接写出此时点D的坐标【答案】(1)yx2+x3;(2)SADC=(m+3)2+;ADC的面积最大值为;此时D(3,);(3)满足条
19、件的点D坐标为(4,3)或(8,21).【解析】【分析】(1)求出A坐标,再用待定系数法求解析式;(2)设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为:(m,m2+m3),则点F的坐标为:(m,m3),根据SADCSADF+SDFC求出解析式,再求最值;(3)当点D与点C关于对称轴对称时,D(4,3),根据对称性此时EADABC作点D(4,3)关于x轴的对称点D(4,3),直线AD的解析式为yx+9,解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解:(1)在yx3中,当y0时,x6,即点A的坐标为:(6,0),将A(6,0),B(2,0)代入yax2+bx3得:,解得:,抛物线的解析式为:yx2+x3;(2
20、)设点D的坐标为:(m,m2+m3),则点F的坐标为:(m,m3),设DE与AC的交点为点F.DFm3(m2+m3)m2m,SADCSADF+SDFCDFAE+DFOEDFOA(m2m)6m2m(m+3)2+,a0,抛物线开口向下,当m3时,SADC存在最大值,又当m3时,m2+m3,存在点D(3,),使得ADC的面积最大,最大值为;(3)当点D与点C关于对称轴对称时,D(4,3),根据对称性此时EADABC作点D(4,3)关于x轴的对称点D(4,3),直线AD的解析式为yx+9,由,解得或,此时直线AD与抛物线交于D(8,21),满足条件,综上所述,满足条件的点D坐标为(4,3)或(8,21
21、) 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法,一次函数的应用,二次函数的性质等知识,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会构建一次函数解决实际问题,属于中考压轴题.7如图,已知抛物线经过原点O,顶点A(1,1),且与直线ykx+2相交于B(2,0)和C两点(1)求抛物线和直线BC的解析式;(2)求证:ABC是直角三角形;(3)抛物线上存在点E(点E不与点A重合),使BCEACB,求出点E的坐标;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使BDF是等腰三角形?若存在,请直接写出点F的坐标【答案】(1)yx22x,yx+2;(2)详见解析;(3)E();(4)符合条件的点F的坐标(1,
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