中考数学分类汇编三角形.doc

华北5省市自治区2011年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、 选择题1. （天津3分）sin45的值等于（A) (B) (C) (D)1【答案】B。【考点】特殊角三角函数。【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。2.（河北省3分）如图，在ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为 A、B、2 C、3D、4【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质。【分析】ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，EDA=EDA=90，AE=AE，ACBAED。 。又A为CE的中点，AE=AE=AC。ED=2。故选B。3.（山西省2分）如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形若DE=2cm，则AC的长为 Acm B4cm Ccm Dcm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE=，即可得出AC=2。故选D。4.（内蒙古呼和浩特3分）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 A、9cmB、12cm C、15cm或12cmD、15cm【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当6为腰，3为底时，6366+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选D。5.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，ACBA1CB1, BCB1=30，则ACA1的度数为 A 20 B. 30 C. 35 D. 40【答案】B。【考点】全等三角形的性质。【分析】根据全等三角形对应角相等的性质，得ACB=A1CB1，所以ACBBCA1=A1CB1BCA1，即 ACA1=BCB1=35。故选B。二、 填空题1. （山西省3分）如图，已知AB=12；ABBC于B，ABAD于A，AD=5，BC=10点E是CD的中点，则AE的长是 。【答案】。【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点E作EGAB，垂足为点G，AB与DC交于点F，则DAGEBC。 点E是CD的中点，AB=12，根据平行的性质，得AG=6。 DABC，ADFBCF。 AB=12，即BF=12AF。又AD=5，BC=10，解得，AF=4，FB=8。FG=64=2。GEBC，FGEFBC。，即，解得，GE=。在RtAGE中，由勾股定理，得AE=。2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，AD是ABC的中线，ADC=60，BC=6，把ABC沿直线AD折叠，点C落在C处，连接BC，那么BC的长为 【答案】3。【考点】翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，平角定义，等边三角形的判定与性质。【分析】根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3。 由轴对称的性质可得：ADC=ADC=60，DC=DC=2，BDC=60。故BDC为等边三角形，故BC=3。3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，EF是ABC的中位线，将AEF沿AB方向平移到EBD的位置，点D在BC上，已知AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 【答案】10。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质。【分析】EF是ABC的中位线，EFBC，AEFABC。EF：BC=1：2，SAEF：SABC=1：4。AEF的面积为5，SABC=20。将AEF沿AB方向平移到EBD的位置，SEBD=5。图中阴影部分的面积为：SABCSEBDSAEF=2055=10。ADBCEO4.（内蒙古包头3分）如图，ABD与AEC都是等边三角形，ABAC，下列结论中：BE=DC；BOD=60；BODCOE正确的序号是 【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定。【分析】ABD、AEC都是等边三角形，AD=AB，AE=AC，DAB=CAE=60。DAC=BAC+60，BAE=BAC+60。DAC=BAE。DACBAE（SAS）。BE=DC。【正确】ADC=ABE。BOD+BDO+DBO=180，BOD=180BDODBO=60。【正确】由DACBAE和ABAC，得ADCAEB，ODBOEC。又ODB60，OCE60，ODBOCE。而DOB=EOC，BOD和COE不相似。【错误】5.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，CE是BCD的平分线，且CEAB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为 【答案】。【考点】角平分线和垂直的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用。【分析】延长BA与CD，交于F，CE是BCD的平分线，BCE=FCE。CEAB，BEC=FEC=90。EC=EC，BCEFCE（ASA）。BE=EF。BE=2AE，BF=4AF。又ADBC，FADFBC。设SFAD=x，SFBC=16x，SBCE=SFEC=8x，S四边形AECD=7x。四边形AECD的面积为1，7x=1，x=。梯形ABCD的面积为：SBCE+S四边形AECD=15x=。6.（内蒙古乌兰察布4分）如图，在RtABC中，ABC = 90, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以的长为半径作圆, 将 RtABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm（结果保留）【答案】。【考点】直角三角形两锐角的关系，勾股定理，扇形的面积。【分析】由题意可知，阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。 三角形面积为。 由勾股定理，得AC=10，圆半径为5。 在RtABC中，ABC = 90,AC =90。 两个扇形的面积的和为半径5，圆心角90的扇形的面积，即四分之一圆的面积。 阴影部分的面积为 cm。7.（内蒙古乌兰察布4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）【答案】。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】过点A作ADBC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得 BCBDCD。三、 解答题1.（北京5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BEDF，A=F，AB=FD求证：AE=FC【答案】证明：BEDF，ABE=D。 在ABC和FDC中， ABCFDC（ASA）。 AE=FC【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】利用平行线同位角相等的性质可得ABE=D，由已知用ASA判定ABCFDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。2.（北京5分）如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长【答案】解：（1）证明：连接AE。AB是O的直径，AEB=90。 1+2=90。 AB=AC，1=CAB。 CBF=CAB，1=CBF。CBF+2=90。即ABF=90。 AB是O的直径，直线BF是O的切线。 （2）过点C作CGAB于点G。 sinCBF=，1=CBF，sin1=。 AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=。 AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2。 在RtABE中，由勾股定理得AE=2，sin2=，cos2=。 在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3。 GCBF，AGCBFA。【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABE=90。 （2）利用已知条件证得AGCBFA，利用对应边的比求得线段的长即可。3.（北京5分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC的三条中线分别为AD，BE，CF（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于【答案】解：BDE的面积等于1。 （1）如图以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是CFP。 （2）连接EF，PE，则CFP可公割成PEF，PCE和EFC。 四边形BEPF是平行四边形，PEFBFE。 又E，F是AC，AB的中点，BFE的底和高都是ABC的一半。 BFE的面积是ABC的，即PEF的面积是ABC的。 同理，PCE和EFC的面积都是ABC的。 以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于。【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。【分析】根据平移可知，ADCECD，且由梯形的性质知ADB与ADC的面积相等，即BDE的面积等于梯形ABCD的面积。 （1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。 （2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于ABC的面积的。4.（天津8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m在一处测得望海校B位于A的北偏东30方向游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C在C处测得望海楼B位于C的北偏东60方向求此时游轮与望梅楼之间的距离BC (取l.73结果保留整数)【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点B作BDAC交AC的延长线于点D。 在RtADB中， BAD=300，。 在RtCDB中，。 答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。【考点】解直角三角形的应用。【分析】要求BC的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点B作BDAC交AC的延长线于点D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。5.（山西省7分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 (即AB：BC=)，且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)【答案】解：如图，过点A作AFDE于F，则四边形ABEF为矩形。AF=BE，EF=AB=2。设DE=x，在RtCDE中，CE=，在RtABC中， AB：BC=，AB=2，BC=。在RtAFD中，DF=DEEF=x2，AF= 。AF=BE=BC+CE，解得x=6。答：树DE的高度为6米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF，得到有关的方程求解即可。6.（山西省9分）如图（1），RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论 【答案】解：（1）ACB=90，CFA=90CAF。 CDAB，CEF=AED=90EAD。 又AF平分CAB，CAF=EAD。CFA=CEF。CE=CF。 （2）BE与CF相等。证明如下：如图，过点E作EGAC于G。又AF平分CAB，EDAB，ED=EG。 由平移的性质可知：DE=DE，DE =GE。 ACB=90，ACD+DCB=90。 CDAB于D，B+DCB=90。ACD=B。在RtCEG与RtBED中，GCE=B，CGE=BDE，CE=DE，CEGBED（AAS）。CE=BE。 由（1）CE=CF，得CF=BE。【考点】三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）要证CE=CF，根据等腰三角形等角对等边的判定，只要CFA=CEF即可。由已知，知CFA与CAF互余，CEF=AED与EAD互余，而AF平分CAB。从而CAF=EAD。得证。 （2）由角的等量关系转换和平移的性质，根据AAS证得CEGBED，即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到CE=BE。由（1）的结论即可得到CF=BE。7.（内蒙古呼和浩特6分）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离现测得AC=30m，BC=70m，CAB=120，请计算A，B两个凉亭之间的距离【答案】解：如图，作CDAB于点D在RtCDA中，AC=30，CAD=180CAB=180120=60，CD=ACsinCAD=30sin60=15，AD=ACcosCAD=30cos60=15。在RtCDB中，BC=70，BD2=BC2CD2，BD=。AB=BDAD=6515=50。答：A，B两个凉亭之间的距离为50m。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】构造直角三角形，过C点作CDAB于点D，先在RtCDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，从而由AB=BDAD即得A，B两个凉亭之间的距离。8.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角=60，测到地面指挥台的俯角=30，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）【答案】解：作ADBC，交BC的延长线于点D， EABC，ABC=30。 又BAC=30，ABC=BAC。 AC=BC=2000。 在RtACD中，AD= ACcosCAD=ACcos300=1000。 答：此时飞机的高度为1000米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】作ADBC，交BC的延长线于点D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，从而在RtACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。9.（内蒙古包头8分）一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B，此时测得船和灯塔相距36海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24的方向航行到C处，此时望见灯塔在船的正北方向（参考数据sin240.4，cos240.9）（1）求几点钟船到达C处；（2）当船到达C处时，求船和灯塔的距离【答案】解：（1）延长CB与AD交于点EAEB=90，BAE=45，AB=36，BE=AE=36。根据题意得：C=24，sin24=，AC=。9020=4.5。84.5=12.5。12点30分船到达C处。（2）在直角三角形ACE中，cos24=，即cos24=，BC=45。船到C处时，船和灯塔的距离是45海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】（1）要求几点到达C处，需要先求出AC的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解（2）船和灯塔的距离就是BC的长，作出CB的延长线交AD于E，根据直角三角形的角，用三角函数可求出CE的长，减去BE就是BC的长10.（内蒙古呼伦贝尔6分）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60，如果这时气球的高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离（结果保留根号）。【答案】解： ， 。 在中，, 。在中， ，。答：建筑物A、B间距离为米。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分别在和中应用锐角三角函数求出AD，BD即可。 第12页