2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题及答案解析.doc

2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题及答案解析一、一元二次方程1阅读下列材料计算：（1）（+）（1）（+），令+t，则：原式（1t）（t+）（1t）tt+t2+t2在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1）（+）（1）（+）（2）因式分解：（a25a+3）（a25a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）3【答案】（1）；（2）（a25a+5）2；（3）x10，x24，x3x42【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+t代入原式计算（2）观察式子找相同部分进行换元，令a25at代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4xt代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解【详解】（1）令+t，则：原式（1t）（t+）（1t）tt+t2t+t2+（2）令a25at，则：原式（t+3）（t+7）+4t2+7t+3t+21+4t2+10t+25（t+5）2（a25a+5）2（3）令x2+4xt，则原方程转化为：（t+1）（t+3）3t2+4t+33t（t+4）0t10，t24当x2+4x0时，x（x+4）0解得：x10，x24当x2+4x4时，x2+4x+40（x+2）20解得：x3x42【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算2解方程：（2x+1）2=2x+1【答案】x=0或x=.【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：（2x+1）2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+11）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=3机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）76%75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案试题解析：（1）根据题意可得：70（160%）=28（kg）；（2）60%+1.6%（9080）=76%；设润滑用油量是x千克，则x160%+1.6%（90x）=12，整理得：x265x750=0，（x75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=10（舍去），60%+1.6%（90x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%考点：一元二次方程的应用4图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为ABC和DEF，其中B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30， EF=2将DEF的斜边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：FCD的最大度数为 ；当FCAB时，AD= ；当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2） 60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）当点E与点C重合时，FCD的角度最大，据此求解即可.过点F作FHAC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.过点F作FHAC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.设AD=x，把FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，AD=2. （2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点E与点C重合时，FCD的角度最大，FCD的最大度数=DEF=60. 如图，过点F作FHAC于点H，EDF=30， EF=2，DF=. DH=3，FH=.FCAB，A=45，FCH=45. HC=. DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点F作FHAC于点H，设AD=x，由知DH=3，FH=，则HC=.在RtCFH中，根据勾股定理，得.以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，即，解得.设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】6 y与x的函数关系式为：y=1.7x（xm）;或( xm) ； 7已知关于的一元二次方程.（1）当取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，求方程的解.【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2），.【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，代入求m取值范围即可，注意二次项系数0；（2）将代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得： =，解得.因为，即当且时，方程有两个不相等的实数根.（2）把带入得，解得，.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.8已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+0 有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)当k取最小整数时，求此时方程的解【答案】(1)k；(2)x10，x21【解析】【分析】(1)由题意得(k+1)24k20，解不等式即可求得答案；(2)根据k取最小整数，得到k0，列方程即可得到结论【详解】(1)关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+0 有两个不相等的实数根，(k+1)24k20，k；(2)k取最小整数，k0，原方程可化为x2+x0，x10，x21【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根9已知关于x的一元二次方程x26x+（2m+1）=0有实数根（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x220，求m的取值范围【答案】（1）m4；（2）3m4【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到=（-6）2-4（2m+1）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x220得到2（2m+1）+620，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围试题解析：（1）根据题意得（6）24（2m1）0， 解得m4； （2）根据题意得x1x26，x1x22m1， 而2x1x2x1x220，所以2（2m1）620， 解得m3，而m4，所以m的范围为3m410如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（1004x）米 根据题意得 （1004x）x=400，解得 x1=20，x2=5 则1004x=20或1004x=80 8025， x2=5舍去 即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用11已知关于x的方程（a1）x2+2x+a10（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根【答案】（1）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：当a=1时，为一元一次方程；当a1时，利用b24ac0求出a的值，再代入解方程即可【详解】（1）将x2代入方程，得，解得：a将a代入原方程得，解得：x1，x22a，方程的另一根为；（2）当a1时，方程为2x0，解得：x0.当a1时，由b24ac0得44(a1)20，解得：a2或0当a2时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21；当a0时， 原方程为：x22x10，解得：x1x21综上所述，当a1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.12已知关于x的一元二次方程x2mx20（1）若x1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与0的关系进行判断(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=12-2=0另一根是2；(2)，方程有两个不相等的实数根考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根13已知关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0。（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。【答案】（1）见详解；（2）4或4.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：当该直角三角形的两直角边是2、3时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在实数范围内，m无论取何值，（m2）2+440，即0.关于x的方程x2（m2）x（2m1）=0恒有两个不相等的实数根.（2）此方程的一个根是1，121（m2）（2m1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为13=4.当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为13=4.14重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价（1m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35（1m%）（150+m）=5670，150+m150m%m%m=162，mm2=12，60m3m2=192，m220m+64=0，m1=4，m2=16，要使销售量尽可能大，m=16【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用15已知关于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k3)+3k0，1k3+3k0解得k1；(2)证明： (k+3)243k (k3)20，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.