初中数学数学勾股定理的专项培优练习题(附解析.doc

初中数学数学勾股定理的专项培优练习题(附解析

一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ）

A．5 B． C． D．
2．如图，在等边△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（　　）

A．8 B．10 C． D．12
3．如图，在中，，的平分线与边相交于点，，垂足为，若的周长为6，则的面积为（ ）.

A．36 B．18 C．12 D．9
4．棱长分别为的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是( )

A． B． C． D．
5．已知等边三角形的边长为a，则它边上的高、面积分别是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）

A．cm B．cm C．cm D．9cm
7．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（3m，4m+1）（m≠﹣1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是（　　）
A．3 B．2 C．5 D．6
8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为（    ）

A．10 B．5 C．4 D．3
10．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7 C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25
二、填空题
11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD＝，则AB的长为__________．

12．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．若，，则的长为_________

13．如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝4，则该四边形的面积是______．

14．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)

15．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90º，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．

16．已知x，y为一个直角三角形的两边的长，且（x﹣6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_____．
17．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ是等边三角形 ②△PCQ是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

18．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m2．
19．已知、、是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为___________
20．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，2），点G的斜坐标为（7，﹣2），连接PG，则线段PG的长度是_____．

三、解答题
21．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且ÐBOD = 150°，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为，且ÐDOB = 30°，求OM的长．

22．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．

24．如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．
（1）则____________；
（2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？此时_________?
（3）当点在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间．

25．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：

（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是　 　命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；
（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；
②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
26．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，，均为等边三角形，在轴正半轴上，点，点，点在内部，点在的外部，，，与交于点，连接，，，.

（1）求点的坐标；
（2）判断与的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出的周长.
27．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；
②求证：BD2+CD2＝2AD2；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

28．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；
②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．

29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图1，求∠BGD的度数；
（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；
（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面积．

30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝DE；
（3）如图3，若m＝4，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
首先由，得知动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】
解：∵， 设点P到CD的距离为h，则点P到AB的距离为(4-h),
则，解得：h=1，∴点P到CD的距离1，到AB的距离为3，
∴如下图所示，动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，且两点之间线段最短，

∴PA+PB的最小值即为BE的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，
根据勾股定理：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P所在的位置是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：

则BE′=BD=3，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=BE=3，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE=3，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为3，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，
∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，
∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠F2DQ=∠DAE，
在△DF2Q和△ADE中，，
∴△DF2Q≌△ADE（AAS），
∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，
∴F1F2=DQ=12，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线.
3．D
解析：D
【分析】
利用角平分定理得到DE=AD，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC，根据的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出，即可求得的面积.
【详解】
∵，
∴AB⊥AD,
∵,平分,
∴DE=AD，∠BED=，
∴∠BDE=∠BDA，
∴BE=AB=AC，
∵的周长为6，
∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，
∵
∴,
∴,
,
∴的面积=,
故选：D.
【点睛】
此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论.
4．C
解析：C
【分析】
当E1F1在直线EE1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP的长；当E1F1在直线B2E1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP的长,两者进行比较即可确定答案
【详解】
① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm，PE=6+3=9cm，
由勾股定理得
② 当展开方法如图2时，AP1=8+6+3=17cm，PP1=6cm，
由勾股定理得
∵
∴蚂蚁爬行的最短距离是
,
【点睛】
此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的
5．C
解析：C
【分析】
作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD，利用勾股定理即可求出AD，再利用三角形面积公式即可解决问题．
【详解】
解：如图作AD⊥BC于点D．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠B AD＝30°
∴
由勾股定理得，
∴边长为a的等边三角形的面积为×a×a＝a2，
故选：C．

【点睛】
本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．
【详解】
解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长==cm；

如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长==cm；

如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.

所以要爬行的最短路径的长cm.
故选C.
【点睛】
本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.
7．D
解析：D
【分析】
先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=x+1上，所以当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．
【详解】
解：如图,

∵点B(3m，4m+1)，
∴令，
∴y=x+1，
∴B在直线y=x+1上，
∴当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，
过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，
∵BE在直线y=x+1上，且点E在x轴上，
∴E(−，0)，G(0，1)
∵F是AC的中点
∵A(0，−2)，点C(6，2)，
∴F(3，0)
在Rt△BEF中，
∵BH2=EH⋅FH，
∴(4m+1)2=(3m+)(3−3m)
解得：m1=−(舍)，m2=，
∴B(，)，
∴BD=2BF=2×=6，
则对角线BD的最小值是6；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．
8．D
解析：D
【分析】
将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】
解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF=A'B=20cm，

延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE=A'E=DG=4cm，
∴BD=16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
9．B
解析：B
【分析】
根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．
【详解】
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，
∴A′C=10-6=4．
设CD=x，则A′D=8-x，
根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，
解得x=5，
故CD=5．
故答案为：B．
【点睛】
本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．
10．D
解析：D
【解析】
A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选D．
二、填空题

11．
【分析】
利用勾股定理求出AC=6，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，得到，再利用勾股定理得到，即可求出AB.
【详解】
在Rt△ACD中，CD=AD=，
∴AC=，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴,
解得AB=，负值舍去，
故答案为：.
【点睛】
此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.
12．
【分析】
由题意可知，AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，求出∠ACE＝∠BCD可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD＝，∠ADB＝90°，由勾股定理求出AB即可得到AC的长．
【详解】
解：如图所示，连接BD，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，
且∠ACE＝∠BCD＝90°-∠ACD，
在ACE和BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD＝，∠E＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴AB＝，
∵，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．．
【分析】
延长、交于点，则，，在中，利用含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出．同理，在中求出，，然后根据，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长、交于点，
∵四边形中，，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
．
在中，，，
，
，
∴，
，
．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7×3=21（尺），
因此葛藤长=29（尺）．
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
15．
【分析】
分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差
【详解】

如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，，
∴AP的最大值为A P1=AB=3
如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt△PCD中，，
∴AP的最小值为
线段AP长度的最大值与最小值之差为
故答案为
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.
16．，或
【解析】
【详解】
∵（x-6）2=9，
∴x-6=±3，
解得：x1=9，x2=3，
∵x，y为一个直角三角形的两边的长，y=3，
∴当x=3时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为；
当x=9时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为 ；
当x=9时，x为斜边、y为直角边，则第三边为.
故答案为：，或.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．
17．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，

∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴△BPQ是等边三角形，①正确.
∴PQ=BP=4，

即△PQC是直角三角形，②正确.
∵△BPQ是等边三角形，

∵△BQC≌△BPA，
∴∠APB=∠BQC，
③正确.

即④错误.
故答案为①②③.
18．8或10或12或
【详解】
解：①如图1：

当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，
此时等腰三角形绿地的面积：×6×4=12（m2）；
②如图2：

当AC=CD=4m时，AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：×4×4=8（m2）；
③如图3：

当AD=BD时，设AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，
解得x=，
此时等腰三角形绿地的面积：BD·AC=××4=（m2）；
④如图4，

延长BC到D，使BD=AB=5m，
故CD=2m，
此时等腰三角形绿地的面积：BD·AC=×5×4=10（m2）；
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或m2．
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
19．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由，可知，a=b，可知此三角形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
20．2
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．

∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴，
∴PG＝2PN＝2 ．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
三、解答题

21．(1)2；(2)；(3)
【分析】
（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；
（2）过M作MN⊥CD于N，根据已知得出，，求出∠MON＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出即可解决问题；
（3）分别作点关于、的对称点、，连接、、，连接、分别交、于点、点，首先证明，求出，，然后过作，交延长线于，根据含30度直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出EF即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，在直线CD上，且在点O的两侧各有一个，共2个，
故答案为：2；
（2）过作于，

∵直线于，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）分别作点关于、的对称点、，连接、、，连接、分别交、于点、点．

∴，，
∴，，，
∴，
∴△OEF是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
过作，交延长线于，
∴，
在中，，则，
在中，，，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．
22．（1）①见解析；②DE＝；（2）DE的值为3或3
【分析】
（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，
∴△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵DA＝DA，AE＝AF，
∴△AED≌△AFD（SAS）；
②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF＝x，
∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，
∴x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝，
∴DE＝；
（2）∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝3；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝3，
综上所述，DE的值为3或3．

【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
23．(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.
【分析】
(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO为BC上的中线,

在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=12,∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;

(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
由因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=

【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
24．（1）12；（2）t=12.5s时，13 cm；（3）11s或12s或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC= PA=t，则PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=2t-BC计算即可；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．
故答案为：12；
（2）如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC，
∴PC= PA=t，PB=16-t．
在Rt△BPC中，，即，
解得：t=．
∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，＞6，
∴此时，点Q在边AC上，CQ=(cm)；

（3）分三种情况讨论：
①当CQ=BQ时，如图1所示，

则∠C=∠CBQ．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11(s)．
②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12(s)．
③当BC=BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，
则BE，
∴CE=7.2．
∵BC=BQ，BE⊥CQ，
∴CQ=2CE=14.4，
∴BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2(s)．
综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
25．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】
（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=（c-a），AG=（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，

∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°
∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，

Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A
图3
作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CG⊥AB，
∴DG＝BG＝（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a+（c﹣a）＝（a+c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[（c+a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾