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<p>高考复习——数学
高中数学第一章-集合
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为；
②空集是任何集合的子集，记为；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同时，那么A = B.
如果.
[注]：①Z= {整数}（√） &nbsp; Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB &nbsp;= &nbsp; &nbsp; CS（CAB）= D &nbsp; &nbsp; （ 注 ：CAB &nbsp;= ）.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集. &nbsp; &nbsp;
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例： &nbsp; 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} &nbsp;B={y|y =x2+1} &nbsp;则A∩B =）
4. ①n个元素的子集有2n个. &nbsp;②n个元素的真子集有2n －1个. &nbsp; ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.
例：①若应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
② &nbsp; &nbsp; .
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3. 例：若. &nbsp;
4. 集合运算：交、并、补.

5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
（2） 等价关系：
（3） 集合的运算律：
交换律： &nbsp; &nbsp; &nbsp;
结合律: &nbsp; &nbsp; &nbsp;
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩CUA=φ &nbsp;A∪CUA=U ðCUU=φ ðCUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) &nbsp; CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：

(3) card(ðUA)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
&nbsp;1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)&gt;0(&lt;0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)&gt;0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“&lt;0”,则找“线”在x轴下方的区间. .=&quot;&quot; ax=&quot;&quot;&gt;b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+box&gt;0(a&gt;0)解的讨论.

&nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;
&nbsp; 二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

&nbsp; &nbsp; 无实根

&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;R

&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;

2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为&gt;0(或&lt;0)； ≥0(或≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：,与型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 &nbsp;“且”、 &nbsp;“非”的真值判断
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； &nbsp;逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1&lt;x2时，都有f(x1)&lt;f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；
⑵若当x1</p><x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性

7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，.
8. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.
11. 常用变换：
①.
证：
②
证：
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：→关于轴对称. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;→→
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
→关于轴对称.

⑵熟悉分式图象：
例：定义域，
值域→值域前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
指数函数的图象和性质

a&gt;1
0<a<1 r="" x="">0时，y&gt;1;x&lt;0时，0<y<1 x="">0时，0<y<1;x<0时，y>1.
（5）在 R上是增函数
（5）在R上是减函数
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
&nbsp;
（以上）
注⑴：当时，.
&nbsp;⑵：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
&nbsp; （）与互为反函数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
（四）方法总结
&nbsp; ⑴. 对数运算：
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
图
象

性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
（4）时
时 y&gt;0
时 &nbsp;
时
（5）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f(x)与f(x)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 &nbsp;数列

等差数列
等比数列
定义

递推公式
；
；
通项公式

（）
中项
（）
（）
前项和

重要性质

1. ⑴等差、等比数列：

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
&nbsp; &nbsp; &nbsp;ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
&nbsp; &nbsp; &nbsp;iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
&nbsp; &nbsp; &nbsp;iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：

等差数列
等比数列
定义

通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式
A= &nbsp; &nbsp;推广：2=
。推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
． 成等差数列。
成等比数列。
4

， &nbsp;

[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差 &nbsp; &nbsp;数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
&nbsp; &nbsp; &nbsp;②等差{}前n项和 &nbsp;→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
&nbsp; ②若等差数列的项数为2，则；
&nbsp; ③若等差数列的项数为，则，且，
. &nbsp; &nbsp; &nbsp;
3. 常用公式：①1+2+3 …+n = &nbsp; &nbsp;
② &nbsp; &nbsp;
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

5. 数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当&gt;0,d&lt;0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当&lt;0,d&gt;0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
&nbsp; &nbsp; &nbsp;2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
&nbsp; &nbsp; &nbsp;4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = &nbsp; &nbsp; &nbsp;
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3） &nbsp;
&nbsp; &nbsp;4） &nbsp; &nbsp;
5） &nbsp; &nbsp;
6） &nbsp;
高中数学第四章-三角函数
1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合： &nbsp;
③终边在y轴上的角的集合：

④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 &nbsp;1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： &nbsp;1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． &nbsp; &nbsp; 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧长公式：. &nbsp; &nbsp; &nbsp; 扇形面积公式：
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 &nbsp;； &nbsp;； &nbsp;； &nbsp;； &nbsp;；. .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函数线
&nbsp; 正弦线：MP; &nbsp; 余弦线：OM; &nbsp; &nbsp;正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 定义域
sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函数的基本关系式： &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;
&nbsp;
9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;公式组三
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
公式组四 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 公式组五 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 公式组六 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
（二）角与角之间的互换
公式组一 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;公式组二
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
公式组三 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 公式组四 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 公式组五
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp;
&nbsp; &nbsp;
,,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（A、＞0）
定义域
R
R

R
值域

R
R

周期性
&nbsp;

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数

单调性
上为增函数；上为减函数（）
；上为增函数
上为减函数
（）
上为增函数（）
上为减函数（）
上为增函数；
上为减函数（）
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.

⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有.
4、反三角函数：
函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．
函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数y＝tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．
函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
高中数学第五章-平面向量
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
3.向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则

向量的
减法
三角形法则

,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.&gt;0时, 同向;&lt;0时, 3=&quot;&quot; 7=&quot;&quot; 8=&quot;&quot; .=&quot;&quot; 2.=&quot;&quot; r.=&quot;&quot; 2aha=&quot;1/2bhb=1/2chc&quot; pr=&quot;&quot; 4r=&quot;&quot; ab=&quot;1/2ac·sinB=1/2cb·sinA&quot; rc=&quot;1/2（a+c-b）rb&quot; ra=&quot;&quot; bc=&quot;a，AC=b，AB=c&quot; ae=&quot;=1/2（b+c-a）&quot; bn=&quot;=1/2（a+c-b）&quot; fc=&quot;=1/2（a+b-c）&quot; r=&quot;（如图3）.&quot; a=&quot;b时，）&quot; b=&quot;＜△ABC为钝角△∠A&quot; 1.=&quot;&quot; x=&quot;y时，P的值最大.&quot; ax=&quot;&quot;&gt;b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c&gt;0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
&nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp;
（4）.指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
应用分类讨论思想去绝对值； &nbsp; &nbsp; 应用数形思想；
应用化归思想等价转化

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
① &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
②
类似于，③
高中数学第七章-直线和圆的方程
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.
注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.
注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.
附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）
推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）
4. 直线的交角：
⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.
⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.
5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.
注：
1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.
特例：点P(x,y)到原点O的距离：
2. &nbsp;定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 &nbsp;
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:
4. 过两点.
当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)
3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： &nbsp; A(x-x1)+B(y-y1)=0 &nbsp;(A,B不全为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ∊R） &nbsp; 注：该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线<!--0时,--><!--0,d--></y<1;x<0时，y><!--0时，0<y<1--></y<1></a<1></x2时，都有f(x1)><!--0”,则找“线”在x轴下方的区间.--><!--0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)-->