高考复习专题之平面向量提高篇.docx

平面向量专题讲义
知识点一：向量的概念
　　1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点.
　 　　向量的长度又称为向量的模；
　 　　长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.
　　注意:
　　（1）有向线段的起、终点决定向量的方向，及表示不同方向的向量；
　　（2）有向线段的长度决定向量的大小，用表示，.
　　2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量及任一向量平行.
　　　 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.
　　3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量及零向量相等.
　　　 任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而及起点无关.

知识点二：向量的加法、减法
1．向量加法的平行四边形法则
　　平行四边形ABCD中，向量及的和为,记作:.（起点相同）

2．向量加法的三角形法则
　　根据向量相等的定义有:，即在ΔADC中，.
　　首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
　　规定:零向量及向量的和等于.

3. 向量的减法
　　向量及向量叫做相反向量.记作:.则.

知识点三：实数及向量的积
1．定义：
　　一般地，实数及向量的积是一个向量,记作，它的长及方向规定如下：
　　（1）；
　　（2）当＞0时，的方向及的方向相同；
　　　　 当＜0时，的方向及的方向相反；
　　　　 当=0时，；

2．运算律
　　设，为实数，则（1）；（2）；（3）
3．向量共线的充要条件
　　已知向量、是两个非零共线向量，即，则及的方向相同或相反.
　　、共线时，必存在实数，使得成立.
4．平面向量基本定理：
　　如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
　　我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
知识点四：平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
　　选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于及数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量的坐标表示.
2．平面向量的坐标运算
　　已知，，则（1）（2）
3．平行向量的坐标表示
　　已知，，则（）
知识点五：向量的数量积
1.定义：
　　已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.
　　规定：零向量及任一向量的数量积为0.
　　注意：
　　（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模及余弦值决定 .
　　（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0°≤≤180°.此外，由于向量具有方向性，一定要找准是哪个角.
2.平面向量的数量积的几何意义
　　的几何意义：数量积等于的长度及 在方向上的投影的乘积.
3.性质：
　　（1）
　　（2） 当及同向时，；当及反向时，.
　　　　　特别地
4.运算律
　　设已知向量、、和实数，则向量的数量积满足下列运算律：
　　(1) (交换律)(2) (3)
5.向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量，，那么

；；.

二．典型例题分析
例1.在下列各命题中为真命题的是( )
①若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则·=x1y1+x2y2
②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则｜｜=
③若=(x1,y1)、=(x2,y2),则·=0x1x2+y1y2=0
④若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0。
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
例2.已知=(2,1), =(－1,3),若存在向量使得：·=4, ·=－9，试求向量的坐标。

例3.对于向量的集合A={=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意两个向量、及两个非负实数α、β；求证：向量α+β 的大小不超过α+β。

例4已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大。

例5.如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明
(1)PA=EF； (2)PA⊥EF。

例6.已知及的夹角为,若向量及垂直, 求k.

例7.如果△ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分别为AC边及AB上的中线, 求证：BE⊥CF.

例8.如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足，，，两两不共线，
求证：(+)·(+)=0。

例9.

例10.如图，一直线EF及平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)。
A. B. C. D.

例11.在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos(－2B)的值域．

例12.在平面直角坐标系内，已知两点A(－1,0)、B(1,0)，若将动点P(x，y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x，y)，且满足·＝1.
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)过点B作斜率为－的直线l交曲线C于M、N两点，且＋＋＝0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

平面向量练习
一、选择题：
1、下列各式中正确的是（ ）
（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), （2）|a·b|=|a|·|b|,
（3）(a ·b)· c=a · (b ·c), （4）(a+b) · c= a·c+b·c
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.
2、在ΔABC中,若(+)·(－)=0,则ΔABC为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
3、若|a|=|b|=|a－b|,则b及a+b的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
4、已知|a|=1,|b|= ,且(a－b)和a垂直,则a及b的夹角为（ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
5、若· + = 0,则ΔABC为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为60°, 则|a+b|等于（ ）
A．37 B．13 C． D．
7、己知|a|=1,|b|=2, a及b的夹角为600,c =3a+b, d =λa－b ,若c⊥d,则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．
8、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则（ ）
①(ab)c－(ca)b=0 ②|a| －|b|< |a－b|
③(bc)a－(ca)b不及c垂直 ④(3a+2b)(3a－2b)= 9|a|2－4|b|2
其中真命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9.已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a及b的夹角是( )
A.30° B.－150° C.150° D.30°或150°

10.若·＋2＝0，则△ABC必定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

二、填空题：
11、已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=－18的向量a=__________.
12、设a=(m+1)i－3j, b=i+(m－1)j, (a+b) ⊥(a－b), 则m=________.
13.已已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，
则＝________.
14.知向量a及b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.

三、解答题：
13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)

14.四边形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且a·b=b·c=c·d=d ·a，判断四边形ABCD是什么图形？

15..三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.
　(1)求角B的大小；
　(2)若sinA＋sinC的取值范围．

16. 如图，⊙O方程为x2＋y2＝4，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，⊙O交y轴于点N，∥，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设F1(0，)、F2(0，－)，若过F1的直线交(1)中曲线C于A、B两点，求·的取值范围．

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