数学活动课校本课程.doc

追本溯源

天平掠影
锱铢计较

牛刀小试

目 录
一、 追本溯源
二、 天平掠影
三、 锱铢计较
四、 牛刀小试

古老的称量工具
杆秤的发展历史

千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”。它制作轻巧、经典，使用也极为便利，作为商品流通的主要度量工具，活跃在大江南北，代代相传。天地间有杆秤，人们不断赋予秤的文化内涵，公平公正的象征，天地良心的标尺，一桩桩交易就在秤砣与秤盘的此起彼伏间完成。
我国古代的秤，秤砣谓“权”，秤杆谓“衡”，而称重量时，秤砣和秤杆要和在一起使用，故称“权衡”，现在我们仍把称重量的器具叫做衡器。最早的秤是13两一斤，设计为13颗秤星，而每颗星代表天上的一颗星宿，分别为北斗7星（天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光）和南斗6星（殉星、妖星、义星、仁星、将星、慈母性）。后来的16两一斤的秤是在13两一斤的秤演变而来的，杆秤匠对职业极为神圣虔诚，从不因操作失误而让秤短斤少两。人们发现小商贩总爱缺斤少两，便在制作秤时在原来的13颗星的基础上添了代表“福禄寿”的3颗星，告诫商贩短斤少两就会折损福禄寿，少1两“损福”，少2两“伤禄”，少3两“折寿”。在秤杆上镶嵌秤星时，颜色必须是白色或黄色，不能用黑色，暗喻做生意要心地纯洁，不能昧良心（黑心）。中国人的想象力确实不得了，能把茫茫宇宙的星辰凝聚到秤杆上，赋予神圣意义。古人认为南斗主生，北斗主死，已然生死攸关，更把福禄寿置于重要位置。直到1959年国务院才发布了一律将16两一斤改为10两一斤的命令。至今台湾还是用16两一斤的秤。
在中国，秤的出现也很早。春秋中晚期，楚国已经制造了小型的衡器 — 木衡．铜环权，用来称黄金货币。完整的一套环权共十枚，大体以倍数递增，分别为一铢、二铢、三铢、六铢、十二铢、一两、二两、四两、八两、一斤。中国历史博物馆藏有一支战国时的铜衡杆，这种衡器即不同于天平也不同于后来的称杆，但与不等臂天平类似。经过逐步演化的过程，衡杆的重臂缩短，力臂加长，也就成为了现代仍在使用的杆秤。杆秤在耶稣诞生前由游牧部传入了西方，被命名为罗马秤。在许多拉丁语作家的著作中都有关于这种秤的记载。罗马秤两臂不等，称物端的秤臂较短，且长度固定不变。在称量重物时，移动秤杆另一端的秤锤（这样就改变了该端秤臂的长度），直到秤杆达到水平状态时为止。使用这种秤可以称量比秤锤重得多的物体。

一起来体验杆秤的奥秘吧！
活动的基本过程：
1．自制实验工具——利用皮筋、木棒、盘子和细绳等材料小组合作制作一个简易秤。
2．收集实验数据——利用自制的简易秤，依次称量1本、2本等不同数量的课本，在统计表中记录称量的课本数和相应的皮筋总长度，并计算出每增加一本书皮筋伸长的长度。

交流并思考：
1．整理分析数据——根据计图表中的数据绘制折线统计图，讨论从统计图表中能获得哪些信息。
2．根据统计结果归纳推理——根据统计结果探究皮筋长度和课本数二者之间存在的规律及此规律适用的范围。

走进现代称量工具的世界
你认识它们吗？

形形色色的电子秤
由于我国目前对电子秤的分类没有进行规范化工作，所以人们从不同角度或自己的习惯出发给电子秤赋予了各种各样的名称。为适应不同的要求，一般可以从以下几个方面大致给电子秤进行归类:
—按原理分，有电阻应变式、振弦式、磁电式、陀螺式、核电式等。
一按操作方式分，有自动和非自动电子秤之分。
一按准确等级可分为1、2、3、4四个等级。相应亦可以分为最精密级、精密级、商贸级、工业级，但这种称呼只是相对的、非严格界定的。
因此，从严格的意义上应按前者分类。
—按承重结构或承重方式分，有电子皮带秤、电子轨邀衡、电子吊钩秤、电子料斗秤、平台秤、车辆轴重秤、便携可移动式台秤。
—按用途或使用功能分，可有向公众售货用计价秤、定量分选秤、定量包装秤、配料秤、公路定量监控秤、人体保健秤、家用厨房秤、零件计数秤、防爆专用秤.
—按计量管理性质分，有强制检定和非强制检定之分.在我国凡用于商业贸易、运输大宗物料的交接、医药卫生方面的电子秤和电子天平，都应接受政府的强制检定。
普通标准天平 主要由立柱、横梁、吊挂系统、底座和制动装置组成。天平立柱垂直固定在底座上，用以支撑横梁。立柱下部装有分度牌，顶部装有托架，在天平不工作时支托横梁。在横梁中部装有一把中刀。天平工作时，中刀搁置在与升降杆顶端连接的刀承上，作为支点。中刀两边装有两把边刀，分别作为重点和力点，起承受和传递载荷的作用。中刀下横梁底面装有指针，指针上固定有可上下移动以调节横梁重心位置的重心砣，它起调整天平灵敏度的作用。
　　横梁顶部刻有分度标尺，标尺上有一移动游码。横梁两端还装有可调整天平空载平衡位置的平衡螺母。
　　吊挂系统包括小吊环，挂盘架和秤盘。挂盘架吊挂在小吊环吊钩上，两把边刀分别通过小吊环承受秤盘砝码和被称物的重力。
　　底座装有两个调整天平水平的螺旋调整脚，底座上面还安置有水准器以显示天平水平度。调整水平是为避免天平不水平而产生称量误差。
　　制动装置主要由开关旋钮、开关轴和偏心凸轮（或连杆）组成。转动旋钮使凸轮（或偏心连杆）偏转一定角度，即可使立柱中的升降杆上下移动，通过中刀承将横梁托起或落下，以开启或关闭天平。
 注意事项
　　1.要放置在水平的地方.
　　2.使用前要使天平左右平衡（游码必须归“0”平衡螺母向相反方向调，使用口诀：左高端，向左调）.
　　3.砝码不能用手拿要用镊子夹取.千万不能把砝码弄湿、弄脏（这样会让砝码生锈，砝码质量变大，测量结果不准确），游码也要用镊子拨动.
　　4.被测物体的质量不能超过天平量程或低于天平游码最小刻度.
　　5.潮湿的物体和化学药品不能直接放在天平的盘中.
6.称量时注意左物右码（游码示值以左边对齐刻度线为准）
7.称量后要把游码归零，砝码用镊子放回砝码盒。一起来研究吧！

试一试：
如果两边放上不同的物品，你能根据天平的平衡情况，判断出他们的重量吗？你是怎样想的？
我们发现：在天平两边加上（减去）相等的数量，天平两边仍然平衡。

想一想：
观察天平两边数量的变化，你发现了什么样的规律？
和小组同学交流一下你的发现。
我们发现：将天平平衡时看作一个等式。
在等式两边同时乘（除以）同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
小试身手

1.请根据图意写出一个含有未知数X等式即方程，并算一算X的值。

2.看图写方程并求出方程的解。

3.看谁想的对。

灿烂的古代数学文化

书海拾贝
小资料

早在三千六百多年前，埃及人级会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用X、Y、Z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。

《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，
　　《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
　　《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。
　　《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：
　　第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。
　　第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；
　　第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
　　第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；
　　第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；
　　第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
　　第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
　　第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
神奇的称量——找次品
猜猜要称多少次？

超市导购员不小心将一瓶变质的口香糖（次品较重）混在了货物中，请你猜一猜：她可能需要几次才能把这瓶口香糖找出来？
面对大数据，数学研究中有一种方法叫化繁为简（，那我们从小数据开始研究吧！

借助天平来探究
如果两瓶口香糖中，有一瓶较重，几次能把它找出来？三瓶呢？

小组同学交流称量的方法及每次称得的结果，并结合称量的过程，写或画出示意图。

五个零件中有一个不合格（次品较重），至少几次保证找出来？

小结：5瓶中有一瓶次品，需要称2次保证找到次品。
小试身手
有9瓶口香糖，其中有1瓶是次品（次品重一些），至少称几次就能保证找出次品？
小组合作：
（1） 先想想可以怎样称？
待称物品个数
分成的份数（每份个数）
（保证找出次品）
至少 称的次数
9
9份（1,1,1,1,1,1,1,1,1，）
4次
9
5份（2,2,2,2,1）
3次
9
3份（3,3,3）
2次
9
3份（4,4,1）
3次

（2） 选一种你喜欢的分法称称看。
（3） 比较探究结果：你发现了什么？
把9 个待分物体均成3 部分，并且平均分，能够保证找出次品，而且称的次数最少。不能正好三等分的，三份之间最多相差1.

检验出真知
试一试：15个羽毛球中有一个是次品（次品较轻），至少称几次一定找出次品？25个呢？你还想称出几个物品中的次品？
比较以上称量的结果，你有什么新的收获？

回顾：售货员阿姨的问题解决了吗？

闯关我最行
1. 在60个零件中有一个不合格的零件，比其它的零件轻一些，质检员用天平至少称多少次，保证能找到这个不合格的零件．（请用图示表示出找次品的过程）
2. 在729个小轴承中有一个次品，次品比合格轴承轻，其余重量相同，现在用一架无法码天平最少称几次就一定能称出这个次品？
1.有5袋白糖，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻，你能用天平找出来吗？
2. 有10袋金币，其中只有一袋是假的，真金币每枚重10克，假金币每枚重9克，每袋各有金币100枚，则最少要用秤称多少次才能找出那袋假金币？
谁 是 大 赢 家？