海门市高二数学期末考试模拟练习（一）.doc

海门中学高二数学上学期期末考试综合模拟系列 2014.01
海门市高二数学期末考试模拟试卷（一）
第Ⅰ卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答卷相应位置.
1．若直线a、b均平行于平面a，那么a与b的位置关系是__________
平行、相交或异面
2．某社区有500个家庭, 其中高收入家庭 125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 19 .
3．与双曲线有公共的渐近线,且经过点的双曲线方程是__________.
4．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为 4 ．
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For I From 1 to 5 Step 2

Print S
End for
End
5．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差____15____.

6．阅读上列程序：输出的结果是 2，5，10 ．
7．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ．
9．1︰2︰3．解析：不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为，，，从而它们的表面积之比为1︰2︰3．
8．如图4，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，、分别为长轴和短轴上的一个顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ．

【答案】
【解析】由图知，，整理得，即，解得，故．
9．已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是 ．

【解析】由题意知，所以因为的最大值为5，所以的最小值为3，当且仅当轴时，取得最小值，此时，代入椭圆方程得，又，所以，即，所以，解得，所以，选D.

10．（南通市2013届一调）已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为 ▲ ．
开始
结束
Y
n←1
输入x
输出x
n←n+1
x←2x+1
n≤3
N
（第8题）
答案：．

11. 如图，在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2，是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积为____ .
12．已知抛物线的焦点为F，过点A（4，4）作直线垂线，垂足为M，则∠MAF的平分线所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】点A在抛物线上，抛物线的焦点为,准线方程为，垂足,由抛物线的定义得,所以的平分线所在的直线就是线段的垂直平分线，，所以的平分线所在的直线方程为，即。
13．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ②④ ．（填序号）
① 若则； ② 若则；
③ 若则； ④ 若则．
14．已知F是双曲线：的右焦点，O是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点在双曲线上，则的值为 ． 13．；
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知
所以
身高在以上的学生人数为 (人)
(Ⅱ) ,,三组的人数分别为人,人,人.
因此应该从,,三组中每组各抽取
(人),(人),(人)
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设组的位同学为,,,组的位同学为,,组的位同学为,则从名学生中抽取人有种可能:
,,,,,,, ,,,,,,,.
其中组的位学生至少有人被抽中有种可能:
,,, ,,,,,.
所以组中至少有人被抽中的概率为

16．（本题14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（1） 求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于………….12分

17. （本题15分）已知关于的一元二次函数.
（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，
求函数在区间[上是增函数的概率；
（2）设点（，）是区域内的随机点，求上是增函数的概率.
解：（1）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且 ………………3分
若=1则=－1， 若=2则=－1，1； 若=3则=－1，1； ……
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为. ………7分
（2）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分. 由 …………11分
∴所求事件的概率为. …………………………　14分
18．（本题15分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
（Ⅰ）证明：连接．
因为 是直三棱柱，所以 平面，…1分
所以 ． ………………2分
因为 ， 所以 平面．………3分
因为 ，，
所以 ．………4分
（Ⅱ）证明：取中点，连接，． ………………5分
在△中，因为 为中点，所以，．
在矩形中，因为 为中点，所以，．
所以 ，．
所以 四边形为平行四边形，所以 ． ………………7分
因为 平面，平面， ………………8分
所以 // 平面． ……9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面． ………11分
证明如下：连接．在正方形中易证 ．
又平面，所以 ，从而平面．…12分
所以 ． ………………13分
同理可得 ，所以平面．
故线段上存在点，使得平面． ………………14分
19．（本题16分）已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，离心率为．
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设、为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上．
①证明点在定圆上；
②设直线的斜率为，若，求的取值范围．
解：（Ⅰ）由，c=2，得，b=2 ,
所求椭圆方程为. ………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设，则，
故，.
① 由题意，得.
化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分）
② 设，则.
将，，代入上式整理，
得
因为，k2>0，所以，
所以 ．
化简，得
解之，得，
故离心率的取值范围是. ………………………（12分）
20．（本题16分）已知椭圆E:的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足。
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a>1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由。
（1），当且仅当c=1， 椭圆E的方程为
（2）由知，从而直线与坐标轴不垂直，
故可设直线的方程为，直线的方程为
将代入椭圆的方程，整理得
解得或，故点A的坐标为
同理，点B的坐标为
=
=，
所以a=3
（3）由（2）知直线的斜率为=
直线的方程为，即
直线过定点
海门市高二数学期末考试模拟练习（一）
班级 姓名 学号
第Ⅱ卷
◆友情提醒：本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
21．（本题10分）已知点是圆上的动点．
①求的取值范围；
②若恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题10分）（2013年高考新课标1（理））已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案】将消去参数,化为普通方程,
即:,将代入得,
,
∴的极坐标方程为;
(Ⅱ)的普通方程为, [来源:学科网]
由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),. [来源:Zxxk.Com]

23．（本题10分）解: 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系，
则,…………2分
（1）设与所成的角为,，
, 与所成角的大小为…………5分
（2），
设平面OCD的法向量为,
则，
即 ，
取,解得 ……… 6分
易知 平面OAB的一个法向量为 ………7分
……………………9分
由图形知，平面与平面所成的二面角的余弦值为…………………10分