高中数学复习专题数列讲座.doc

高中数学复习专题讲座
数列的通项公式与求和的常用方法
高考要求
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法
重难点归纳
1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性
2 数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式 an=
3 求通项常用方法
①作新数列法 作等差数列与等比数列
②累差叠加法 最基本形式是
an=(an－an－1 ) + (an－1+an－2) +…+ (a2－a1) + a1

③归纳、猜想法
④递推数列：
4 数列前n项和常用求法
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1) ， 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2
②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn
③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项

④错项相消法
⑤并项求和法
数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法
典型题例示范讲解
例1已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有=an+1成立，求
命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力
知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口
错解分析 本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键
技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣
解 (1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；
又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
(2)令=dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
∴dn=an+1－an=2,
∴=2,即cn=2·bn=8·(－2)n－1；∴Sn=［1－(－2)n］
∴
例2、设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项
(1)写出数列{an}的前3项
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
(3)令bn=(n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n)
解析 (1)由题意，当n=1时，有，S1=a1，
∴，解得a1=2 当n=2时，有，S2=a1+a2，将a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6
当n=3时，有，S3=a1+a2+a3，
将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10
故该数列的前3项为2，6，10
(2）解法一 由(1）猜想数列{an} 有通项公式an=4n－2
下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=4n－2，(n∈N*）
①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k－2 代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，
由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，
将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，
整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，
所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，
即当n=k+1时，上述结论成立
根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N*成立
解法二 由题意知，(n∈N*) 整理得，Sn=(an+2)2,
由此得Sn+1=(an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)2－(an+2)2］
整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0，
由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，
即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4
∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为an=4n－2
解法三 由已知得,(n∈N*)　　　　　①，
所以有　　　　　　　　　　　　②，
由②式得，
整理得Sn+1－2·+2－Sn=0，
解得，
由于数列{an}为正项数列，而，
因而，
即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列
所以= +(n－1) =n,Sn=2n2，
故an=即an=4n－2(n∈N*)
(3)令cn=bn－1，则cn=

例3、数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ），，．又，
数列是首项为，公比为的等比数列，．
当时，，
（Ⅱ），
当时，；
当时，，…………①
，………………………②
得：
．
又也满足上式，
例4、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，解得．
由题意得．．故数列的通项为．
（2）由于由（1）得
又
是等差数列．
故．
西乡一中2008年高考复习数学培训试题（三）

1. 已知数列的前项和, 其中是首项为1，公差为2的等差数列。
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.
2、在数列中，，，．
解：（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅰ）证明：由题设，得
，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
．
所以数列的前项和．
3、设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：(I)

验证时也满足上式，
(II) ，

，
4、数列中，，（是常数，），且 成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II）求的通项公式．
解：（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，，
，所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．

高中数学复习专题讲座
数列的通项公式与求和的常用方法
高考要求
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法
重难点归纳
1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性
2 数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式 an=
3 求通项常用方法
①作新数列法 作等差数列与等比数列
②累差叠加法 最基本形式是
an=(an－an－1 ) + (an－1+an－2) +…+ (a2－a1) + a1

③归纳、猜想法
④递推数列：
4 数列前n项和常用求法
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1) ， 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2
②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn
③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项

④错项相消法
⑤并项求和法
数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法
典型题例示范讲解
例1、已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，
b3=f(q－1)，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有=an+1成立，求

例2、设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项
(1)写出数列{an}的前3项
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
(3)令bn=(n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n)

例3、数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．

例4、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．

西乡一中2008年高考复习数学培训试题（三）

1、 已知数列的前项和, 其中是首项为1，公差为2的等差数列。
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

2、在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；

3、设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．

4、数列中，，（是常数，），且 成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II）求的通项公式．

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