高中数学复习函数的奇偶性习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解
一、选择题
1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)
A．y＝x＋x3(x∈R)
B．y＝3x(x∈R)
C．y＝－log2x(x>0，x∈R)
D．y＝－(x∈R，x≠0)
[答案]　A
[解析]　首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x＝0在定义域内，则应有f(0)＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.
(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1|
C．f(x)＝(ax＋a－x) D．f(x)＝ln
[答案]　D
[解析]　y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.
2．(2010·安徽理，4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案]　A
[解析]　f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选A.
3．(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)＋g(x)＝log2(x2＋x＋2)，则f(1)等于(　　)
A．－ B.
C．1 D.
[答案]　B
[解析]　由条件知，，
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∴，∴f(1)＝.
4．(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝(　　)
A．4.5 B．－4.5
C．0.5 D．－0.5
[答案]　D
[解析]　∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.
(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
[答案]　A
[解析]　由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，
∵f(x)在[－1,0]上为减函数，

又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．
5．(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．不能确定
[答案]　C
[解析]　∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.
6．定义两种运算：a⊗b＝，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝(　　)
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案]　B
[解析]　f(x)＝，
∵x2≤4，∴－2≤x≤2，
又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．
则f(x)＝，
f(x)＋f(－x)＝0，故选B.
7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．c<b<a B．b<c<a
C．b<a<c D．a<b<c
[答案]　C
[解析]　由题意知f(x)＝f(|x|)．
∵log47＝log2>1，|log3|＝log23>log2，0<0.20.6<1，
∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.
又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∴b<a<c.故选C.
8．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2011)等于(　　)
A．2　　　 B．－3　　　
C．－　　　 D.
[答案]　C
[解析]　由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)　(x∈N*)．
∴f(x)的周期为4，
故f(2011)＝f(3)＝－.
[点评]　严格推证如下：
f(x＋2)＝＝－，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为4.
故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，
9．设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.
∴f(x)＝lg，由f(x)<0得
0<<1，∴－1<x<0，故选A.
10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y＝log2的图象(　　)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
[答案]　A
[解析]　首先由>0得，－2<x<2，其次令f(x)＝log2，则f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.
(理)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的(　　)

[答案]　C
[解析]　∵y＝是偶函数，排除A，
当x＝2时，y＝>2，排除D，
当x＝时，y＝＝>1，排除B，故选C.
二、填空题
11．(文)已知f(x)＝，则f＋f的值为________．
[答案]　－2
[解析]　f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－，
f＝sin＝sin＝，∴原式＝－2.
(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
[答案]　0
[解析]　∵f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f＝f，对任意x∈R都成立，
∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x)
＝f(－1－x)＝f(2＋x)，
∴周期T＝2　∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0
又f(1)与f(0)关于x＝对称
∴f(1)＝0　∴f(3)＝f(5)＝0　填0.
12．(2010·深圳中学)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．

[答案]　∪
[解析]　依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，
∵<0，∴，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－<x<0或<x<π.
13．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.
[答案]　0
[解析]　由题意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－(－1)2＋1＝0.
(理)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当－1≤x≤1时，f(x)＝a，当x≥1时，f(x)＝(x＋b)2，则f(－3)＋f(5)＝________.
[答案]　12
[解析]　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∵－1≤x≤1时，f(x)＝a，∴a＝0.
∴f(1)＝(1＋b)2＝0，∴b＝－1.
∴当x≤－1时，－x≥1，f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，
∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－(x＋1)2，
∴f(x)＝
∴f(－3)＋f(5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.
[点评]　求得b＝－1后，可直接由奇函数的性质得f(－3)＋f(5)＝－f(3)＋f(5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.
14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg(a∈R)是奇函数，则a＝________.
[答案]　－1
[解析]　∵f(x)＝lg是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，
即lg＋lg
＝lg＝0.
∴＝1，
∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0，
∵上式对定义内的任意x都成立，
∴，∴a＝－1.
[点评]　①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．
②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lg为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．
(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f(x)＝lg为奇函数，则使不等式f(x)<－1成立的x的取值范围是________．
[答案]　<x<2
[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，∴lg＋lg
＝lg＝0，
∴＝1，
∵a≠0，∴＝0，∴a＝4，
∴f(x)＝lg＝lg，
由f(x)<－1得，lg<－1，
∴0<<，由>0得，－2<x<2，
由<得，x<－2或x>，∴<x<2.
三、解答题
15．(2010·杭州外国语学校)已知f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．
(1)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
(2)若当x＝－1时函数y＝g(x)取得极值，且方程g(x)＋b＝0有三个不同的实数解，求实数b的取值范围．
[解析]　(1)由f(x)为偶函数知b＝0，
又f(2)＝5，得c＝1，∴f(x)＝x2＋1.
∴g(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a，
因为曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，
所以g′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0有实数解．
∴Δ＝4a2－12≥0，解得a≥或a≤－.
(2)由题意得g′(－1)＝0，得a＝2.
∴g(x)＝x3＋2x2＋x＋2，
g′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)．
令g′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－.
∵当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，当x∈(－1，－)时，g′(x)<0，当x∈(－，＋∞)时，g′(x)>0，
∴g(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝－处取得极小值．
又∵g(－1)＝2，g(－)＝，且方程g(x)＋b＝0即g(x)＝－b有三个不同的实数解，∴<－b<2，
解得－2<b<－.
16．(2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
[分析]　由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．
[解析]　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，
f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.
17．(文)已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.
即1－＝0，
解得a＝2.
(2)∵y＝，∴2x＝，
由2x>0知>0，
∴－1<y<1，即f(x)的值域为(－1,1)．
(3)不等式tf(x)≥2x－2即为≥2x－2.
即：(2x)2－(t＋1)·2x＋t－2≤0.设2x＝u，
∵x∈(0,1]，∴u∈(1,2]．
∵u∈(1,2]时u2－(t＋1)·u＋t－2≤0恒成立．
∴，解得t≥0.
(理)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为实数，且a≠0)，F(x)＝.
(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.
[解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.
又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f ′(－1)＝0，
即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①
因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②
又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，
所以c＝2a＋3.③
解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.
从而f(x)＝－3x2－6x－3.
所以F(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3，
所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.
由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：
－≤－1或－≥1，得k≤－12或k≥0.
(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.
因此f(x)＝ax2＋c.
又因为mn<0，m＋n>0，
可知m，n异号．
若m>0，则n<0.
则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c
＝a(m＋n)(m－n)>0.
若m<0，则n>0.
同理可得F(m)＋F(n)>0.
综上可知F(m)＋F(n)>0.

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