谈小学数学的螺旋式复习方法.doc

大家晚上好！
时间关系，我们开始。我今天和各位探讨的专题是：
螺旋式复习方法在小学数学复习中的运用
本专题按循序渐进学习规律，分四个环节进行：
1. 我先介绍螺旋式复习方法的含义和个人探讨该方法的背景
2. 我以小学数学复习实例展示螺旋式复习方法及运用（篇幅占整个专题的90%），从运用中进一步体验螺旋式复习方法的内涵和实际意义。
3. 我以前面体验螺旋式复习方法的内涵和实际意义为基础，归纳出螺旋式复习方法的价值和优势。
4．剩余时间大家可以此展开问题讨论。

一、螺旋式复习方法的含义和个人该探讨方法的背景
（一）个人探讨螺旋式复习方法的背景
想清楚小学数学教学中螺旋式复习方法的含义，这我要先从初中学数学教学遇到的实际问题说起，而后我再和小学教学联系阐述该问题。现在的初中学数学课程是三年制，按教材计划，至多到初三毕业前一个月可以进行初中总复习。但事实大多数学校为了迎接中考，根本不按教材要求的进度来，平时撵进度，最后将进度提前半年，到初三最后半年全都是中考复习了。这样的教学进度，与当地教育行政部门的初一、初二和初三上学期每学期的统考产生了矛盾。教育行政部门统考是按教材要求的进度出题的，可学校教师教学进度要比当地教育行政部门出考题进度快好几章，此时教师教学实际要面临两个相互矛盾的任务，一个是按统考要求的进度教学，应付上级统考；一个是按自己的进度快速讲，好腾出时间进行中考复习。教师教学进度若快，教育行政部门统考出以前的知识，学生实际都忘掉了，考试成绩会不好；教学进度若慢，又怕中考复习时间短，复习效果不好；教师教学在矛盾之中纠结。无奈，一些教师为应付行政部门考试，一般是在教育行政部门考试前，临时加班加点进行复习，弄得教师和学生都焦头烂额。
如何解决这个矛盾呢？首先我们教师不能改变教育行政部门考试的进度，因为教育教行政部门执行的是国家计划；怎么办？那就只能改变我们教师自己。我出于好奇，以记忆原理、认知心理学的知识表征模型（层次网络模型和激活扩散模型）、图式理论、记忆理论和皮亚杰的发生认识论为支撑，以新课标下的直线式和螺旋式教材特点为依托，进行研究，并进行一系列实践，研究探讨了一个解决该问题的方法------螺旋式复习方法。我早在2004年，写了一篇文章，文章题目是《谈螺旋式复习方法》。该文发表在中国教育学会数学专业委员会会刊《中学数学教育（初中版）》（后更名为《中国数学教育（初中版）》）2004年第6期上。经过9年时间到现在，该法大家可能已经不陌生了。我今天和各位交流，旨在探讨该法在小学教学领域的应用。我想，小学和中学也类似，也面临上级部门统考问题，螺旋式复习方法能解决当前教师们面临的应对考试的一些问题。此外，螺旋式复习方法的价值不仅仅如此，还有更多的和更普遍的意义。今天我将这个方法从中学数学教学领域迁移到小学数学教学上来，供大家参考。
（二）螺旋式复习方法的含义
我从传统复习方法出发来说明螺旋式复习方法的特点。这里的“复习”不是指平时课堂教学的临时性复习，而指教学中至少占用一节课的专题复习。传统的专题复习是每到一个单元结束，将这一个单元知识复习，到期中考试前将半学期的知识复习，到期末将整个学期知识复习。而螺旋式复习方法不是，它是每到一个单元结束，都力求将以往学过的相关知识点合一起全面复习。就是说每到一个单元的复习时，都同时复习与本单元紧密相关的以往各个学习阶段的知识，将这些相关知识和本单元知识一并统一梳理，形成新的整体结构。而后各个单元复习都是如此。这就是螺旋式复习方法的主要特点。
单元复习的螺旋式复习方法和传统的复习方法的主要区别是，传统的单元复习只复习本单元内容，而螺旋式复习方法则是将本单元内容和以往学过的相关内容放一起统一都复习。在螺旋式复习中，每次单元复习，都经历对原知识体系的一个更高层次的认识和整理。
螺旋式复习方法虽然是相关知识的全面复习，但要以本单元知识复习为核心和重点。因为本单元知识是新内容，学习深度和程度相对不足，不及以往知识熟练，知识系统还未完善，需要深加工。
有人可能说，这样的累加式复习，不是增加平时大脑的记忆负担吗？其实这样的复习，会经常不断地对知识进行再抽象、再概括和提升，一些已原来已经熟练的知识、大脑永久记忆的知识或程序，通过复习会不断简缩，特意记忆的知识点自然减少。螺旋式复习虽然复习的知识量逐步添加，但不会增加大脑记忆负担。此时认识的层次提高了，一些知识点不用特意记忆而自然地得到巩固。这即华罗庚说的“知识越学越薄”。
我这样说，各位可能对螺旋式复习方法体验不深。下面我以复习实例展示该方法，大家就会更清楚。
二、以“平面直线形概念和规则体系”构建为例展示螺旋式复习方法
下面我以人教版（2013年以前的版本）小学数学单元复习结构中抽出课标所说的“图形的认识和测量” 这一块联系紧密的知识体系复习为例来说明螺旋式复习方法。我们从中体会体会螺旋式复习的意义和优势。
说明1：整个单元复习应含概念体系构建、规则体系构建、典型及核心内容复习、综合技能的形成、数学思想方法体系的建立、数学基本经验及综合性能力的形成等等。但下面展示的复习的例子，不是单元复习的全部教学内容，仅仅是从整体单元复习中抽出概念、规则和技能层面复习体系的构建这一块的螺旋式复习，复习课其它目标及各个环节设计，为省略篇幅，这里略去不谈，大家不要产生误解，误认为是完备的复习体系。
说明2：这里谈的是复习体系构建的新模型，而不谈具体习题配备及具体教学程序，其实我们清楚复习体系构建的模型了，具体具体习题配备原则及具体教学程序就自然清楚了。
说明3：我原来研究的螺旋式复习是以中学数学复习为载体的。今天我们探讨小学螺旋式复习，就要举小学数学例子。本人对小学教材不熟，下面各个单元复习结构图是我为本专题临时初步设计的，没深入思考，比较粗糙，知识结构和知识点归纳不一定全面，知识结构图设计的不一定合理。这里旨在用来说明螺旋式复习方法。
一年级上册第四单元：“认识物体和图形”复习
本单元课程结束后，从概念、规则和技能角度看，复习要点是：
1.长方形、正方形、三角形、圆、长方体、正方体、圆柱和球等图形的直观认识；
2. 直观感受各种图形的特征，从背景中辨认和区别这些图形；
3.用自己的语言表述这些图形和特征；
4.找到实际生活这些图形。
相关概念、规则和技能复习结构图是：

我们可从这个结构图出发，配备复习题，设计复习教学的其它各个具体内容。
学习完一年级上册第四单元“认识物体和图形”后，按教材要间隔学习其它类知识。而到一年级下册第三单元，要学习相关知识：图形的拼组。
一年级下册第三单元：“图形的拼组”复习
从知识技能角度看，这部分内容是在上学期“认识物体和图形”的基础上，让学生初步体会长方形、正方形、三角形、圆等一些平面图形和立体图形的特征（如，知道正方形的四条边都相等，长方形的对边相等，三角形由三条边组成等），并能用自己的语言描述长方形、正方形边的特征。初步感知所学图形之间的一些关系。
该单元学完后复习时就不能光复习本单元“图形的拼组”知识了，复习时要将一年级上册第四单元“认识物体和图形”和本单元两个内容统一归一起系统复习，构建新的体系。概念、规则和技能领域复习要点和结构图如下：

我们回头看看一年级上册第四单元复习结构图，发现这个新体系不光是将两个单元知识的简单累加，而更多是抽象、融合和提炼。如，原来“典型图形的表象”，和本单元知识合成“典型图形和组合图形的表象”；原来的“简单图形直观认识”层面，上升为“图形特征及之间的关系特征层面”；增加了“基本图形与典型图形转换”内容。
学习完一年级下册第三单元“图形的拼组”后，按教材进度，要间隔学习其它类知识。到二年级上册第一单元，要学习相关知识：长度单位。
二年级上册第一单元：“长度单位”复习
通过一年级第一学期“比长短”的学习，学生已经对长、短的概念有了初步的认识，并会直观比较一些物体的长短。本单元在此基础上，学习一些计量长度的知识，并初步认识线段。从知识和技能角度看，主要内容如下：
1．认识长度单位厘米和米，初步建立1厘米、1米的长度表象，知道1米＝100厘米。
2．初步学会用刻度尺量物体的长度（限整厘米）。
3．初步形成估量物体长度的意识。
4．初步认识线段，学习用刻度尺量和画线段的长度（限整厘米）。
5.知道测量同一长度，由于所用的标准不同，所以量得的数量不同；测量不同长度，由于所用的标准不同，量得的数量可能相同。
该单元学完后复习时就不能光复习本单元知识了。复习时要将一年级上册第四单元的“认识物体和图形”、一年级下册第三单元的“图形的拼组”和本单元的知识这三个相关内容统一归一起系统复习，构建新的体系。其实由于我们是螺旋式复习，一年级下册第三单元的“图形的拼组”复习已经涵盖了一年级上册第四单元的“认识物体和图形”，故我们以一年级下册第三单元的“图形的拼组”知识结构图为基础，构建本单元复习体系就可。本单元复习中，概念、规则和技能基本要点结构图如下：

我们回头看一年级下第三单元相关复习结构图，发现这里的复习结构比前一单元更富有逻辑。以原来长度单位概念和测量物体长度内容为基础，延伸到线段的概念，量线段，继而量基本图形的边长，将上一个单元积累的内容，按逻辑关系有机融合在一起复习了。上一单元中图形的表象，学生已经巩固，这里将其省略，无需特意复习。
学习完二年级上册第一单元“长度单位”后，按教材进度要间隔学习其它类知识。到二年级上册第一单元，进入到相关知识内容：角的初步认识。
二年级上册第三单元： “角的初步认识”复习
从概念、规则和技能角度看，本单元知识主要两点：
1．对角的感性认识，知道角有一个顶点，两条边；初步学会用尺画角。
2．初步认识直角，会用三角板判断直角和画直角。
在“二年级上第一单元：长度单位”构建的系统的基础上，相关概念、规则和技能知识复习结构图如下：

我们回头看二年级第一单元相关复习结构图，发现，“初步建立1厘米、1米的长度表象”在学生大脑已经稳固，不用特意复习。“测量同一长度，所用的标准不同，量得的数量不同；测量不同长度，所用的标准不同，量得的数量可能相同”，这些知识学生已经稳固，也不必特意复习。学生“估量物体长度的意识”已经基本形成，不必特意复习。
学习完二年级上册第三单元“角的初步认识”后，按教材进度，要间隔学习其它类知识。到三年级上册第一单元，进入到相关知识内容：测量。
三年级上册第一单元：“测量”复习
从概念、规则和技能角度看，本单元知识主要是：
1．在前面认识米和厘米基础上，认识长度单位毫米、分米和千米，建立1毫米、1分米和1千米的长度观念。认识质量单位吨，建立1吨的质量观念。通过学习，常用的长度单位和质量单位有一个比较完整的认识。
2．常用的长度单位间、质量单位间的关系，简单的单位换算，恰当地选择单位。
3．估计一些物体的长度和质量，会选择不同的方式进行测量。
对应概念、规则和技能螺旋式复习内容结构如下：

我们回头和前面的三年级上第一单元相关复习结构图相对比，到此，量线段长度的技能已经形成，不必特意复习。长度单位及进率可统一梳理，原来的“量物体长度”和“量基本图形”合在一起了。
学习完三年级上册第一单元“测量”后，按教材要间隔学习其它类知识。到三年级上册第三单元，要学习相关知识：四边形。
三年级上册第三单元：“四边形”复习
对本单元概念、规则和技能领域的复习分析如下：
1．在以往学习“空间与图形”基础上，初步直观认识四边形的特征，从各种图形中区分出四边形，进一步掌握长方形和正方形的特征。
2. 初步建立平行四边形的表象，感悟平行四边形易变形的特性（而理解“两组对边平行而且相等的四边形是平行四边形”将在第二学段出现）。对周长，要能结合具体的物体或图形说明周长的含义。
3.会在方格纸上画长方形、正方形和平行四边形。
4．知道周长的含义，掌握长方形、正方形的周长计算方法。
5．继续学习估计一些物体的长度，并进行测量。
该单元对应的概念、规则和技能螺旋式复习内容结构如下：

我们回头和三年级上第一单元相关复习结构图对比，这里，用尺画角已经熟练，不用特意复习了。
学习完三年级上册第三单元“四边形”后，按教材要间隔学习其它类知识。到三年级下册第六单元要学习相关知识“面积”。
三年级下册第六单元：“面积”复习
从概念、规则和技能角度看，本单元主要复习内容是：
1．面积的含义，估计和测量图形的面积；面积单位平方厘米、平方分米、平方米、平方千米和公顷的表象；相邻两个单位之间的进率及简单的单位换算。
2．用长方形、正方形的面积公式计算长方形、正方形的面积；能估计给定的长方形、正方形的面积。
该单元对应的概念、规则和技能螺旋式复习内容结构如下：

我们回头和三年级上册第三单元相关复习结构图对比，发现，原来的“平行四边形容易形变”这个性质学生已经掌握，不必特意复习了。原来的“四边形特征”已经感悟，不必特意复习了。原来的“正方形长方形特征”在求面积时就自然复习了，不必特意复习了。“平行四边形表象”已经形成，不必特意复习了。
学习完三年级下册第六单元“面积”后，按教材要间隔学习其它类知识。到四年级上册第二单元要学习相关知识 “角的度量”。
四年级上册第二单元：“角的度量”复习
教材是分三个阶段编排“角的认识”这一内容的。第一个阶段，是在二年级上册，使学生初步认识角和直角，并知道角的各部分名称，会用尺画角，用三角板判断直角、画直角。第二个阶段，是在二年级下册，让学生认识直角和非直角。第三个阶段，就是本册教材这一单元，让学生进一步学习角的度量。该单元概念、规则和技能部分主要复习内容是：
1．进一步认识线段，并认识射线和直线，知道线段、射线和直线的区别。
2．学习角的概念和角的表示角的符号，认识直角、锐角钝角、平角、周角及关系，会比较角的大小，会用量角器量角的度数和按指定度数画角。
该单元对应的概念、规则和技能螺旋式复习内容结构如下：

我们回头和三年级下册第六单元相关复习结构图对比，面积的概念学生已经掌握，不必特意复习了。原来的线段和角的知识上升了层次，重新梳理了。估算能力基本形成，不需特意复习。基本图形组合已经熟练，不必特意复习。
学习完四年级上册第二单元“角的度量”后，按教材要间隔学习其它类知识。到四年级上册第四单元，要学习相关知识 “平行四边形和梯形”。
四年级上册第四单元，“平行四边形和梯形”复习
从概念、规则和技能领域知识看，复习要点分析如下：
1．本单元是在以往学习了角的度量的基础上，理解垂直与平行的概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线。认识“点到直线的距离”。
2．在前面已经学习了有关四边形的知识，对平行四边形也有了初步的认识基础上，掌握平行四边形特征。知道平行四边形的底和高，与正方形、长方形的关系。
3.认识梯形的特征，及梯形的的各部分名称；认识梯形和平行四边形的的联系和区别。学习画高。
该单元对应的概念、规则和技能螺旋式相关复习内容结构如下：

我们回头和四年级上第三单元相关复习结构图对比，角的大小比较知识已经牢固，不必再特意复习了。按指定度数画角，已经形成技能，不必特意复习了。
学习完四年级上册第四单元，“平行四边形和梯形”后，按教材要间隔学习其它类知识。到四年级下册第五单元要学习相关知识“三角形”。
四年级下，第五单元 “三角形”复习
对概念、规则和技能领域知识复习要点分析如下：
通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，学生对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。本单元是在上述内容基础上，进一步丰富学生对三角形的认识和理解。主概念和规则部分主要内容有：
1.三角形的特性，三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°。
2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形的特征。
3.三角形的特征及三角形与四边形的联系。
4. 图形的拼组。
该单元对应的概念、规则和技能螺旋式相关复习内容结构如下：

   我们回头和四年级上册第四单元相关复习结构图对比， 画平行四边形和梯形高已经熟悉，不特意复习。四边形概念已经熟悉，不必特意复习。画垂线和平行线已经熟悉，不必特意复习了。
学习完四年级下册第五单元“三角形”后，按教材要间隔学习其它类知识。到五年级上册第五单元要学习相关知识“多边形面积”。
五年级上，第五单元，“多边形面积”复习
有关概念、规则和技能领域知识复习要点如下：
1．掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。平行四边形、三角形和梯形面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的，到这一单元结束，多边形面积的计算就基本学完。
2．认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。
该单元对应的概念、规则和技能螺旋式相关复习内容结构如下：

上面的例子，揭示了螺旋式复习的基本特征和系统构建方法。按这个思路可继续建立圆、长方体、圆柱体和圆锥体等单元的螺旋复习就结构。类似可构建小中学数学全面内容复习结构，如此复习下去，随着教学进度，联系紧密的、能形成结构的知识，会逐步得到积累和梳理，并逐步提高对知识的认识层次，知识逐步得到增生和扩展，逐步整体化、结构化、综合化，并逐层达到深化。
注意：我再重复说明，我上述仅仅是从概念、规则和基本技能领域谈螺旋式复习方法，不是单元复习的全部内容。各位可类似构建数学思想方法、数学基本经验等内容的螺旋式复习体系，完善复习体系构建。五年级下册到六年级上下册相关复习内容，时间关系，这里略。
三、螺旋式复习方法的价值和优势
通过对上面螺旋式复习的案例的体验，我们可总结出螺旋式复习方法的主要优点：
1.祢补了传统复习方法的不足。传统的复习方法，各单元复习相对独立，过去学习过的知识得不到及时复习，很多是知识已经遗忘了才想起复习，这样复习违背艾宾浩斯的记忆曲线原理。而螺旋式复习中，每单元都要进行一次相关同类知识的全面复习，每次复习都要与先前相关知识相联系，而不是以往知识大量遗忘后才复习，这使学过的知识不断的、及时的得到巩固。
2.使知识在不断累加的过程中逐步扩展抽象和完善，形成结构，而不是突然构建系统。当今新课标下的教材是螺旋式和直线式结合的编排体系，而课程标准下的很多知识的呈现不是按逻辑顺序呈现的，而是按学生认知能力以三个学段呈现的，在小学段，同一个知识内容，要分1～3,4～6两个学段分层展示，这样呈现知识，优点很多，但也必然使知识相对散。而及时进行螺旋式复习，正和课标、教材不谋而合，并弥补了教材存在的不可避免的不足（散）。
3.减轻了考前复习的压力。教材中，数的认识、数的运算、式与方程、正比例、反比例各类知识大多是螺旋式呈现的。而平时单元教学按螺旋式复习方法复习，这样下去，等到毕业总复习时，已经将小学数学全部知识复习得差不多了，毕业总复习时就不用占用更大量时间了。这样的复习，教师平时教学总是将总复习蕴含在平时的单元复习之中，因此以往学习过的相关知识，总能及时得到复习。任你上级何时统一考试，考前我都不用特意花大气力，违背学习规律去加班加点复习了。这样的复习，能随时应对教育行政部门的考试，教师的教学能和教育行政部门的考试取得和谐。事实按教材编排，最后小学毕业复习课时是不多，该复习恰和教材编排的复习时间合拍。
4.能及时有效矫正学生知性错误。学生知识性错误很多是由于知识之间相互作用所致。如果新旧知识间的关系十分清晰，则知识性错误就很少发生。比如，如果学习新知识时，旧知识由于遗忘因素而不清晰了，新旧知识的区分点会模糊，新旧知识的相似因素及对立因素，会导致新旧知识会产生相互抑制、干扰和负迁移等，进而导致知识混淆，产生知识性错误。而螺旋式复习，可及时将相关旧知识回忆，旧知识一般总保持较清晰状态，错误就会很少发生。
5.避免学生学习中相关知识缺失。学生学习中，一般好出现这样的情况：解答问题时，需要用到以往相关知识，但由于忘掉了以往相关知识，导致问题解答不出，此时要回忆出以往知识，有时回顾旧的相关知识时需要花费很长的复习时间，无端占用了大量学习新知识时间。而在螺旋式复习中，由于以往知识会不断得到复习，因而，无论学习的哪个环节，哪个学习时刻，学生学习新内容或解题所需的原有知识，一般都不会出现大量忘掉的情况，这就为学生正常学习和研究开拓了道路。
说明：螺旋式复习方法不是对传统的复习方法的否定，而是对传统的复习方法的补充和完善。在螺旋式复习中，融进了传统复习的成分。本人反对“提出一个新的教学方法，就一概否定过去的教学方法”，我反对极端的标新立异的思想。
以上介绍了螺旋式复习方法，该法仅仅供各位参考。该法对小学到底可用否？大家可展开讨论。由于本人发言篇幅太长，可能有打字错误，见谅。
通途：王喜清（退休前单位：黑龙江省七台河市教育研究院）
2013年9月12日，晚8点，于鲲鹏小数工作室群。