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任意角的三角函数”的教学案例
一、以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：
（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？
（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？
（3）教学任务是否完成？
下面我们着重分析一下提问的效果。
在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？”
对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。
对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。
二、对任意角三角函数概念教学的启示
要建立任意角三角函数概念，角的概念先扩大，角的表示（过程的）：正角、零角、负角，象限角，与角α终边相同的角，{α+k·360°}到{α+2kπ}(结构的)，学生对角的概念的图式重新组织，整理成弧度的形式才更适宜后面内容的学习。
任意角三角函数与锐角三角函数的关系是“上下位”关系，即任意角三角函数的概念是抽象度更高、包摄范围更广的概念。因此，学生学习这个概念是以顺应为主的认知过程，产生与原认知结构不协调的方面是：首先，要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。其次，在不同象限下，角β所对应的三角函数的表示，符号等；第三，任意角三角函数的定义域、值域。
活动1：取一个锐角α0放在坐标系下，始边与χ轴的正半轴重合，终边在第一象限内。让学生观察，进而探索发现，用终边上点的坐标计算sinα0, cosα0, tgα0.体验用单位圆与终边交点的坐标表示sinα0, cosα0, tgα0.
过程1，学生能内化上面的过程，用符号运算表示出任意的第一象限内的角α的三角函数，例如，单位圆与终边交点P的坐标是（x,y）,则.
活动2，学生观察终边在其它象限下的角的三角函数的情形。主要是表示，以及三角函数值的符号的变化。
过程2，学生能内化上面的体验。知道不同的象限角的三角函数与其终边与单位圆交点的关系，表示，以及函数值符号的变化。
对象1，对上述过程进行压缩，归纳概括出定义，即利用单位圆定义任意角的三角函数，并明确确定其定义域、值域。
图式1，学生能与已有的相关知识建立起联系。例如弧度的概念，锐角三角函数、函数的概念等等。此时学生能回答诸如“锐角三角函数与任意角三角函数的区别是什么？”
学生建构概念意义的过程并非都沿着：活动—过程—对象—图式的顺序线性发展的，而是经常会由对象通过解压缩返回到过程，或者掌握一个过程的逆过程，由一个过程复合另一个过程形成新的“过程”，等等。例如，上述过程的逆过程包括：由三角函数值判断角所在的象限；由给出的角（特殊值）求其终边与单位圆的交点，等等。随着进一步学习，学生的任意角三角函数概念还要不断发展，例如角α与-α，2π-α，π-α，π+α等的三角函数值的关系，此时，学生计算一个角β的三角函数值的方法途径（过程）更多，这样学生就形成许多新的“过程”，因而在处理有关问题时就更灵活。因此，要使学生形成良好的任意角三角函数概念，就要重视对“过程”的教学和反思。
三、数学史的启发
数学史反映了人类探索数学规律的自然发展过程，这个过程对教学设计中如何预设学生的认知发展顺序，以及预测学生可能的学习困难都很有启发。以本设计为例。陈振宣先生在2008年第10期《中小学数学》（高中版）上撰文“三角函数定义的比较研究”，提出原来教材中采用的定义方式其实是欧拉于1748年提出的，现教材中定义的方式是上述方法与单位圆相结合后的产物，所以从认知的角度讲，可能前面的方法更容易让学生接受，当然单位圆的方法有更多优点，特别是在后面的学习中，它的作用会愈发突出。因此，在采用单位圆定义之前，可以先用坐标系的方法作为铺垫，这在白涛老师关于“任意角三角函数”的教学设计中已有体现。
四、对新的教学设计的建议
综上，作为任意角三角函数的第一节课，我认为中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系（过程的），并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义（对象的）。因为大量有关三角函数的运算还要依赖后面的知识才能完成。以上述理论为基础，对任意角三角函数概念的教学设计，可以在原设计方案基础上，当学生组织起锐角三角函数的概念，例如计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突—“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0~2π范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）——不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。
通过观课及课后的研讨，我的另一点体会是，教学设计既要重视“承上”，即与学生原有认知结构的联系，也要重视“启下”，即从后续知识发展的角度审视教学安排。有关的例子，锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。另一个是，我想到的，本章第一节“任意角和弧度制”，应该完成用弧度制表示一个角α及其终边相同的角的集合如何表示，会对本节课“任意角的三角函数” 概念的教学更有意义。