初中数学中的基本数学思想方法.doc

初中数学中的基本数学思想方法
初中数学中的基本数学思想方法
学习主题
具体要求
典型例题
数学思想

（1）用字母表示数
会用字母表示数，进行式的运算和讨论一些数学问题。如会列方程解应用题，会用换元法，利用整体思想达到化简解题过程或解决问题的目的等。用字母表示数的思想是数学转化思想的具体体现。
1． 一件工作，甲做a天能完成，乙做b天能完成，现在甲先做了c天（c﹤a），余下的工作由乙继续完成，乙需做几天可以完成全部工作？
2．已知x=求的值。
（2）数形结合法
能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。
能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。
1、已知二次函数的图象如图所示，则

0
2、如果关于x的方程
有且只有一个大于1的实数根，求m的取值范围。
3．二次函数如图（1）试确定c的符号及a、b、的符号
（2）试确定a+b+c、a-b+c的
符号
（3）函数思想
函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。

1．把一块边长为20cm的正方形铁皮，四角各截去边长为xcm的小正方形，再将它折成一个无盖盒子。求这个盒子的容积V关于自变量x的函数解析式，并说明x的取值范围。
2．如图在RtΔABC∠BAC=90º,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达B、C），过D作∠ADE= 45º，DE交AC于E。设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围。问当ΔADE为等腰三角形时，求AE的长。

（4）方程思想
学会分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系.
学会通过适当设元,列出方程或方程组,从而解决问题的一种思维方式.
1. 牧场的青草,每天都生长一样快,牧场的全部青草可以供给10头牛吃20天,供给15头牛吃10天,那么供给25头牛可以吃几天?
2. 四边形ABCD对角线相交于O点,且△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积分别为5、9、10、6,求△OAB、△OBC、△OCD及△ODA的面积.

A

B O D
C
（5）分类讨论思想
当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。
分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。

1．解关于x的方程

2．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0。
（1） 求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2） 若等腰△ABC的一边长a=1,另两边长b, c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。
3．已知AB为⊙O的直径，D为直径AB上一动点（D不与点A, B重合），过D作CD⊥AB交⊙O于C，过C作⊙O的切线PC，交⊙O的切线AM于P，连PB交CD于E。
（1） 请根据D点的不同位置画出符合题意的图形；
（2） 猜想CE与DE的数量关系，并就D点的某一位置证明你的结论；
（3） 如果⊙O的半径为1，设点D与圆心O的距离为m，试求PC的长（可用m的代数式表示）。
（6）化归思想
化归思想方法是处理数学问题的指导思想和一种基本策略。化归思想就是把未知问题化归为已知问题。把复杂问题化归为简单问题，把非常规问题化归为常规问题。从而使很多问题得到解决的思想。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：1、化繁为简；2、化高维为低维；3、化抽象为具体；4、化非规范性问题为规范性问题；5、化数为形；6、化实际问题为数学问题；7、化综合为单一；8、化一般为特殊

1．解方程：
2．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半袖上的两点，点A在点B的左侧，如图。二次函数的图象经过点A、B，与y轴相交于点C。
(1)a、c的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
(3)在(2)的条件下，如果b=－4，AB=求a、c的值。

（7）数学模型思想
所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：
数学抽象
数学模型
实际问题

数学抽象
演算 推理

数学模型的解
实际问题的解

演
y
设计一条隧道，要使高4米，宽4米的巨型载重车辆能单向通过，隧道上的纵断面是如图抛物线状的拱，拱宽是高的4倍，求拱宽可以取得的最小整数值。（单位：米；≈2.236）

O
C

F
x

x

B
E
D
A

B

（8）分解组合思想
能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、拼补等手段，将问题转化为符合公式、定理所要求的形式，并运用公式、定理来加以解决。
1、因式分解：
；
2、将两块三角板如图放置，其中
求重叠部分的面积。

（9）图形运动思想
初中图形运动包含平移、翻折和旋转，能通过实验、操作、观察和想象掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。
把一张边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使B落在AD上（不和A、B重合），MN为折痕，设＝a。求：（1）折起部分面积；（2）折痕MN的长。（用a的代数式表示）
数学方法

（1）待定系数法常用解题方法和技巧

（1）待定系数法
熟练掌握待定系数法的基本思想和步骤，会求解一些需要确定系数的问题，尤其是确定函数解析式，或者会利用系数证明一些问题。

1．已知二次函数的图像顶点坐标为（2，5）它在y轴上的截距是－7，求这个二次函数。
2．已知抛物线y=－(a+b)x＋,a、b、c分别是⊿ABC中∠A、∠B、∠C的对边。
(1)求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
(2)设抛物线与x轴的两个交点为P、Q，顶点为R，∠PQR=α，tgα= ，⊿ABC的周长为10，求抛物线的解析式；
(3)设直线y=ax－bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，⊿MNE与⊿MNF的面积之比为5：1，试判断⊿ABC的形状，并证明你的结论。
（2）配方法
学会通过凑、配等手段得到完全平方、完全立方等形式，再利用完全平方项是非负数等性质，达到增加题目的条件等目的。主要用在多元代数式求值，无理式的证明和化简以及求解方程。
1． 若实数x、y、z满足

求x、y、z的值。
2、已知关于x的方程

有实根。求a、b的值。
（3）换元法
会用新的未知数去替换原条件中的旧未知数或数字或代数式，使较为复杂的多项式结构简化，以达到简化解题过程的目的，是体现数学转化思想的具体体现。

(4)判别式法
会用判别式去处理一元二次方程、二次函数、二次三项式等方面问题
把二次三项式、一元二次方程、分式方程、无理方程、二次函数求最值等问题，利用一元二次方程的判别式来进行求解。

1．不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）（2）（3）
2．2．已知：二次函数，其中m为实数。
(1)求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点
A、B，且的倒数和为，求这个二次函数的解析式。

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