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直线的的方程、两条直线的位置关系 54----54
高三数学第一轮总复习讲义 讲义31 直线的的方程、两条直线的位置关系
一、基本知识体系：
1、 直线的倾斜角、斜率、方向向量：
① 求直线斜率的方法：（1）、定义法：k= tana (a≠)；②斜率公式：k= (x1≠x2）；当x1=x2时，斜率不存在。③直线的方向向量：直线L的方向向量为=（a,b),则该直线的斜率为k=
2、 直线方程的五种形式：
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围

点斜式

y-y1=k(x-x1)
(x1,y1)为直线上的一个定点，且k存在

不垂直于x轴的直线

斜截式

y= kx+b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距

不垂直于x轴的直线

两点式
=
(x1≠x2,y1≠y2

(x1,y1)、 (x2,y2)为直线上的两个定点，

不垂直于x轴和y轴的直线

截距式
+ =1
(a,b≠0)
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线

一般式

Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
斜率为，在x轴上的截距为，在y轴上的截距为

任何位置的直线
3、 判断两条直线的位置关系的条件：

斜载式：y=k1x+b1
y=k2x+b2
一般式：A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂直
k1·k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1=k2且b1≠b2
A1B2-A2B1=0且 A1C2-A2C1≠0
重合
k1=k2且b1=b2
A1B2-A2B1= A1C2-A2C1= B1C2-B2C1≠0=0
4、 直线L1到直线L2的角的公式：tanq = (k1k2≠-1)
直线L1与直线L2的夹角公式：tanq = | | (k1k2≠-1)
5、点到直线的距离：点P（x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=
6、两条平行的直线之间的距离：两条平行线Ax+By+C1=0 和Ax+By+C2=0之间的距离d=
7、直线系方程：①、过定点P（x0,y0)的直线系方程：y-y0=k(x-x0)；②、平行的直线系方程：y=kx+b；③、过两直线A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+l（A2x+B2y+C2）=0
8、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称：
二、典例剖析：
★【例题1】、设函数¦（x）=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程为x=,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（B ）
A B C D
★【例题2】已知集合A={（x,y)|x=cosq且y=sinq,q∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A∩B有两个元素，则k的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[,0)
★【例题3】已知直线过点P（-1，2）,且与以点A（-2，-3）、B（3，0）为端点线段相交，则直线L的斜率的取值范围是__ (k≥5,或k≤)
三、巩固练习：
★【题1】已知两条直线和互相垂直，则等于
（A）2　　　　（B）1　　　　（C）0　　　　（D）
▲解：两条直线和互相垂直，则，∴ a=－1，选D.
★【题2】已知过点和的直线与直线平行，则的值为 ( )
A B C D
▲解： (m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8, 选(B)
★【题3】 “”是“直线相互垂直”的（ B ）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
▲【详解】当时两直线斜率乘积为，从而可得两直线垂直；当时两直线一条斜率为0，一条
斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.
●注意：对于两条直线垂直的充要条件①都存在时；②中有一个不存在另一个为零；
对于②这种情况多数考生容易忽略.
★【题4】 若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0 ,b）(ab0)共线，则, 的值等于1/2
★【题5】已知两条直线若，则____.
▲解：已知两条直线若，，则2.
★【题6】已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ．
▲ 解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：；
★【题7】过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
★【题8】直线与圆没有公共点，则的取值范围是
A．　 B．　 C． D．
▲解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。
★【题9】． 若圆上至少有三个不同的点到直线的
距离为,则直线的倾斜角的取值范围是：A． B． C． D．
▲解：圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，
∴ ，∴ ，∴ ，，∴ ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.

★【题10】7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A．36 　　　 B. 18 　　　　 C. 　　　 D.
▲．解：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.
★【题11】设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，则a 的值为( )
A．± B．±2 B．±2 D．±4
▲解；直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B．
★【题12】如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，
l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
则△ABC的边长是(D):（A） （B） （C） （D）
★【题13】如图，三定点A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1); 三动点D，E，M满足=t， = t ， =t ， t∈[0，1]． (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程．
．▲解： 如图， (Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由=t， = t ， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)． ∴ 同理 ．
∴kDE = = = 1－2t． ∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)． ∴ ， ∴y= ， 即x2=4y． ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．
即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
※★【题14】已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切； （B）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切；其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
▲解：圆心坐标为（－cosq，sinq）d＝;故选（B）（D）
O
(A)
B
C
D
x
y
图5
※★【题15】在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．
▲解：（Ⅰ）( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程，
( ii ) 当时，设A点落在线段上的点， ，则直线的斜率，∵∴，∴ ，∴；又∵折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）；为，
∴折痕所在的直线方程，即，由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：
（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
由（Ⅰ）知，，∵，∴，设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为，
( i ) 当时，此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ；( ii )当时，
设，，时，l与线段AB相交，此时，
时，l与线段BC相交，此时，时，l与线段AD相交，此时，
时，l与线段DC相交，此时，∴将k所在的分为３个子区间：
①当时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交， 折痕的长，∴，②当时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，
令，即，即，即 ，
∵，∴解得；令， 解得 ，
故当时，是减函数，当时，是增函数，
∵，，∴，∴当时，，，∴当时， ，③当时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，折痕的长， ∴，即，
综上所述得，当时，折痕的长有最大值，为．
高三数学第一轮总复习讲义 讲义32 简单的线性规划
一、 基本知识体系：
1、 二元一次不等式（组）Ax+By+C>0所表示的平面区域：
2、 简单的线性规划问题的处理方法：

二、 典例剖析：
★【题1】、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )
(A) (B)4 (C) (D)2
▲解析：由题知可行域为， ，故选择B。
★【题2】、已知平面区域D由以为顶点的三角形内部以及边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则 (C )
A．－2 B．－1 C．1 D．4
▲解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－，结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C
★【题3】、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是
A. B. C. D.
●解：由交点为，当时可行域是四边形OABC，此时，；当时可行域是△OA此时，；故选D.
★【题4】、设集合，，，
（1）的取值范围是 ；（2）若，且的最大值为9，则的值是 ．
▲解：（1）（2）；
★【题5】、某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为
（A） （B） （C） （D）
▲ 解： 某厂生产甲产品每千克需用原料和原料分别为，生产乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料各千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为，选C.
★【题6】、设，式中变量满足下列条件则z的最大值为_____________。（答案：23）
★【题7】、已知实数满足，则的最大值是_________.
▲解：在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则的最大值是0.
★【题8】、已知变量满足约束条件若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。
●解：已知变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，，目标函数（其中）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+∞)。
★【题9】、已知点 P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值 等于,最大值等于____（答案：、 ）
★【题10】、 已知 则的最小值是_____________.（答案：5）
★【题11】、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 500 元.

★【题12】、15 设、满足约束条件，则使得目标函数的值最大的点是 . [答案]
★【题13】、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.
由题意知 目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.
作直线，并作平行于直线的一组直线
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且
与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点.
解方程组 得x=4，y=6；此时（万元）.
当x=4，y=6时z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
三、巩固练习：
★【题1】、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．（答案：-3/2）
★【题2】、若集合，，则中元素的个数为（　C　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
★【题3】、如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ A ）A． B． C． D．
★【题4】、已知变量满足约束条件则的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
★【题5】、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（B）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
★【题6】、设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是 ．
★【题7】、已知实数满足则的取值范围是________．（答案： ）
★【题8】、设为实数，若，则的取值范围是 ． （解：）
★【题9】、在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
高三数学第一轮总复习讲义 讲义38 曲线与方程
一、 基本知识体系：
1、 曲线的方程和方程的曲线：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程¦(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2、 求曲线的方程的一般步骤：建系，设点Þ转化条件，列出方程Þ化方程¦(x,y)=0为最简形式Þ证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
3、 两条曲线的交点：两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，求曲线的交点的问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题。
4、 求轨迹方程的常用方法：
① 直接法：直接写出题目中的等量关系，从而化出所求的轨迹方程；这是最常用的一种求法。
② 定义法：运用解析几何中一些常用的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
③ 相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q（x′,y′)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求出，则可先将x′,y′表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，这种利用相关动点和所求动点的关系求出轨迹方程的方法叫做相关点法，也叫做代入法。
④ 参数法：有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然后从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
⑤ 交轨法：求两动曲线的交点的轨迹方程时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此方法。也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程，故交轨法也属于参数法。
二、 典例剖析：
★【题1】、如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
●[解析]：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，
因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）
则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即
综上所述，所求轨迹方程为：（或）
★【题2】、已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为( )
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
●解：设，，，；则
由，则，化简整理得 所以选B
★【题3】、如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.
●解：（I）（II）直线直线,由题意得：即由知 所以即所以动点P的轨迹方程为
（III）①、当直线与轴垂直时,由对称性显然可知：的中点坐标都为,所以的重心坐标都为,即它们的重心重合.
②、当直线与轴不垂直时,设直线的方程为由,得∵由直线与曲线C有两个不同交点,可知,且设的坐标分别为则 设的坐标分别为由从而所以所以于是的重心与的重心也重合.
★【题4】、已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P的轨
迹为 W；（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求·的最小值.
解：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长
又半焦距 c=2，故虚半轴长；所以 W 的方程为,；
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为, ；①、当 AB⊥x轴时,从而从而②、当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故 所以 .又因为,所以,从而综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2.
三、巩固练习：
★【题1】、直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__
解答：设点P的坐标是(x,y)，则由知
★【题2】、．以下几个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为
【解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a,且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，由,得P为弦AB的中点,故②错，
设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，
的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.
★【题3】设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（D）
A. B.
C. D.
★【题4】如图, 直线L1和L2相交于点M，L1^L2, 点N ÎL1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若DAMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
（供选择用）★【题5】、平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交
于点 C，则动 点 C 的轨迹是 （ A ）
（A） 一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支
★【题】、在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。
解：椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－ ；设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= － ,得切线AB的方程为: y=－ (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: + =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号.故||的最小值为3.
高三数学第一轮总复习讲义 讲义33 圆的的方程、直线与圆的位置关系
一、 基本知识体系：
1、 圆的定义、标准方程、（x-a)2+(y-b)2= r2；参数方程：
2、 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0Þ配方则有圆心（，），半径为；反映了其代数特征：①x2+y2系数相同且均为1，②不含x·y项
3、 点与圆的位置关系：
4、 直线与圆的位置关系：①过圆x2+y2= r2上的一点P（x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆（x-a)2+(y-b)2= r2；上的一点P（x0,y0)的切线方程为：（x-a)·（x0-a)+(y-b)·(y0-b)= r2；②弦长公式：|AB|=Þ注意：直线与圆的问题中，有关相交弦长划相切的计算中，一般不用弦长公式，多采用几何法，即|AB|=2
5、 圆与圆的位置关系：
二、 典例剖析：
★【题1】、如果直线L将圆:x2+y2-2x-4y=0平分且不通过第四象限,则直线L的斜率的取值范围是( A )
A [0,2] B [0,1] C [0, ] D [0, )
★【题2】、若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点,则k的取值范围是____-1≤k<1或k=
★【题3】、已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于点P、Q，且·=0 (O为坐标原点)，求出该圆的方程。（（x+)2+(y-3)2= （）2
★【题7】、若圆x2+(y-1)2= 1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+c≥0恒成立，则c的取值范围是_____
解：(c≥-1)
★【题9】、已知点A（3cosa，3sina),B(2cosb,2sinb),则|AB|的最大值是___(5)
★【题10】、已知一个圆C：x2+y2+4x-12y+39=0；直线L：3x-4y+5=0，则圆C关于直线L的对称的圆的方程为_____(（x-4)2+(y+2)2= 1)
三、巩固练习：
★【题1】、过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：过坐标原点的直线为，与圆相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径，则，解得，∴ 切线方程为，选A.
★【题2】、以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为( C )
（A） 　（B）
（C） 　（D）
解：r＝＝3，故选C
★【题3】、已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于( C ） A （B） （C） （D）
解：设P点的坐标为(x，y)，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选C.
★【题4】、直线与圆没有公共点，则的取值范围是
A．　 B．　 C． D．
解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。
★【题5】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A．36 　　　 B. 18 　　　　 C. 　　　 D.
解：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.
★【题6】、设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
解：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B．
★【题7】、过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝
★【题8】、圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比1 : 3。
解：设圆的半径为r，则＝，＝，由得r : R＝: 3
又，可得1 : 3
★【题9】、过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
解：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以
★【题10】、若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为＿＿＿＿。
解：若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为。
★【题11】、已知直线与圆相切，则的值为 －18或8 。
解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得
，所以的值为－18或8。
★【题12】、若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
解： (0，)
高三数学第一轮总复习讲义 讲义34 椭 圆
一、基本知识体系：
1、 椭圆的定义：①第一定义：|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2)Þ注意焦点三角形的应用；
②第二定义： =e (椭圆的焦半径公式：|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0)
2、 椭圆的的方程：①焦点在x轴上的方程：（a>b>0）；②焦点在y轴上的方程： （a>b>0）； ③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0,n>0)
④、参数方程：
3、 椭圆的几何性质：

标准方程
（a>b>0）
（a>b>0）

简图

中心
O（0，0）
O（0，0）
顶点
（±a,0) (0,±b)
(0,±a) （±b,0)
焦点
(±c,0)
(0,±c)
离心率
e= (0<e<1)
e= (0<e<1)
对称轴
x=0,y=0
x=0,y=0
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-a≤y≤a,-b≤x≤b
准线方程
x=±
y=±
焦半径
a±ex0
a±ey0
4、 几个概念： ①焦准距：; ②通径：; ③点与椭圆的位置关系： ④焦点三角形的面积：b2tan (其中∠F1PF2=q)； ⑤弦长公式：|AB|=；
⑥椭圆在点P（x0，y0)处的切线方程：;
5、 直线与椭圆的位置关系：凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。
6、 椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题：
①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法Þ是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法Þ是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。
③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法Þ根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；第二种Þ是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。
二、典例剖析：
★【题1】、若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ B ）
A． B． C． D．
▲解: ∵，∴，∵ ，∴，∴，故选B．
★【题2】、设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）A B C D
●解：由题意可得,∵b2=a2-c2e=,得e2+2e-1=0,∵e>1,解得e=,选(D)
★【题3】、点P（-3,1）在椭圆的左准线上.过点P且方向为=(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( A )（A） （B） (C) （D）
[解析]：如图,过点P（-3，1）的方向向量=(2,-5);所以， 即;联立：， 由光线反射的对称性知：

所以，即;令y=0,得F1（-1，0）;综上所述得： c=1，;所以椭圆的离心率故选A。
★ 【题4】、如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．
解：(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA1|=,|A1F1|=a-c
由题意,得∴a=2,b=,c=1.故椭圆的方程为 (Ⅱ)设P(-4,y0),y0≠0,∴只需求tan∠F1PF2的最大值即可.设直线PF1的斜率k1=,直线PF2的斜率k2=,∵0<∠F1PF2<∠PF1M<,∴∠F1PF2为锐角.∴tan∠F1PF2=；当且仅当,即|y0|=时,tan∠F1PF2取到最大值此时∠F1PF2最大,∴∠F1PF2的最大值为arctan.
三、巩固练习：
★9．(2007年湖南理科)设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
★【题1】、已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ C ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
★【题2】、椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是（D ）
（A）　（B） （C）　　（D）
解：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
★【题3】、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ B ） (A) (B) (C) (D)
解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B
★【题4】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的
标准方程是 ；
解：已知为所求；
★【题5】、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点
作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则
________________;
★【题6】、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3；
在Rt△PF1F2中故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1；(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）；已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）；从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称； 所以
解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0.显然，所求直线方程符合题意。
★【题7】在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解:(1) 设圆C 的圆心为 (m，n) 则 解得
所求的圆的方程为； (2) 由已知可得 ； ； 椭圆的方程为 ；右焦点为 F( 4，0) ； 假设存在Q（x,y)，则有且（x-4)2+y2=16，解之可得y=3x，从而有点（, )存在。
★【题9】设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则　　　　．答案为：2

★【题10】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆