高中数学复习专题—特殊数列求和及求通项.doc

高中数学复习专题
—特殊数列求和及求通项
一、考点自练：
1．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝__________．
3．设，nÎN*，则数列{bn}的通项公式= ．
4．数列{an}满足a1＝1，且，则数列的前10项和为 ．
二、典例剖析：
例1 正项数列{an}的前项和Sn满足：．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令，数列{bn}的前项和为．证明：对于任意的，都有．

例2 已知等差数列{an}中，，前项和为且满足条件：（）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的前项和为，且有（），．
证明：数列是等比数列；又，求数列{cn}的前n项和Wn．

例3　已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1＝2，
b3＝6＋b2．
（1）求an与bn．
（2）设cn＝－（n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn．
（i）求Sn；　　（ii）求正整数k，使得对任意n∈均有Sk≥Sn．

例4 已知数列{an}满足，，，是数列{an}的前n项和．
（1）若数列{an}为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项；
（ⅱ）若数列{bn}满足，数列{cn}满足，试比较数列{bn} 前项和Bn与{cn}前项和Cn的大小；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

数列作业
1．已知数列{an}中，an＋1＝且a7＝，则a5＝__________．　
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n（n∈N*），则a10＝__________．
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于____________．
4．函数，若数列{an}满足，则a2013+ a2014=_____．
5．已知数列{an}：满足a1＝1，an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N*)，若an＝100，则n＝_________．
6．设数列{an}的前项和为，且，为等差数列，则____．
7．数列{an}满足，并且，则数列{an}的第100项为 ．
8．数列{an}满足，则的前60项和为 ．
9．已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前项和，且a1＝e4，Sn＝eSn+1－e5，an＝（n∈N*）．
则当Tn取得最大值时，n的值为____________．
10．已知数列{an}的通项公式为，记为此数列的前n和，若对任意正整数n，恒成立，则实数的取值范围是 ．
11．数列{an}中,,,且，则的通项公式为 ．
12．设为数列{an}的前n项和,（n∈N*），则（1）_____；
（2）___________．
13．已知数列{an}的首项为，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t使m，s，t成等差数列，且成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．

14．已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.
（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.

15．已知数列{an}中，．
（1）是否存在实数l，使数列{a2n－l}是等比数列？若存在，求l的值；若不存在，请说明理由；
（2）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n．
高中数学复习专题（教师版）
—特殊数列求和及求通项
一、考点自练：
1．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________．
解：由a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，得a2＝－，a3＝，a4＝0，…，
由此可知：数列{an}是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20＝a2＝－．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝__________．n－1　
3．设，nÎN*，则数列{bn}的通项公式= ．2n+1
解：由条件得＝2bn，且b1＝4所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n+1．
4．（2015年江苏高考11）数列{an}满足a1＝1，且，则数列的前10项和为 ．
解：由题意得：
所以，，．
二、典例剖析：
例1 正项数列{an}的前项和Sn满足：．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令,数列{bn}的前项和为．证明：对于任意的，都有．
（1）解：由，得．
由于{an}是正项数列,所以．
于是，时，．
综上，数列{an}的通项．
（2）证明：由于．
则．

　 ．
例2 已知等差数列{an}中，，前项和为且满足条件：（）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的前项和为，且有（），．
证明：数列是等比数列；又，求数列{cn}的前n项和Wn．
解：（1）∵（），∴当n＝1时，，即．
又，∴a2＝2．∴d＝a2－a1＝1，∴an＝a1+(n－1)d＝n．
∴数列{an}的通项公式为an＝n．
（2）由可得Tn+1－bn+1＝Tn+bn，
∴Tn+1－Tn＝2bn －1，∴bn+1＝2bn －1，即bn+1－1＝2(bn－1)，
∴是等比数列且b1－1＝2，公比q＝2，
∴bn－1＝(b1－1)×qn－1＝2×2n－1＝2n．∴bn＝2n+1．
∴cn＝．
∴Wn＝c1+c2+…+cn＝3×+5×()2+7×()3+…+(2n+1)×()n
利用错位相减法，可以求得Wn＝5－．
例3（2014·浙江卷）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2．
（1）求an与bn；
（2）设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn．
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈均有Sk≥Sn．
解：（1）由题意a1a2a3…an＝，b3－b2＝6，知a3＝＝8．
又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)．
所以，a1a2a3…an＝＝()n(n＋1)
故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1) (n∈N*)．
（2）（i）由（1）知cn＝－＝－(n∈N*)．
所以Sn＝－（n∈N*）．
（ii）因为c1＝0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，
当n≥5时，cn＝，
而－＝＞0，
得≤＜1，
所以，当n≥5时，cn＜0．
综上，若对任意n∈N*恒有Sk≥Sn，则k＝4．

例4 已知数列{an}满足，，，是数列{an}的前n项和．
（1）若数列{an}为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项；
（ⅱ）若数列{bn}满足，数列{cn}满足，试比较数列{bn} 前项和Bn与{cn}前项和Cn的大小；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）（ⅰ）因为，所以，
即，又，所以，
又因为数列成等差数列，所以，即，解得，
所以；
（ⅱ）∵an＝2n－1（），∴＞0，其前n项和Bn＞0，
又∵＝(16t2－4t－1)bn，
∴其前n项和Cn＝(16t2－4t－1)Bn，∴Cn－Bn＝2(8t2－2t－1)Bn ，
当t＜－或t＞时，Cn＞Bn；
当t＝－或t＝时，Cn＝Bn；
当t－＜t＜时，Cn＜Bn．
（2）由知，
两式作差得，an+2+an+1+an＝6n+3，
∴an+3+an+2+an+1＝6(n+1)+3，
再两式作差得，an+3－an＝6．
∴当n＝1时，an＝a1＝x；
当n＝3k－1时，an＝a3k－1＝a2+(k－1)´6＝3x+6k－6＝2n+3x－4；
当n＝3k时，an＝a3k＝a3+(k－1)´6＝14－9x+6k－6＝2n－9x+8；
当n＝3k+1时，an＝a3k+1＝a4+(k－1)´6＝1+6x+6k－6＝2n+6x－7．
∵对任意nÎN*，an＜an+1恒成立，∴a1＜a2且a3k－1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2．
∴，解得．
故实数x的取值范围为(，)．

数列作业（教师版）
1．已知数列{an}中，an＋1＝且a7＝，则a5＝__________．　
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n（n∈N*），则a10＝__________．32
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于____________．(－1)n＋1
4．函数，若数列{an}满足，则a2013+ a2014=_____．
．提示：周期为3．
5．已知数列{an}：满足a1＝1，an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N*)，若an＝100，则n＝_________．
解：n≥2时，an＝a1＋a2＋…＋an－1，①
an＋1＝a1＋a2＋…＋an，②
②－①得：an＋1－an＝an，∴＝（n≥2），
由累积法知：an＝n（n≥2），
又a1＝1，∴{an}的通项公式为an＝n（n∈N*）．∵an＝100，∴n＝100.[来
6．设数列{an}的前项和为，且，为等差数列，则____．
解： 设，有，，则，即，
当时，．
所以，即，
所以是以为公比，1为首项的等比数列，所以，．
7．数列{an}满足，并且，则数列{an}的第100项为 ．
8．数列{an}满足，则的前60项和为 ．1830
解：由得，
，
即，也有，
两式相加得，设为整数，
则，
于是．
9．已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前项和，且a1＝e4，Sn＝eSn+1－e5，an＝（n∈N*）．
则当Tn取得最大值时，n的值为____________．4或5
10．已知数列{an}的通项公式为，记为此数列的前n和，若对任意正整数n，恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：由数列的通项公式，利用错位相减法
，两式相减得，
，代入，整理得，，
时，，
11．数列{an}中,,,且，则的通项公式为 ．
解： 时，，∴,∴为常数列．
∴，所以． 又也满足上式，
∴的通项公式为（或者用迭乘法）．
12．设为数列{an}的前n项和, （n∈N*），则（1）_____；
（2）___________．；
解：，即，即，
解得．当是偶数且时，．
又，所以．因此，
所以，即偶数项的和为零，所以
．

13．已知数列{an}的首项为，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t使m，s，t成等差数列，且成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．
解：（1） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，即，．
假设存在互不相等的正整数满足条件，
则有,所以
化简得，即，
因为，所以得.
但是，当且仅当时等号成立，
这与互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数满足题给的条件．

14．已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
解：（1）设的公差为，
则
解得，所以
所以 …… ①
当
……②
①②两式相除得
因为当适合上式，所以
（2）由已知，
得
则

当为偶数时，

当为奇数时，

综上：
15．已知数列{an}中，．
（1）是否存在实数l，使数列{a2n－l}是等比数列？若存在，求l的值；若不存在，请说明理由；
（2）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n．
解：（1）设，因为
．
若数列是等比数列，则必须有（常数），
即，即，
此时，
所以存在实数，使数列是等比数列
（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，
由，得，
所以，

，
显然当nÎN*时，单调递减，
又当n＝1时，，当n＝2时，，
所以当时，S2n＜0；，
同理，当且仅当n＝1时，S2n－1＞0．
综上，满足Sn＞0的所有正整数n为1和2．