初中数学题及符号集合(附详细解答).doc

符号：·√ A′ x2 90°%∥π⊥≌∽△∠＜＞∵∴＋－×==＞→⊙
1、怎么用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线？
过此点用圆规画弧，与直线形成两个交点，分别过两点再以相同长度画弧，交点与原点相连就是已知直线的垂线。
可以用三角形全等来证明。
2、 已知两条等宽的纸条倾斜相交（注意不垂直）
求证：四边形ABCD是菱形
证明：很容易证明是平行四边形。两种思路：
① 由两平行线距离相等， 且由平行四边形面积公式可得，这平行四边形底也相等，所以邻边相等
② 由两平行线距离相等推出三角形全等，得邻边相等。
3、 如图,已知各点坐标:A1(1，0) ，A2(1，1) ，A3(-1，1) ，A4(-1，-1) ，A5(2，-1) ，A6(2，2) ，A7(-2，2) ，A8(-2，-2) ，A9(3，2)……求A2007的坐标.
解:(周期性)由A1+4×2 A1(1，0)

(+2，+2) A1=4×501+3
A9(3，2) A2005
∴A2005(502,-501) A2006(502,502) A2007(-502,502)
4、 △ABC的中线为BD，过B作BE∥AC，过A作AE∥BD，AE与BE相交于E，连结CE交BD于点O
问：BD与CE是何关系？请给出证明。

BD与CE相互平分
证明：连结ED
由EBAD=CD得四边形EBCD是平行四边形
∴平行四边形对角线相互平分

5、 如图所示，在△ABC中，M是BC中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN。若AB=14,AC=24,求MN的长。

解：延长BN到D，则ΔABN≌ΔADN(ASA) ∴N为BD中点
∴NM为ΔBCD的中位线 ∴NM=DC=（24-14）=5

6、矩形内有一点P到各边的距离分别为1,3,5,7，则该矩形的最大面积为 64 平方单位。
解：面积（长×宽）当长和宽越接近时越大。所以长=宽=8时面积最大。∴面积为8×8=64
7、三角形三边长为，5，2，求最大边上的高为
设x，由21- x2＝22－(5- x2) ==＞x=4.2 ∴h=
8、如图所示，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G。BG=4，则△CEF的周长为（8）

首先AG2= 62－（4）2==＞AG=2
由△ABG≌△EBG得EG=AG=2 且BE=BA
由∠F=∠BAF=∠DAF得DF=AD=9 ∴FC=9－6=3
由平行线分线段成比例得FE:AE=FC:CD得FE=2
由EC=9－6=3
∴△CEF的周长为3+2+3=8
9、平行四边形是（中心）对称图形。
10、把两个全等三角形按各种方式拼成四边形，则这些四边形中平行四边形有（3）个。
11、把三边长为4、5、6的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 6 种不同的四边形，其中有3 个平行四边形。
12、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（3）个。
13、以不在一条直线上的三个已知点A、B、C为顶点作平行四边形，这样的平行四边形可作 3 个。
14、平行四边形两邻边上的高是2和3，高的夹角是，则周长是（20）

解：显然∠BAF=，∴设BF=x，则AB=2x
由－=12 ==＞x=2 ∴AB=4
同理得BC=6
∴平行四边形的周长为(4+6)×2=20

15、如图所示：矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板，则矩形ABCD的周长为（ 8 ）

解：过G作GH⊥AE于H，则图中分成四个相似的直角三角形
由GH=4，AH=2得AG2= AH2＋HG2得AG=2
∴由相似比2：2=2：GD==＞GD=
由相似比2：4=4：AB==＞AB=
∴矩形ABCD的周长为(2++)×2=8

16、如图所示，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，问：①当两张纸条垂直时，菱形的周长为最小，为什么？那么最小值为多少？②什么时间菱形的周长最大？最大值是多少？

解：显然在打斜时菱形的边长变长此时AE=2,显然AE<AD(直角三角形斜边最长),，∴最小周长为2×4=8
最大：如图，当两矩形有一条对角线重合时周长最大（再移动就不是菱形了），这时菱形的一条边等于=4，∴最大周长为4×4=16
17、矩形ABCD中，AE⊥BD，若BE：ED=1：3，对角线交点O到AD的距离为4，则∠EAB=，BD= 16

解：如图所示，由BE：ED=1：3及矩形性质，得BE=OE=BO=AO ∴∠EAC=∠EAB=∠OAD=
∴AO=2×4=8 EO=AO=4 ∴BD=4EO=4×4=16

19、菱形ABCD的对角线长分别为a,b。以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含a、b的代数式表示为( ab/)。为什么？
解：S矩形A1B1C1D1=S菱形ABCD=×(ab)=ab/
S菱形A2B2C2D2=S矩形A1B1C1D1=ab/
……
∴S四边形A2009B2009C2009D2009=ab/
20、矩形中各内角平分线所组成的四边形是( )，为什么？
解：是正方形。证明如下：

证明：由上角的关系得四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形)
由∠HBC=∠HCB=得BH=CH 由△ABE≌△DCG得BE=CG
∴EH=GH
∴矩形EFGH也是一个正方形

22、如图所示，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是AC上一动点（P与A、O、C不重合），过点P作PF⊥CD于F。PE⊥PB
(1)求证：DF=EF
(2)写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明。

(1)证明：连结PD，再过点P作PG⊥BC交BC于G（利用那个条件搭桥转化）
由△BPA≌△DPA（SAS）得BP=DP
由∠BPE-∠GPE=∠FPG-∠GPE得△BGP≌∠EFP（ASA）得BP=EP
∴PD=PE
又PF⊥ED ∴DF=EF
- 21 -
(2)由正方形斜边与边的关系易得：
PC=CF=(CE＋FE)= (CE＋FE)= (CE＋DF) ①
PA=DF ②
①－②得PC－PA=CE
(或：PC=CE＋PA)
23、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为（ 7 ）

解：由该辅助线得得△BDE为等腰直角△，∴高也是中线 ∴高DF=BE=(BC+CE)=7

24、在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ），为什么？
A)3:5:6:4 B)3:4:5:6 C)4:5:6:3 D)6:5:4:3
解：由∠A+∠B=∠C+∠D，选C
25、求证：连接菱形的各边中点得到的是矩形，并且矩形的面积等于这个菱形的一半。
证明：如图所示：

(1) 显然由EGBD，FHBD ==＞EG FH 得到平行四边形
证法一：连结FG，则由ABFG是平行四边形得FG=AB，同理EH=AD
∴FG=EH=AB ∴平行四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
证法二：(从角的角度考虑)由菱形得∠1＋∠2= ∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3＋∠4=－∠1① ∠5＋∠6=－∠2②
①＋②: ∠3＋∠4＋∠5＋∠6=－(∠1＋∠2)
=－
=
∴∠4＋∠5== ∴∠EFH=
(或∠4=，∠5=，∠4+∠5=)==
∴∠EFH=
∴平行四边形EFGH是矩形
(2) 连结FG则由S△EFG=SABFG（等底等高）同理……
∴矩形的面积等于这个菱形的一半。证完.
26、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD=，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 S2=S1+S3 。为什么？

解：过B作BE∥AD 则有∠EBC=
∴=＋且AB=DE=EC 即S2=S1+S3

27、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=5，那么腰CD的取值范围是（2＜CD＜6），为什么？
解：由第29题得同样做法得答案。
28、等腰梯形的中位线长30，一个底角是，且一条对角线平分这个角，则这个等腰梯形的周长为（ 100 ），为什么？
解：如图（把各个角度算出来之后，用方程解）
由(x＋2x)=30得x=20
∴周长：(x+x+x+2x)=20×5=100

29、能否画出以10cm、15cm为底，12cm、6cm为腰的梯形？若能，请画出。若不能，为什么不能？
解：由该辅助线得不能形成三角形，∴不能

30、若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为（4或），为什么？
解：①第一种：∠DOC=

由平行得∠BDE= △BDE为等腰△
∴∠DBE=∠DEB=
tan==
∴h=
∴S梯形ABCD=（a＋b）× =
②第二种：∠AOD=

则由平行得∠BDE= 由BD=ED得△BDE为等腰△
∴∠BED=
tan==
∴h=2
∴S梯形ABCD=(a＋b)×2=4
31、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，BD平分∠ABC，则∠C=（），为什么？
解：就分析它的边就可以得出角的关系。

32、若梯形ABCD的两腰AB、CD的长分别是8和6，点E、F分别是AD、BC中点，则EF的取值范围是（ ），为什么？
解：如图：

解：作了辅助线之后得到一个平行四边形，
∴8－6＜2EF＜8＋6
即1＜EF＜7

33、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点G、F分别是对角线AC和BD的中点。
求证：①FG∥BC
②FG＝(BC－AD)

很容易！（利用“中点”）构造全等三角形，很容易转化。连结AF并延长交BC于E
34、梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC=CD，点E是AB的中点，则∠CED=（ ），为什么？

解：如图，考虑到中点，过点E作EF∥BC
则由E为中点得EF为梯形ABCD的中位线，
EF= (AD＋BC)= CD=FD=FC
∠DEF=∠EDF, ∠CEF=∠ECF
∴∠DEF+∠CEF=∠EDF+∠ECF
∴∠DEC=×=
35、如图所示，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P。
①当AE=5，P落在线段CD上时，PD=？
②当P落在梯形内部呢，PD最小是多少？

解：①作垂直！！过点P作PH⊥AB交AB于H，则HE=3，∴AH=DP=8-3-3=2

②当点E与点B重合,且点P落在DB上时,PD最小.(如图).
PE=AE=8;DB=√(AD^2+AB^2)=4√5;
所以:PD=4√5-8.即点P落在梯形内部时,PD最小值为4√5-8.

36、如图所示，是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中，等腰梯形的上底与下底长的的比是( 1:2 )

解：从第一个平行四边形的左上方可以看出，2个上底=1个下底。
37、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AC=6。则该梯形的中位线EF=（ ），为什么？？

解：很容易，过点A作AG∥DB交BC于G。
则由直角等腰△有=+=72
∴EF=×=3

38、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=，且AE=AD。连结DE交对角线AC于H，连结BH。则①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④= 以上正确有( ①,②)，为什么？

【1】
AB=BC, ∠ABC=90°→ ∠BAC=45°，∠HAD=90°-45°=45°
又 AE=AD → AH ⊥ ED → CE=CD → △ACD ≌ △ACE
【2】
在【1】CE=CD 的基础上，
加上∠CED = 180°- ∠CE -∠AED = 60°
→△CDE为等边三角形
【3】设 BC=100，可以计算出：
BE≈26.8，EH≈51.76 → 结论不成立
【4】
从【1】可知△EDC与△EHC的面积比为 2
而 HA=HD=x，CD=2x得CH=x ∴AH ：CH = 1 ：√3 → 结论不成立
39、如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC= ，且AB=12，BC=9，则△AGD面积为（ ）

解：①首先证明重心的性质：分线段比为1：2(很容易 ，利用平行线分线段成比例的性质)
延长AG交BC于E，过D作DF∥AE交BC于F
由AD：DC=EF：FC=1：1
∴DG：BG=EF：BE=1：2
②有了DG：BG=1：2的性质就好办了
S△ADG=S△ADB 而S△ADB=S△ABC ∴S△ADG=×54=9
40、如图所示，正方形ABCD中，过重心O的一条直线a绕点O旋转，得到直线b，这两条直线将正方形分成的四部分有什么关系？请证明。
解：很容易，连结AC，由△AOG≌△COH同理可推出.

41、如图所示，设点M为△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC的面积。

解：首先由S△MBD=S△CDM、S△ABD=S△ADC（等底等高）
==＞S△ABM=S△AMC，同理得到分成三个面积相等（不是全等）的三角形
∴延长AD到G使DG=DM 则有△BDG≌△CDM 由MG=1.5×2=3，BM=4，BG=MC=5
∴△BMD为RT△，∴S△ABC=×4×3×3=18
42、如图所示，在ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于M、N
求证：BM=MN=ND

证明：（关键是辅助线，中线“伸出”）延长EF分别与AB、AD延长线交于G、H
则由△GBE≌△FCE==＞GE=FE
由BM：GE=AM：AE=MN：EF得BM=MN
同理得MN=ND 完
43、下表中，若平均数为2，则x=（B），为什么？
分数
0
1
2
3
4
学生人数
x
5
6
3
2
A.0 B.1 C.2 D3
解：（0×x+1×5+2×6+3×3+4×2)÷(x+5+6+3+2)=2
34÷(2x+16)=2
解得：x≈1
44. 已知有f1个数据的平均数为x1，有f2个数据的平均数为x2，那么这f1+f2个数据的平均数x=( ) （用总量除以份数）
45、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、80分、x分。若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（100），为什么？
解：众数=90, ==> x=100
46、一组数据的方差是2，将这组数扩大到原来的3倍，则所得新数据组的方差是（18），为什么？
解：利用公式=〔+……〕
=〔(+……〕
=〔 +……〕
=×2=18
47. 一个样本M的数据是：，，…，，它的平均数是5；另一个样本N的数据是：，，…，，它的平均数是34，那么下面结果一定正确的是（A），请说明理由。
A．=9 B. =9 C. =3 D=3
解：=（＋…＋－n）
=(34n－25n)
=9
50. 一个样本的容量为80，分组后落在某一区间的频数为5，则该组数据所占百分比为（6.25%），为什么？
解：频数：出现的次数（即出现多少次）∴5/80=6.25%
51、某县抽取200名学生进行调查，画出如图所示的直方图。已知图中从左到右的4个小组所占百分比分别是4%，10%，16%，40%。则第五个小组的频数是（60），为什么？

解：第五小组的频数为：
200×(1－4%－10%－16%－40%)=200×30%=60.
【第五小组的频数即为第五组的人数(出现的次数)。】
52. 如图所示，已知正方形ABCD中，M为AB中点，BN平分∠CBE，且DM⊥NM
请用两种证法证明：DM=MN

（两种证法都是构造出全等三角形转化）
证法一：取AD中点F，连接MF 由△DFM≌△MBN（ASA）得DM=MN
证法二：过N作NG⊥BE，NH⊥BC 易得四边形NHBG为正方形；且证出四边形NHMB为平行四边形得MB=NH=BG=AM=NG ∴△DAM≌△MGN(AAS) 得DM=MN
53、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF
①四边形ADEF是什么四边形，请证明。
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。
③ 当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。

解：①由△EBD≌△CBA(SAS) ==＞DE=AC，且AF=AC 同理DA=EF∴两组对边相等的四边形是平行…
②很容易计算当∠BAC=-×2-=时∠DAF=，这时四边形就为矩形
③很容易当∠BAC=时形成不了四边形
54. 如图所示，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖总数是多少？为什么？

解:做这道题先明白一个原理(对下去)得:对角线上的小正方形块数和边上的块数相等.
接下来就好办了.一条边的小正方形块数(101-1)÷2+1=51(块)
∴一共有51×51=2601(块)
55. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。
问：PE是否过某一定点？并说明理由。

恒过对角线的中点O。连结PE和AC，设它们相交于K。只需证明K为AC的中点，与O重合即可。(通过△APK≌△CEK(AAS))

56. 如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)长为10cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点。求此蚂蚁爬行的最短距离为多少厘米？

解：
因为OE＝OF＝EF＝10（cm）
所以底面周长＝10π（cm）
将圆锥侧面沿OE剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE＝10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数为N，则根据弧长公式得：
N*π*10/180＝10π
所以N＝180°
即展开图正好是一个半圆
因为F点是展开图弧的中点
所以∠EOF＝90°
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离
在直角三角形AOE中由勾股定理得
EA^2＝OE^2＋OA^2＝100＋64＝164
所以EA＝2√41（cm）
即蚂蚁爬行的最短距离是2√41（cm）
57. 如图所示，矩形ABCD，AD=6，AB=8，P为DC上一动点(不与D、C重合)，且BQ⊥AP。设AP=x，BQ=y，求x与y的函数表达式。

解：(提示：用等面积法！(连结PB))
58. 若双曲线y=上两点：点A(4，2)、C的纵坐标为8，O为原点。求△AOC的面积。
解：先算出C(1，8)
作AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D,
S△AOC=S（OCD)+S(CDBA)-S(OAB)
=4+(8+2)*3/2-4
=15
59．已知抛物线y= －＋1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C。当点B在原点的右边，点C在原点下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
解：首先由图象分析函数只能在右边(B在原点右边)，∴m＞0
由y=0得0= －+1
∴x=±1＋m ∵xB＞xA ∴xB=1+m
由x＝0==＞yC=－+1(注意是＜0)
由等腰直角三角形有|1+m|=|－+1|
得1+m=-1
得-m-2=0 ∴m=2(存在m使△BOC为等腰三角形)
60、如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，O为对角线的交点。现过点O作OE⊥AC交AD于E。求AE的长。

解：用等面积法+勾股定理：△AOE的高是AB AO=AC=
由等面积法：·AE·AB=··OE
∴OE=
由勾股定理：= ＋
=
∴AE=
61. 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，求F到BC的距离。

解：用面积法。AF=FD=×4=2 连接BF、FC
过点B作BE⊥DC交DC于E。F到BC的距离为△BFC中BC边上的高
则S△BFC=S梯形－S△AFB－S△FDC＝×BC×高
即：(1＋4) ×4－×1×2－×4×2=×BC×高
而=＋==＞BC=5
∴ 10－1－4=×高
高=2
∴F到BC的距离为2。
62. 如图所示，二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴交于负半轴。以下结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c＝－1；④a＞1正确的是( )，为什么？

解：显然a＞0，＞0==＞b＜0，c＜0
由＜1==＞0＜2a+b 由得b=－1 ∴a+c=1 a＞1
63．（1）已知线段a=8， b=4， c=2.5， d=5，判断它们是否成比例线段？为什么？
（2）已知线段a=8， b=4， c=5， d=2.5，判断它们是否成比例线段？为什么？
解：把四条线段按从小到大或从大到小排列，之后看是否成比例。∴它们都是比例线段。
64.若与(a≥0)均有意义，则一定有(D)
A. ≤ B. ≠ C. ≥ D以上结论都不对
65. 某个图形上的各点的横、纵坐标都变成原来的1/2，连结各点所得的图形与原图形相比一定 是 (选“是”/“不是”/“无法确定”)位似图形。为什么？
解：某个图形上的点A的横、纵坐标为(m,n)，则该点对应点为A'(m/2,n/2)，
由y=kx+b 过(m,n) (0,0)得b=0 (m/2，n/2)一定过直线y=x
所以O、A'、A三点共线，且|OA|=2|OA'|.
可知新旧图形位似，【位似中心】为坐标原点O，【位似比】为1:2。
66.二次函数y= x2－2x－3在0＜x＜2这个范围有没有最大值？若有，请求该最大值；若没有则请说明原因。
解：由图象得函数在此区间上无限接近最大值－3，但始终取不到。∴没有。
若题目改为在0≤x≤2这个范围则函数有最大值－3。
67. 有一个病毒，经过两轮传染后共有169人得了病，若每轮每个病毒传染人数相同，平均每个病毒传染了多少人？
解：设平均每个病毒传染了x人
第一轮后，有x＋1个人被传染（增加了x人，原来有1人，∴x＋1）
第二轮后，有(x＋1)2个人被传染(即增加了(x＋1)x人，原来有(x＋1)人，∴(x＋1)x＋(x＋1)= (x＋1)2 )
∴(x＋1)2=169
x+1=13（负值舍去）
x=12
答：平均每个病毒传染12人。
68. 如图所示，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？

解：(1)注意是OB=OC=10
∴AB=6 ∴点B(6，8)
(2)(由相似三角形得出面积的求法)

S△HBP=·BH·PH
由△BNO∽△PHO(有两角……)
得==(注意NO=BA=6)
即==
10(10－BH)=60－30t
∴BH=4+3t PH=8－4t
∴S△HBP=(4+3t)(8－4t)
=－16 t2＋4t＋16(0≤t＜2)(不能取2)(5t=10)

69.(典型题)如图1所示，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC=2.
（1） 求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2） 在抛物线的对称轴L上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由。
（3） 如图2所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线L′∥L，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t。当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

图1 图2
解：(1) tan∠OAC==2 ∴OA=1 二次函数经过C(0，2)，A(1，0)
∴ ∴二次函数解析式：y＝ x2－3x＋2
(2)(用相似或直角三角形知识都可以解！特别是相似)设对称轴L与x轴交于E点，过点C作CD⊥L交L于D 且令∠CPD＝∠1，∠APE＝=∠2，∠PAE＝∠3（注意∠APC＝90°是已知条件）
对称轴：x＝－＝ ∴点P的坐标为(，PE)
∴EA＝－1＝ CD＝
∵∠APC＝90° ∴∠1＋∠2＝90° ∴∠1＝∠3
解一（用相似解）：∴△CDP∽△PEA（有两角……）
∴＝ 即＝ 即（2－PE）PE＝ 解得PE＝或PE＝
解二(用直角三角形解)由∠1＝∠3得tan∠1=tan∠3
即＝ 即＝ 解得PE＝或PE＝
∴点P坐标为(，)或(，)
(3)(用折分法)S△BCN＝S△CNM＋S△BMN
先求B点坐标：(2，0)（由对称轴看出）
C点坐标：(0，2)
由 得直线BC的解析式：y＝－x＋2
∴M点坐标(t，－t＋2)
S△BCN＝·MN·t＋·MN·(2－t) ＝MN
而MN＝－t＋2－(t2－3t＋2)
＝－t2＋2t
＝－(t－1)2＋1
∴当t＝1时，S△BCN的最大值为1。

70.如图所示，△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积(阴影部分)是△ABC的面积的一半，若AB=，则三角形移动的距离AA′是(A)
A－1 B C1 D

解：利用小学学过的“三角形面积之比是对应线段的比的平方”来做
设A′B=x
()2＝ ∴x=1
∴AA′=－1
71.如图所示，要建一个面积为130 m2的小仓库，仓库的一边靠墙且墙长16m，并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m墙的木板，求仓库的长(平行于墙的边长)和宽。

解：设宽为x，则长为(32＋1－2x) (注意“32m”为右图红色部分)
(32＋1－2x)x=130 (注意长：32＋1－2x≤16)
即2x2－33x＋130=0
解这个一元二次方程得=10 =6.5
由=10解得长：32＋1－2×10=13， 由=6.5解得长：33-13=20(舍去)
答：仓库的长为13m，宽为10m。
72. 如图。有一块三角形土地，它的底边BC=100m，高AH=80m，某单位要沿着BC边修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？

解：(用相似＋二次函数)矩形的长和宽分别为DG=x、DE=y
由相似三角形得==
∴AHx=100AM
即80x=100(80-y) ∴x=(80-y)
∴矩形面积S=(80-y)·y =－ y2＋100y=－( y2－80y)= －( y2－80y+1600)+2000
= －( y－40)2＋2000
当y取40时面积S取最大(2000)
∴当矩形的宽等于40m，长为50m时面积最大。
73. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，E是BA的中点，DF⊥BC，垂足为F，则∠AED=∠EFB吗？ 为什么？

证明：（凡是中点都是伸出！凑在一起）
延长DE与CB相交于G，则DE=GE，△AED≌△BEG
EF为直角三角形斜边上的中线，∴EF=EG ∴∠EFB=∠G
又∠G=∠ADG ∠ADG=∠AED（等角对等边）
∴∠AED=∠EFB
74. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF
（1）求证：AD⊥CF
（2）连接AF，试判断△ACF的形状。

证明：(1)要证明∠CGA=90°，需证明∠1＋∠2=90°
↑只需证明∠1=∠3（∠2＋∠3=90°）
只需证明△ACD≌△CBF
可计算出∠CBF＋∠ACD=180°得∠CBF=90° 由∠4=45°得∠5=45°
∴FB=DB=DC ∴△ACD≌△CBF（SAS）整理！！
（2）△ACF是等腰三角形
由△ACD≌△CBF得AD=CF
又由AB为线段DF的垂直平分线〔或△ADB≌△AFB（SAS）〕得AD=AF
由上题得AD=CF ∴CF=AF
∴△ACF是等腰三角形
75. 如图，D是△ABC的BC边上的一点，且CD=AB，∠BDA=BAD，AE是△ABD中线。
求证：AC=2AE

证明：（伸出）延长AE使FE=AE，连结FD
显然△BEA≌△DEF AF=2AE ∠EFD=∠EAB
↑需证AC=AF
需证△ADF≌ADC（SAS）
由AD=AD
FD=AB=CD
∠ADC=180°－∠BDA
∠ADF=180°－∠EAD－∠EFD=180°－(∠EAD＋∠EAB)= 180°－∠BAD=180°－∠BDA
整理！！
(难)76.如图1，在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点，且AD=CE，AM⊥BD，垂足为点M。延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F。
①试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由；
②若D、E运动到如图2所示，其它条件不变，∠EDF与∠DEF的大小关系存在吗？试说明理由；
③如图3，当D、E运动到图3所示位置，试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由。

图1 图2

图3
证明：①(利用AD=CE构造全等三角形，证两次全等)
过点A作AG平分∠BAC与BF交于H，则∠BAG= 45°=∠C
由AB=AC ∠ABH=∠CAN ASA→△ABH≌△CAN→AH=CN
由AH=CN ∠HAD=∠ECN AD=CE SAS→△AHD≌△CNE→∠ADH=∠CEN→∠FDE=∠FED
②③基本同理。
77.如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由。（可用全等、直角三角形、轴对称等知识，但不能用相似）

解：由三角形面积：×底×高
过点C作CM⊥AB交AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N
↑只需证CM=GN
需证△CMA≌△GNA
由CA=GA ∠AMC=∠ANG=90°
由∠MAC+∠MAE+∠EAG+∠GAC=180°
90° 90°
又∠NAG+∠EAG=180° ∴（AAS）
78.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE
①求证：△DEF是等腰三角形
②当∠A=40°，求∠DEF的度数；
③△DEF有没可能是等腰直角三角形？请说明理由。

① 用SAS证明很容易；
② ③很容易 ，设∠BDE=∠FEC=x，∠BED=∠EFC=y
有∠B++x+y=180°
∠DEF+y+x=180°
∴∠DEF=∠B (③没可能)