《确定二次函数的表达式》教学设计.docx

第课时

1.体会确定二次函数表达式所需要的条件.
2.利用两个点的坐标确定二次函数表达式.
3.通过确定二次函数表达式解决实际应用问题.

1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

1.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
2.培养学生积极参与的意识,加深学生在生活中学数学,将数学知识服务于生活的学习理念.

【重点】　利用两个点的坐标确定二次函数表达式.
【难点】　通过确定二次函数表达式解决实际应用问题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习待定系数法求函数表达式的方法和二元一次方程组的解法.

导入一:
思考下面的问题:
抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,求这条抛物线的表达式.
问题
二次函数表达式y=x2+bx+c中有几个未知系数?要确定二次函数表达式需要知道图象上几个点的坐标?
【师生活动】　师引导学生回忆待定系数法求函数表达式的方法和二元一次方程组的解法.
[设计意图]　通过问题的探讨,直入正题,对旧知的复习为本节课利用待定系数法求函数表达式奠定了良好的基础.
导入二:
课件出示:生活中的抛物线图片.

生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?
首先需要知道这些抛物线的表达式,我们学过几种抛物线的函数表达式?
问题
我们学过的抛物线的函数表达式有:y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,要确定二次函数的表达式,分别需要知道哪些条件?
[设计意图]　通过对建筑物的设计,首先能让学生体验当设计师的成功感,极大地激发了学生的学习兴趣.其次还能引出本节课的学习任务,一举两得.

　　[过渡语]　通过前面的学习我们知道二次函数的表达式对于探究二次函数的图象与性质非常重要,所以准确求出二次函数的表达式是解决二次函数问题的前提和关键.
一、初步探究确定二次函数表达式所需要的条件
如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?

教师引导学生回答问题:
1.图象中已知两个点的坐标:　　　　,其中　　　　是抛物线的顶点坐标. 
2.如只利用这两个点的坐标求二次函数的表达式,必须把二次函数的表达式设成　　　　的形式,此时h=　　　　,k=　　　　.再把(10,0)代入表达式就可以求出系数　　　　的值. 
【师生活动】　要求学生独立解答,代表展示,师生共同订正.
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=-112,
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-112(x-4)2+3.
【想一想】　确定二次函数的表达式需要几个条件?与同伴进行交流.
【学生活动】　学生先独立思考,然后小组交流,分类型进行探讨.
【师生活动】　师生共同总结:
(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.
(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
[设计意图]　让学生经历对二次函数的已知条件的分析过程,总结归纳出确定二次函数表达式的条件,提高了学生分析问题、解决问题的能力.
二 、二次函数表达式的确定方法
　　[过渡语]　根据以上的分析,在求二次函数表达式时,要根据题目中的具体情况,合理地选择解题方法.
(教材例1)已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.
〔解析〕　由于函数图象经过点(2,3)和(-1,-3),所以直接把两个点的坐标代入y=ax2+c,得到关于a和c的二元一次方程组,解方程组得出a,c的值即可.
解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c,得3=4a+c,-3=a+c,
解这个方程组,得a=2,c=-5.
所以,所求二次函数表达式为y=2x2-5.
【思考】　通过上面的解题过程,你能总结出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件、方法和步骤吗?
【学生活动】　学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结:
对于形如:y=ax2+c,y=ax2+bx等只含有两项的二次函数表达式确定的方法和步骤.
把图象上已知的任意两个点的坐标,利用代入法代入二次函数的表达式,列出二元一次方程组求出未知系数,就可以求出二次函数的表达式.
[设计意图]　通过对例题的解答,使学生掌握了列二元一次方程组求二次函数系数的方法,同时也提高了学生具体问题具体分析的能力.
三 、用待定系数法求二次函数表达式
　　[过渡语]　通过以上的探究,我们知道了在某些时候已知图象上两个点的坐标,利用二元一次方程组就可以确定二次函数的表达式,请你利用刚才的方法,解决下面的问题.
课件出示:
【做一做】　已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
教师引导学生思考下面的问题:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?
3.二次函数表达式y=ax2+bx+c中除了系数c之外,还有几个未知系数?
【学生活动】　学生观察、思考得出结论,互相订正.
【教师点评】　此题隐含了c=1的结论,需要同学们去发现,除了系数c之外,只有两个未知系数,函数图象还已知两个点的坐标,可以求出它的表达式.
解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax2+bx+1,得5=4a+2b+1,13=4a-2b+1,解得a=2,b=-2.
所以所求二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.
【思考】　通过上面的探究过程,你能确定出求此种类型的二次函数的表达式所需要的条件吗?
【学生活动】　学生先独立思考,再小组交流彼此的想法.代表总结:
对于形如y=ax2+bx+c的二次函数,一般会给出函数图象与y轴的交点坐标,实际就等于给出了c的值.实际上还是只有两个未知系数,其确定表达式的条件是:只要再知道图象上任意两个点的坐标,利用代入法列二元一次方程组求出未知系数,就可以求出二次函数的表达式.
[设计意图]　通过对“做一做”的探究,使学生进一步明确了利用待定系数法确定二次函数表达式的方法和步骤,为下面规律的总结打下了良好的基础.
四 、归纳确定二次函数表达式所需要的条件
　　[过渡语]　我们已经探究了确定不同类型的二次函数表达式所需要的条件,你能对所有确定二次函数表达式所需要的条件进行总结吗?
【想一想】　在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?
【师生活动】　学生独立思考后,小组交流、讨论,老师巡视,并参与到学生的讨论中去.
【学生活动】　学生代表总结:
1.二次函数y=ax2+bx+c可化成:y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),如果已知顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
可以利用待定系数法设表达式为顶点式:y=a(x-h)2+k,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数,再知道图象上的任意两个点的坐标,也可以确定二次函数的表达式.
确定表达式的步骤和方法:
把两个点的坐标代入表达式,得到二元一次方程组,解这个方程组,得到两个未知系数的值,就可以确定所求二次函数的表达式.
【能力提升】　要想求出二次函数y=ax2+bx+c的表达式需要知道几个点的坐标?
学生猜想:2个或3个.
[设计意图]　通过归纳总结让学生对本节课的主要内容有一个阶段性的认识,使所学知识更加有条理、更加系统.通过能力提升的思考,为下节课的学习做好了铺垫.

1.利用两个点的坐标确定二次函数表达式需要满足的条件:
确定二次已知顶点的坐标顶点坐标另一个点的坐标有两个未知系数一个点的坐标另一个点的坐标
2.求二次函数表达式的步骤和方法:
待定系数法→代入法→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式.

1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则抛物线的解析式为 (　　)
A.y=3x2-6x-5 B.y=3x2-6x+1
C.y=3x2+6x+1 D.y=3x2+6x+5
解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.故选B.

2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是 (　　)
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是　　　　. 
解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.

4.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为　　　　. 
解析:∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式为y=ax2+bx-3, 把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式y=ax2+bx-3中,得a-b-3=0,9a+3b-3=0,解这个方程组,得a=1,b=-2.∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故填y=x2-2x-3.
5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是A(2,1),且经过点B(1,0),求此抛物线的解析式.
解析:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求出a的值,从而得到二次函数解析式.
解:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,
将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,
所以二次函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.

第1课时
1.利用两个点的坐标确定二次函数表达式需要满足的条件:
确定二次已知顶点的坐标顶点坐标另一个点的坐标有两个未知系数一个点的坐标另一个点的坐标
2.求二次函数表达式的步骤和方法:
待定系数法→代入法→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第43页随堂练习第1,2题.
2.教材第43页习题2.6第1,2题.
【选做题】
教材第44页习题2.6第3题.
二、课后作业
【基础巩固】

1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为 (　　)
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x+2)2-2 D.y=(x-2)2-2

2.如图所示,二次函数表达式是 (　　)
A.y=x2-x+2
B.y=x2+x+2
C.y=-x2-x+2
D.y=-x2+x+2

3.某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1 m的喷水管所喷出水柱的最大高度为3 m,此时喷水水平距离为12 m.若水柱是抛物线形,则在如图所示的坐标系中,这支喷泉最远能喷　　　　m.(结果保留根号) 
4.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
【能力提升】

5.(2014·淄博中考)如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-8x的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为 (　　)
A.y=x2-x-2
B.y=x2-x+2
C.y=x2+x-2
D.y=x2+x+2
6. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(1,-1),而且图象过点(0,-3),则这个二次函数的表达式为　　　　. 

7.如图所示,抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)写出顶点坐标及对称轴.
8. 已知:抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为P.
(1)求b,c的值;
(2)求△ABP的面积;
(3)若点C(x1,y1)和点D(x2,y2)在该抛物线上,则当0<x1<x2<1时,请写出y1与y2的大小关系.
【拓展探究】

9.(2015·黑龙江中考)如图所示,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:设这个二次函数的关系式为y=a(x+2)2-2,将(0,2)代入得2=a(0+2)2-2,解得a=1,故这个二次函数的关系式是y=(x+2)2-2.)
2.D(解析:因为抛物线过(0,2),所以c=2,设二次函数的表达式为y=ax2+bx+2,把(-1,0),(2,0)代入二次函数y=ax2+bx+2,得0=a-b+2,0=4a+2b+2,解方程组,得a=-1,b=1.所以这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2.)
3.2+64(解析:由题意得出:抛物线的顶点坐标为12,3,且图象与y轴交点坐标为(0,1),∴设抛物线解析式为y=ax-122+3,则1=a0-122+3,解得a=-8,∴抛物线的解析式为y=-8x-122+3.当y=0时,则0=-8x-122+3,解得x1=2-64(不合题意,舍去),x2=2+64,∴这支喷泉最远能喷2+64 m.故填2+64.)
4.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),即y=-x2+2x+3.　(2)∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
5.A(解析:将A(m,4)代入反比例函数解析式,得4=-8m,即m=-2,∴A(-2,4),将A(-2,4),B(0,-2)代入二次函数解析式,得:4-2b+c=4,c=-2,解得b=-1,c=-2,故二次函数解析式为y=x2-x-2.)
6.y=-2(x-1)2-1或y=-2x2+4x-3
7.解:(1)把(0,0),(2,0)代入y=-x2+bx+c,得-4+2b+c=0,c=0,解得b=2,c=0,∴二次函数的解析式为y=-x2+2x.　(2)y=-x2+2x=-(x-1)2+1,∴抛物线的顶点坐标是(1,1),对称轴是直线x=1.
8.解:(1)由题意知抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-5),即y=-x2+4x+5,所以b=4,c=5.　(2)y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,P点坐标为(2,9),所以△ABP的面积=12×6×9=27.　(3)抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下,所以当0<x1<x2<1时,y1<y2.
9.解析:(1)根据抛物线经过点A(1,0),对称轴是直线x=2列出方程组,解方程组,求出c的值即可.(2)因为点A与点C关于直线x=2对称,所以根据轴对称的性质,连接BC,与直线x=2交于点P,则点P即为所求,求出直线BC与直线x=2的交点即可.
解:(1)由题意得1-b+c=0,b2=2,解得b=4,c=3.∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.　(2)∵点A与点C关于直线x=2对称,∴连接BC,与直线x=2交于点P,则点P即为所求.根据抛物线的对称性,可知点C的坐标为(3,0).而抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点为(0,3),∴设直线BC的解析式为y=kx+m,3k+m=0,m=3,解得k=-1,m=3,∴直线BC的解析式为y=-x+3,则直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1).∴点P的坐标为(2,1).

本节课的重点是让学生通过探索,探究出利用两个点的坐标确定二次函数表达式所需要的条件,所以一定要让学生亲自体验探究的过程,并要在探究学习活动中给予学生展示自己聪明才智的机会,同时在此过程中还有利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.所以在课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度,让所有的学生都相信我能行.
课本上出现的三种类型的问题,基本涵盖了利用两个点的坐标确定二次函数表达式的所有可能,对它们进行分类,找出它们之间的联系与区别,可以使学生在解决求二次函数表达式的问题时更有针对性,可以做到有的放矢.对于本节课知识的归纳总结,尽量让学生独立完成,以便加深他们对所学知识的印象,同时还能让他们养成及时总结的好习惯.

课堂的容量较大,时间有点紧张.同时教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作讨论更具实效性.

再教时应充分相信学生的能力,大部分的题目应大胆放手让学生独立解答.