抽屉原理教学设计(定稿).doc

“抽屉原理”教学设计

下社联校庄里小学 孙秀丽

【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第70页例1和71页例2。
【教学目标】
知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
情感与态度：通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力，提高学习数学的兴趣。
【教学重点】
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 “总有”“至少”具体含义，以及为什么商+1而不是加余。
【教学难点】
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【考点】
用“抽屉原理”解决实际问题。
【课标要求】
学会采用手脑并用，数形结合的学习策略。
【教具、学具准备】
小棒（若干）、杯子（若干），多媒体课件。
【教学过程】
一、游戏激趣。
同学们喜欢玩游戏吗？好！这节课呢我们一起来玩一个游戏。这个游戏的名字叫做“抢凳子”。
现在老师在这里准备了三把椅子，请四个同学上来，谁愿意来呢？学生争先恐后的上来。游戏规则是：在老师说开始时，四位同学绕着凳子走，当老师说停时，四位同学都要坐到凳子上。老师背对四位同学。游戏完后，师说：不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐了两个同学？这就话对吗？知道这是为什么吗？不要着急，通过今天这节课的学习你就会明白其中所蕴含的道理。
【设计意图】：从学生感兴趣的“抢凳子”游戏开始，拉近师生的关系，激发学生的兴趣，引起探究的愿望。让学生初步体验3个凳子，4个同学都得坐下，不管怎样坐，一定会存在至少有一个凳子上要坐两个人。使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象。没有急于告诉学生我们这节课要学什么具体内容，设置悬念，为后面的学习活动做好了铺垫，为今天的探究埋下伏笔。
二、 自主操作，探究新知
刚才老师为什么能做出准确的判断呢？因为啊在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理，同学们想不想通过动手操作来发现它？我们先从最简单的情况入手。
（一）首次实物操作，初步感知（学生实验）
1．课件出示题目：有3本书，2个抽屉，把3本书放进2个抽屉里，怎么放？有几种不同的放法？(不区分抽屉的先后顺序)
师：请同学们(拿出准备好的纸杯代替抽屉,在组长的带领下)实际放放看，并记下摆放的结果。（学生小组动手操作）（老师行间巡视，从旁辅导）
谁来展示一下你组摆放的情况？（让学生到讲台前面表述自己小组摆的情况，其中小组中的另一人在黑板上板演画法）学生认真聆听，根据学生摆的情况，师板书各种情况 （3，0）（2，1）
老师也在这里摆了摆，让学生观看课件的演示，进一步体会理解。（课件演示）
师:3本书放进2个抽屉里呢？(总有一个抽屉里至少有几本?) （这是一种普遍存在的数学现象）
师：是这样吗？谁还有这样的发现，再说一说。大家一起说一说：3本书放进2个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进2本书。
师：“总有”是什么意思？（一定有）
“至少”是什么意思？（最少，还可以更多，不能更少。，）
师：我们在摆放的方法中怎样才能找到“至少2本”呢？（先找到每种摆法中本数最多的抽屉，然后再找到这些本数最多的抽屉中最少的本数，实际就是多中找少。）
通过观察杯中小棒枝数，理解“总有一个”的含义，得到一个初步的印象：不管怎么放，总有一个杯子放的枝数是最多的，分别是2枝和3枝。
【设计意图】让学生从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有利于调动所有的学生积极参与进来。通过让学生小组自主摆放，展示摆放情况，而后通过老师直观的课件演示，初步让学生明白“不管怎么放，总有一个文具盒里至少放2枝铅笔”道理，为后续的学习奠定了扎实的基础。
（二）再次具体操作，深化感知（学生2次实验）
课件出示例题1的情境图，把4枝铅笔放进3个文具盒里，又有几种不同的放法呢？同学们想不想尝试尝试？好，同学们还是以小组实际放放看，并记录下摆放的方法。
（师巡视，了解情况，个别指导，小组活动）
师：谁来展示一下你组摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况。
（4，0，0）
（3，1，0）
（2，2，0）
（2，1，1），
师：还有不同的放法吗？
师：你能发现什么？（4枝笔放进3个笔筒里,不管怎么放，总有一个笔筒里至少放几只笔呢？）
师：在意思不变的情况下还可以换个说法，怎么说？（“总有”是什么意思？“至少”有2枝什么意思？）
师：对，就是不能少于2枝。（通过操作让学生充分体验感受）
老师播放课件的演示，罗列出四种摆放方法，让学生仔细观察，从而进一步加深对关键词语的理解。
【设计意图：通过让学生二次自己动手操作，老师的课件直观演示，用枚举法找出四枝铅笔放入三个杯子的所有方法，观察总结概括出四种方法的共同点，即总有一个杯子里至少有2枝铅笔，让学生充分理解“总有”、“至少”的含义。】
（三）脱离具体操作，由形抽象到数（还是就上面的例题1）
师：我们刚刚把所有摆放的方法都一一罗列出来了，这种方法叫枚举法（板书：枚举法），但是随着数据的扩大，摆放的方法一定会更多，甚至不能一一罗列；那么我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？（如果学生不能做出判断，可以提示学生用“假设法”，先平均分，再分剩下的，这样去考虑）请同学们在小组内讨论讨论，怎么摆？
学生思考——组内交流——汇报
师：哪一组同学能把你们的想法汇报一下？
提示学生：我们发现如果每个笔筒里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。
师：你能结合操作给大家演示一遍吗？（学生操作演示）（学生上台操作，演示说明）
师：请每个组的同学们都一边说一边摆，好吗？
师：这种分法，实际就是先怎么分的？（再让学生像刚才那位同学演示的那样摆一摆。）
生众：平均分（对，就是平均分；板书：平均分）
师：为什么要先平均分？（提示学生：要想发现存在着“总有一个盒子里至少放有2枝”，先平均分，余下的一枝，不管放到哪个盒子里，一定会出现总有一个盒子里至少有2枝）（组织学生讨论）（老师播放课件，并解释说明，这样分，只分一次就能确定总有一个盒子里至少有几只笔了）
师：（课件出示思考题：把5枝笔放在4个笔筒里，还是不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进了2枝笔吗？为什么总会有这样的结果呢？）那么把5枝笔放进4个笔筒里呢？如果只摆一种方法也能得出结果吗？（学生思考后表达，师演示实验）
师：哪位同学能把你的想法汇报一下（学生汇报）
师：那么你能不能用算式来表达一下呢？
5÷4 = 1(枝）‥‥‥1（枝）1+1=2（枝）
师：追问：商1和余数1意义相同吗？
学生可能回答：商1指的是放进去的一枝，余数1指剩下的那一枝。
归纳：在解决这类问题时，用平均分的方法比较简便。
（让学生看课本学习，老师做好从旁解释）
【设计意图：此环节让学生充分体会用平均分的好处，通过学生的小组讨论，自主表达看法，加之课件的直观演示，让学生明白这种类型的数学问题原来也是可以用算式表达的，理解用除法算式表示，形象直观，便于学生理解，帮助学生初次建立模型。最后让学生看课本，进一步理解两种不同的方法，枚举法和假设法，通过比较发现简便方法。】
（四）抽象概括，小结现象
追问：把6枝笔放进5个笔筒里呢？
把7枝笔放进6个笔筒里呢？
……
师：把100枝笔放进99个笔筒里呢？（还用摆吗？）让学生看板书发现规律。
师：比较笔筒数目和笔的支数，你发现了什么？
师：你们的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！小组内互相说一遍。（课件出示：我们的结论）
【设计意图】四个层次，环环相扣，由浅入深的层层深入，教师关注抽屉原理的最基本原理一的形成过程，先让学生分小组探索，然后教师用课件演示，从动手操作摆放、画图等形式到不用摆放、画图直接推理到多个物体的情况，使学生经历从简单到复杂，从理性到感性的过程，在学生自主探索的基础上，引导学生得出一般性的结论：“只要放的铅笔数比盒子多1时，总有一个盒子里至少放进2枝”，这样的教学活动既发展了学生的类推能力，又能让学生形成比较抽象的数学思维。帮助学生由形象思维过度到抽象概括，使学生的能力得以提升。也就为后面原理的学习做好了铺垫。
解决问题。
师：如果铅笔的数量不是比杯子的数量多1呢？这个结论还成立吗？提出质疑。
课件出示：7只鸽子飞回5个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？请同学们仔细思考，可以在小组内讨论。(板书: 至少2只 )
（1）学生独立思考，自主探究。
（2）交流，说理。（学生说理，根据学生说理情况，教师进行操作演示）
师：余下的两只鸽子应该怎样分？为什么？（进一步强调“至少”情况）
（课件演示）
师：同学们非常了不起，善于运用观察、分析、思考的方法研究问题，你们的思维也在不知不觉中提升了许多，那么让我们再来看这样一组问题。
【设计意图】学生通过上一环节的学习，对抽屉原理已经有了一个初步的表象认识，通过及时让学生“做一做”，先设疑，进而通过师生的交流讨论，验证刚才的结论是正确的，进一步加深了学生对这一原理的认识和理解，初步认识到“先平均分后，剩余的也要平均分，才能保证至少”的道理，为下一环节深入探究奠定了坚实的基础。
三． 深入探究，形成规律
1. 刚才同学们都表现得非常棒，老师有几道难题想请教大家，愿意帮忙吗？
例如：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）
【设计意图：在例1和做一做的基础上，相信学生会用平均分的方法解决“至少”的问题，也就是“假设法”最核心的问题就是用有余数的除法形式表示出来，为下一步，学生发现结论与商和余数的关系做好铺垫。】
2．学生汇报。
根据学生的汇报，老师板书。
板书：5本 ÷ 2个 = 2 本 …… 余1本 至少3本
7本 ÷ 2个 = 3 本 …… 余1本 至少4本
9本 ÷ 2个 = 4 本 …… 余1本 至少5本
5本 ÷ 3个 = 1 本 …… 余2本 至少2本
（课件演示放的方法）
师：观察板书你能发现至少数3本、4本、5本、2本是怎么得到的？（引导学生归纳方法）
师：到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？（又一次的疑惑）
【设计意图：老师这里适时的提出有针对性的问题，组织学生讨论交流，恰当的运用课件演示，使学生从本质上认识了抽屉原理。通过学生的辩论，从而认识到余数也要平均分，而余数小于除数，所以只会再多一个。】
老师课件出示，解惑：把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？在小组里进行研究、讨论。（启发学生就向刚才的“做一做”那样去想）
交流----说理活动
师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢？
引导学生看板书，表述自己的发现。学生表达。（学生看课本71页的内容）
总结：物体的数量大于抽屉的数量，总有一个抽屉里至少放进商+1个物体。（用书的本数除以抽屉数，再用所得的商+1，就得到至少数了。）
师：同学们同意吧？（板书：计算绝招 ： 至少数=商数+1）（课件出示）
【设计意图：通过小组合作，学生之间争论，看板书发现规律，使学生理解余数不是1的情况，进一步理解了要保证至少余数也要尽量平均分，从而将过程用除法算式表示出来，总结出了至少数与商、余数的关系。总结出了计算至少数的绝招。加深了抽屉原理的认识和理解。】
师：同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理，也是我们今天研究的“抽屉原理”（板书课题）。
一起看大屏幕（介绍抽屉原理的相关知识）实际上抽屉原理就是有余数的除法，至少数等于商加上1；“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做 “抽屉原理”。 也称为“鸽巢原理”。“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
师：抽屉原理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出谁是“抽屉”，谁是“物体”。像刚才的问题中，谁相当于“抽屉”？谁相当于“物体”？让学生进一步理解抽屉和待分物。
学生回答，（老师课件演示说明）
师：现在，你能利用这一原理揭秘课前的游戏了吗？
启发学生说出：4个同学相当于物体，3个凳子相当于抽屉，不管怎么坐，总有一个凳子上至少要坐两个同学。回归到课前游戏。
2、其实，早在两千多年以前，我国先人晏子就应用抽屉原理制造了有名的“二桃杀三士”的故事，课件播放“二桃杀三士”的故事。
但是我们的先人缺乏总结概括，最后这一原理不得不冠以西方学者的名字。是不是很可惜呀？
所以我们同学只要你善于观察思考、善于总结概括，相信不久的的将来你也能成为伟大的科学家。（课件播放，教育学生）
【设计意图：】通过小组合作，解决四个问题，验证刚才得出的结论即“至少数=商+1”是否适用商不是1的情况，用得到的原理揭秘课前游戏，进一步巩固模型。介绍抽屉原理的由来，增加数学文化气息。影片播放我国古代的“二桃杀三士”故事，进一步激发学生的学习兴趣。同时教育学生学习数学家的观察生活的态度，研究问题的方法。通过这个环节，完善了原理的认识，拓展了学生的知识视野，特别是让动手操作贯穿于探究说理的全过程，辅助了学生对“平均分”的理解，突破了教学难点。
小结：经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，我们获得了解决这类问题的好办法，可能让我们很紧张，但我们依然感觉很快乐，不是吗？
四、回归生活，灵活应用
（课件出示练习题，）
解决问题。71页做一做：
8只鸽子飞回3个鸽笼，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽笼。为什么？。
（独立完成，交流反馈，教师课件演示。）

【设计意图：】及时检测学生掌握情况，通过学生自主完成，集体交流反馈，配以课件的形象直观的演示，加深学生对所学知识的理解。
五、当堂检测
（课件出示口答题）
【设计意图：】通过设计几道口答题，达到检测学生学习效果的目的，同时以这种口答的形式激发学生回答的欲望，进而激发学习的热情。
六、畅谈收获，全课小结：
1、今天这节课你的收获是什么？
2、师总结：我们学习了抽屉原理，可以用有余数的除法来解决问题，用商+1来得到至少数，真是太容易了，最关键的就是要找到谁是抽屉谁是书。所以我们要相信科学，用知识改变自己的命运，生活要靠自己创造，命运要靠自己改变。（对学生进行情感教育，结束课堂学习。）
板书设计：
抽 屉 原 理

枚举法 假设法（平均分） 余数 至少数
（3，0）
（2，1） 3 ÷ 2 = 1 …… 1 至少2本
4 ÷ 3 = 1 …… 1 至少2本
5 ÷ 4 = 1 …… 1 至少2本

5本 ÷ 2个 = 2 本 …… 余1本 至少3本
7本 ÷ 2个 = 3 本 …… 余1本 至少4本
9本 ÷ 2个 = 4 本 …… 余1本 至少5本
5本 ÷ 3个 = 1 本 …… 余2本 至少2本
待分物 ÷抽屉数=商 …… 余数 至少数=商+1

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