中学数学核心概念教学设计基本模式的研究.doc

衢州市名师课题结题报告

课题名称
中学数学核心概念教学设计基本模式的研究

课题负责人
吴光耀

负责人所在单位
浙江省衢州高级中学（324006）

目录

（一）“中学数学核心概念教学设计基本模式的研究”课题结题报告

1.课题研究的理论意义和实践意义 3

2.课题相关概念的界定 4

3.课题研究的内容及预期目标 4

4.课题研究的主要内容、重点、难点和基本过程 5

5.课题研究的主要成果（详情参见附件） 6

（二）附件

附件1：中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析 7

附件2：课题组教师发表与课题相关的论文情况 11

附件3：核心概念函数概念的教学设计 12

附件4：核心概念变化率问题的教学设计 17

附件5：核心概念数学归纳法的教学设计 20

“中学数学核心概念教学设计基本模式的研究”课题结题报告
浙江省衢州高级中学 吴光耀 324006
一、课题研究的现实背景和意义
奥苏贝尔在《意义言语学习心理学》一书中提出的同化理论，他认为，同化是意义学习的心理机制．同化这一概念，最初是由皮亚杰提出的．皮亚杰用同化和顺化来说明儿童认知发展的内部机制．同化是个体把客体纳入已有的图式之中，这只能引起图式的量的变化；顺应是指个体因环境作用而引起的原有图式的变化，以适应外界环境的过程．奥苏贝尔对同化这个概念赋予了特定的内涵．
随着高中数学新课程改革的不断深入，我们发现：部分数学教师在课堂教学上没有抓住数学概念的核心进行教学，教学中没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，学生经常在没有对数学概念有基本了解的情况下就盲目进行大运动量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在一些无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”．学生花费大量时间学数学，完成了无数次解题训练，但他们的数学基础仍非常脆弱．尽管我国数学教学质量随着新课程改革的不断深入而有所改观，但要极大地提高我国数学的教学质量，探索出一套适合中国国情的、适合新课程标准的中学数学核心概念教学设计的基本模式已迫在眉睫．
首先，数学概念是抽象化的空间形式和数量关系,是反映数学对象本质属性的思维形式,脱离了数学概念,便无法进行数学思维,也无法构成数学思想和数学方法.数学中的每一个判断,每一种推理都是在数学概念的基础上进行；数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式．它的产生一般说有两种情形：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到；另外一种是在已有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成的．概念是思维的单位，反映一类事物的特征，是整个数学知识结构的基础，是判断﹑选择﹑推理的重要依据；数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高数学解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓．
其次，核心是指中心，主要部分．顾名思义，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分．而教学设计是应用系统方法分析研究教学的问题和需求，确定解决它们的教学策略、教学方法和教学步骤，并对教学结果作出评价的一种计划过程与操作程序．那么，什么是模式？简单说来，模式类似于定式，就是遇到反复出现的同一问题时所固定使用的解决方案．
使核心概念的教学设计模式在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手，因为在双基的教学中，使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法的真谛，学会数学地思维，这样才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养．因此，本课题研究的重点是探索中学数学核心概念教学设计基本模式的形成过程，难点是中学数学核心概念教学设计基本模式的分类及应用．
长期以来，不少教师重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象，我们提出的新课程标准下的中学数学核心概念教学设计基本模式的研究．中学数学核心概念教学设计基本模式的研究，对中学数学教学研究有示范作用，能有效地促进中学数学教师的专业化发展和教学能力的提高．对一线数学教师而言，这是个紧迫且具有较强的现实意义与实际背景的课题．
二、课题相关概念的界定
1．核心概念
从心理学的角度看，核心概念是同人们的分类行为紧密相连的．奥苏伯尔认为核心概念是符号（具有一般意义的词）所代表的具有共同标准属性的对象、事件、情景或性质．
核心概念是指一个根本的、重要的概念．核心概念具备基础性、系统性、联系性、全局性和一致性等五个特性．基础性是指具有丰富内涵的概念，是系统发展的起点；系统性是指系统按一定的关系组成的同类事物的整体；联系性是指不仅引领整个系统知识块的发生、发展和深化，而且随着系统的深入，概念的内涵变得更加丰富；全局性是概念的外延在系统知识块的整个局面来看是生长的，具有预见性；一致性是指不会因为系统知识块的发生、发展、深化而产生分歧．
2．教学设计
教学设计是运用系统方法对各种课程资源进行有机整合，对教学过程中相互联系的各个部分做出整体安排的一种构想，即为达到教学目标，对教什么、怎样教以及达到什么结果所进行的策划；是“一种系统设计、实施和评价学与教全部过程的方法”（加涅）．那么，如何从事中学数学核心概念的教学设计，就新课程而言，中学数学核心概念教学的基本目标是使学生通过中学数学核心概念的学习，促进自身的整体发展；中学数学核心概念教学设计的基本目的是帮助学生进行有效的学习．尽管任何形式的中学数学核心概念的教学活动都可能使学生得到发展，但系统的中学数学核心概念教学设计会使每一位学生都有最充分地运用自己的潜能去获得发展的机会，从而极大地影响他们对中学数学核心概念的学习效果．
三、研究的内容及预期目标
1．研究的内容
以普通高中《数学课程标准》为理论依据，在研究分析人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念的基础上，经过重复试验，修改，形成中学数学核心概念教学设计的基本模式，并推广应用．具体内容从三个方面去把握：
（1）收集人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念，根据中学数学核心概念的形成与中学数学核心概念的同化的不同特点进行分类．
中学数学核心概念的形成是学习者在对客观事物的反复感知，并在分析、类比、抽象概括的基础上，概括出某一类事物的本质属性，从而获得中学数学核心概念的方式．
中学数学核心概念的同化是指在教学中，利用学生已有的知识经验，以
定义的方式直接提出中学数学核心概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关中学数学核心概念相联系和掌握中学数学核心概念的方式．
（2）分析人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念教学设计的基本模式．主要从核心概念的形成与核心概念的同化两个方面进行分析．其中中学数学核心概念的形成可以概括为以下几个阶段：
①辨别不同的刺激模式．在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例．
②分化和类化各种刺激模式的属性．各种具体刺激模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较．
③提出和验证假设．一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在中学数学核心概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出中学数学核心概念的本质属性．
④把中学数学新的核心概念从以前学过的相关数学旧的核心概念中分离出来，把中学数学新的核心概念的本质属性推广到这个类目的一切例子，这个过程实际上是明确中学数学核心概念的外延的过程，也是中学数学新的核心概念与其他数学旧的核心概念相区别的过程．
⑤用符合习惯的数学语言和数学符号表示中学数学核心概念，即形式化．
中学数学核心概念同化的方式可以概括为以下几个阶段：
①辨认．
②同化．建立新的核心概念与原有核心概念实质性的联系，把新的核心概念纳入到已有的认知结构中，使新的核心概念被赋予一定的意义．
③强化．通过辨认中学数学核心概念的肯定和否定的例子，使新的核心概念和原有核心概念精确化．
（3）形成人民教育出版社普通高中数学A版教材中的核心概念教学设计基本模式，基本模式在实践中的应用．
2．预期目标
本课题研究的目的在于以科研促进教学，促进教师发展，大面积提高教育教学质量．根据中学数学核心概念形成模式的操作程序形成教学设计；根据中学数学核心概念同化模式的操作程序形成教学设计．
预期目标：教师通过对中学数学核心概念教学设计基本模式的研究和课堂教学的实施，提高教学质量；教师通过课堂教学实践，进一步完善教学设计基本模式．
四、课题研究的主要内容、重点、难点和基本过程
1．课题研究的主要内容
1.1 核心概念函数概念的教学设计；
1.2 核心概念变化率问题的教学设计；；
1.3 核心概念数学归纳法（第一课时）的教学设计；
2．课题研究的重点
在中学数学核心概念形成的过程中，引导学生从特殊事物中抽象概括出一般性的结论，引导学生学会从定性分析到定量分析，学会用数学语言(包括文字语言、符号语言和图形语言)表达核心概念是本课题研究的重点．
3．课题研究的难点
3.1 在中学数学核心概念的教学设计中，讲背景使得核心概念的引入成为必需；
3.2 在中学数学核心概念的教学设计中，要体现概念教学的螺旋式上升的过程．
4．课题研究的基本过程
4.1 课题研究的时间和课题研究的材料
从2007年开始,历时两年．教材选用人教版普通高中课程标准实验教科书.
4.2 课题研究的对象
课题组确定的研究对象是16个班级共800名学生．参与课题研究的教师4名，衢州市教研室数学教研员1名．
4.3 课题研究的程序
4.3.1 学习阶段
组织课题组全体教师学习了中学数学核心概念教学设计的有关文献资料，认真听取有关专家的讲座，共同探讨，不断提高课题组教师的理论水平与研究能力．
4.3.2 课题研究的原则
中学数学核心概念教学设计的目的是发挥核心概念教学上的优势，探讨适应高中数学教学实际的中学数学核心概念教学设计的基本模式，促进教学效率的提高．为了达到上述目的，我们在进行中学数学核心概念教学设计时，采用以下原则：
自主性原则．中学数学核心概念教学设计要立足于能力的培养，要鼓励学生自主地，充分地进行探索，尝试，进行发现式学习，做学习的主人．
活动性原则．中学数学核心概念教学设计要善于将数学教学内容融入活动之中，实行任务驱动教学，让学生在活动的过程中进行体验学习．
反思性原则．中学数学核心概念教学设计在实施的过程中要及时进行总结反思或评价考核，有效地控制教学进程，教师根据反馈信息，掌握情况，发现问题，采取措施，及时解决，学生要利用反馈信息，随时调节，强化自己的学习行为．
4.3.3 结题阶段
两年来，课题组形成了中学数学核心概念教学设计的基本模式；形成了中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析．完成了一些核心概念的教学设计. 经过优化的课堂教学设计有利于培养学生的数学素养，有效地改进了学生的学习方式，提高了学生的学习效率，很好地完成了数学教育教学任务和功能．
课题组人员完成课题研究情况：
吴光耀：组织课题研究的具体实施，完成方案设计和报告撰写．
李世杰：理论指导．何豪明：资料整理．舒燕芳：课题实施． 徐维风：课题实施．
五、课题研究的主要成果
通过两年的中学数学核心概念教学设计的研究，我们探索并完成了中学数学核心概念教学设计的心理学模式，以及该模式在实践中的具体应用，完成了“核心概念函数概念的教学设计”、完成了“核心概念变化率问题的教学设计”、完成了“核心概念数学归纳法（第一课时）的教学设计”，培养了一支骨干队伍，为在更大范围内开展研究工作积累了丰富的经验和大量的案例，为本校及衢州市进一步培养适应新课改要求的高中数学教师队伍打下了坚实的基础，这是一项数学课程改革的开创性、奠基性工作．其主要成果详请参见附件．
参考文献：
[1] 曹才翰，章建跃．《中学数学教学概论》．北京师范大学出版社．2008年4月
[2] 钱佩玲，马 波等．《高中数学新课程教学法》．高等教育出版社．2007年3月
[3] 周小山，雷开泉等．《新课程视野中的数学教育》．四川大学出版社．2003年11月
[4] 韩际清等．《高中数学新课程理念与教学实践》．商务印书馆出版．2007年2月
[5] 刘儒德．对信息技术与课程整合问题的思考．《课程教材教法》．2004年10月
[6] 高 文．基于信息技术的课程与教学改革．《课程教材教法》．2003年6月
[7] 潘小明．试论信息技术与数学课程的整合策略．《数学通报》．2003年7月
[8] 王佑镁．信息技术与学习变革，《现代教育技术》．2003年3月
[9] 王旭媚．信息技术与数学学科教学整合的尝试与思考．《数学教育学报》．2004年5月
[10] 何 克．信息技术与课程整合的目标与意义．《教育研究》．2003年8月
[11] 傅德荣．信息技术与课程整合的目标与方法．《中小学信息技术教育》．2003年10月
[12] 鲁正火．谈中小学信息技术课程理念．《电化教育研究》．2001年第10期

附件1
中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析
中学数学核心概念是中学数学知识的细胞，是中学数学知识思维的单元，是学生在学习中学数学中赖以思维的基础．中学数学核心概念反映的是客观事物的空间形式与数量关系方面的本质属性，是用数学语言揭示事物共同属性即本质属性的思维形式．因此，中学数学核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，注重体现核心概念的来龙去脉．在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出核心概念的过程，在初步运用中逐步理解核心概念的本质．
1．获得中学数学核心概念的心理学分析
中学数学核心概念是中学数学知识的基本单元．从理解的层面看，掌握中学数学核心概念不仅要简单地用数学语言将中学数学核心概念表述出来，而是真正理解中学数学核心概念的内涵和外延，表现为能对中学数学对象进行识别和归类，用自己能够接受和可以储存的形式对中学数学核心概念的本质属性或特征进行理解．中学数学核心概念的获得有两种基本模式：中学数学核心概念形成的模式与中学数学核心概念同化的模式．
1.1中学数学核心概念形成的模式
中学数学核心概念形成是学习者在对客观事物的反复感知，并在分析、类比、抽象、概括的基础上，概括出某一类事物的本质属性，从而获得核心概念的模式．以中学数学核心概念形成的模式获得中学数学核心概念的心理活动过程可以分为以下六个阶段：
①辨别不同的刺激模式．在教学环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的事例．
②分化和类化各种刺激模式的属性，并综合出共同属性．各种具体刺激模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要将从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较．
③提出和验证假设．一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此，在中学数学核心概念的学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式的本质属性的假设，然后在特定的情景中检验假设以确认出中学数学核心概念的本质属性．
④把中学数学新的核心概念从以前学过的相关数学旧的核心概念中分离出来，把中学数学新的核心概念的本质属性推广到这个类目的一切例子，这个过程实际上是明确中学数学核心概念外延的过程，也是中学数学新的核心概念与其它数学旧的核心概念相区别的过程．
⑤用符合习惯的数学语言和数学符号表示中学数学核心概念，即形式化．
⑥具体运用中学数学核心概念，使学生完成由抽象到具体的认知活动，自觉地把所学的概念及时纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通形成整体结构．
中学数学核心概念形成是以学生的直接经验为基础，在教师指导下自行发现中学数学核心概念的本质属性的一种有意义学习．他对学生的心理水平要求不高，但比较费时．这种方式较适合抽象层次低，处于中学数学核心概念体系基础的少数重要核心概念的学习．
在中学数学核心概念形成的学习过程中，起主要作用的智力活动方式是观察、分析综合、比较、形式化和具体化．其中观察、分析综合是基础，抽象概括是关键．学生能否在观察分析的基础上抽象出核心概念的本质属性并概括出核心概念的定义，是这种学习方式成败的关键，也是区分学生的学习是否为有意义学习的关键点．
为了提高学习的质量，教师应注意选择那些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，避免非本质的属性得到强化，还应及时引导学生对新旧核心概念进行精确区分、分化，以形成良好的认知结构．
1.2中学数学核心概念同化的模式
中学数学核心概念同化是指在教学中，利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出中学数学核心概念，并揭露其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关中学数学核心概念相联系，从而使学生获得中学数学核心概念的模式．以中学数学核心概念同化模式获得中学数学核心概念的心理活动过程可以分为以下四个阶段：
①辨认、比较正反实例，确认新的中学数学核心概念的本质属性．
②同化．建立新的中学数学核心概念与原有有关核心概念实质性的联系，把新的中学数学核心概念纳入到已有的认知结构中，使新的中学数学核心概念被赋予一定的意义．
③强化．通过辨认新的中学数学核心概念肯定和否定的例子，使新的中学数学核心概念和原有有关核心概念精确分化．
④具体应用新的中学数学核心概念．通过各种形式运用新的中学数学核心概念，使学生进一步加深理解，完成由抽象到具体的认识过程，使有关核心概念融会贯通形成整体结构．
中学数学核心概念同化是以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，直接接受和理解教师所提供的材料的一种有意义学习．它要求学生具备较为丰富的知识经验，并具有积极思维的能力和较高的心理活动水平，是学习一般中学数学核心概念的最主要的方式．
在中学数学核心概念同化的学习过程中，起主要作用的智力活动方式是观察、分析、系统化、比较、具体化，其中系统化是关键．学生能否在观察新核心概念的定义、名称和符号的基础上，明确新旧核心概念内的关系并精确分化，建立起与原有相关核心概念的联系，融合到原有认知结构之中，形成一个新的知识体系，是学习成败的关键．这种学习必须以新核心概念对学习者构成潜在意义为前提，否则不能构成有意义学习．
2．确定中学数学核心概念教学设计的心理学模式
根据中学数学核心概念学习原理，提出以下中学数学核心概念教学设计的心理学模式．
2.1中学数学核心概念形成的心理学模式
2.1.1以概念形成模式获得中学数学核心概念的心理活动的程序框图
教师提供核心概念的正例
学生概括出正例的共同的本质的属性（讨论、观察、思考）
师生共同归纳出正例的本质属性
给出核心概念的定义
学生举出核心概念的正例 教师举出核心概念的反例
核心概念的应用
形成核心概念域（系）

2.1.2 中学数学核心概念“函数”概念形成模式的教学设计案例
实例1：炮弹发射时间与高度的关系，归结为数集与的对应关系．
实例2：臭氧层空洞的面积随时间变化情况，归结为数集与的对应关系．
①引导学生观察思考例子的共性，回答表中恩格尔系数和时间（年）的关系．进而设置思考题“分析、归纳三个实例，它们有什么共同特点？”．
②师生共同归纳上述几个实例的共性，得到：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有惟一确定的和它对应．
③给出中学数学核心概念函数概念的定义．
④强化中学数学核心概念函数的概念．要求学生举出函数的实例，如，等；教师举出反例说明，如等；数形结合，分析图像，如下面的图像是不是函数的图像：

　⑤中学数学核心概念应用与形成核心概念域（转入函数概念相关命题的学习）．
为了提高以概念形成模式获得中学数学核心概念的学习质量，应注意选择那些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，避免非本质的属性得到强化，还应及时引导学生对新旧核心概念进行精确区分、分化，以形成良好的认知结构．
此类型的中学数学核心概念的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义．
2.2 中学数学核心概念同化的心理学模式
2.2.1以概念同化模式获得中学数学核心概念的心理活动的程序框图
呈现先行组织者
给出核心概念的定义

核心概念的辨认、剖析与同化
强化核心概念
核心概念的应用

2.2.2 中学数学核心概念“直线与平面垂直”概念形成模式的教学设计案例
①呈现学生已经习得的生活中的例子（呈现先行组织者），如旗杆与地面的位置关系、大桥的桥柱与水面的位置关系等等．
②给出直线与平面垂直的定义．
③辨认、剖析核心概念．区别“任意一条”与“无数条”的关系，把直线与平面平行与垂直作一比较，从而完善直线与平面位置关系的认知体系．
④强化核心概念．除定义外，如何判断一条直线与平面平行？进一步研究直线与平面垂直．
⑤核心概念直线与平面垂直的应用．
⑥形成核心概念系．
此类型中学数学核心概念教学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用．
在实际教学过程中，不能单纯使用某一种方式来学习中学数学核心概念．只用核心概念形成方式来学习，显然时间上不允许，而仅用核心概念同化方式来学习，由于中学数学核心概念的高度抽象性和概括性的特点，学生也难以把握形式化的中学数学核心概念背后的丰富材料，难以把握核心概念的本质属性．况且，中学数学核心概念形成中的智力活动是开发学生智力、提高学生数学素养的有效途径．因此，教学中应把两种获得中学数学核心概念的方式综合使用，扬长避短，互相补充，使教学效果达到最佳状态．
总之，中学数学核心概念教学是高中数学教学的重要组成部分，在新课程标准下的中学数学核心概念教学，其地位尤为突出．因此，我们一定要在中学数学核心概念学习原理的指导下，按照中学生的认知规律进行中学数学核心概念的教学设计．

附件2：
课题组教师发表与课题相关的论文情况
1.《上海中学数学》．2007年第10期．简约中蕴含深刻——听核心概念和思想方法视野下的“函数”一课有感．李世杰，何豪明，吴光耀．
2.《中国数学教育》．2007年第6期．新课引入教学设计案例的选择原则——以“等比数列前n项和（第一课时）”的引入为例．何豪明．
3. 《中国数学教育》．2008年第5期．中学数学核心概念教学设计基本模式的心理学分析．何豪明，吴光耀．
4. 《中国数学教育》．2009年第5期．让思维动起来——数学课堂教学效率最大化的思考．何豪明，吴光耀．
5.《中学生数学》．2009年第6期．茎叶图．何豪明．
6.《中小学数学》（高中版）．2008年第4期．常用逻辑用语的教学反思．何豪明．
7.《中学数学教与学》．2007年第12期．人教版《数学》教材（A版）使用过程中的困惑与对策》．何豪明，吴光耀，孙亦器．
8.《中学教研（数学）》．2007年第11期．剖析十个关键点 学好算法初步．何豪明，张金良．
9.《教学月刊（中学版）》．2008年第8期．“椭圆”内容的引入教学设计例说．何豪明．
10.《中国数学教育》．2008年第10期．“导数及其应用（第一课时）”教学反思．何豪明．
11.《中国数学教育》．2008年第10期．围绕核心 凸现本质——对核心概念思想方法视野下教学设计的思考．李世杰．
12.《中国数学教育》．2009年第4期．围绕核心内容的生成使课堂教学更有效．李世杰．
13．《数学教学通讯》(教师版).2009年第1期．对基本事件的再认识. 鲁林富.
14．《中小学数学》(高中版).2009年第4期．体验随机试验，感悟概率本质.鲁林富.
15．《中小学数学》(高中版).2009年第5期．一例程序框图的教学思考.鲁林富.
16．《中小学数学》(高中版).2009年第10期．数学归纳法（第一课时）教学设计及反思.何豪明.
17.《中学数学教学参考》．2009年第12期．椭圆和双曲线第二定义教学情况调查分析及思考．吴光耀

附件3
函数第一课时教学设计
1．内容和内容解析
函数概念
图形语言
文字语言
符号语言

文字语言：即用集合与对应的语言理解函数概念；图形语言：即用图形揭示函数概念的本质；符号语言：即通过对的理解，进一步认识函数的三要素．
函数知识是学好数学后继知识的基础和工具．学生在初中阶段已学过把函数看成变量之间依赖关系的基础上，通过分析具体实例，抽象概括出用集合与对应的语言来刻画函数概念．
教学重点：在学生把函数看成变量之间依赖关系的基础上，体会集合与对应语言在刻画函数中的作用，使学生认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型．
2．目标和目标解析
通过分析三个实例，让学生进一步理解函数是描述变量之间依赖关系的一种数学模型，并学会用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中所发挥的作用．
通过分析三个实例，让学生了解构成函数的三要素，掌握一些简单函数定义域的求法，熟练掌握函数的函数值．
通过阅读三个实例，让学生学会用数学的眼光看现实事物，进行数学抽象与概括，初步体验实际问题数学化的过程，体会由特殊到一般，由具体到抽象等数学思想方法．
3．教学问题诊断分析
分析例1，理解函数概念中“A、B是非空数集”的含义，感知函数的表示法：列表法；理解函数概念中“A中任何一个元素对应B中唯一的元素”的含义，感知函数的表示法：解析法；分析例2，理解直线x=a与图中曲线至多只有一个交点是判断曲线是否为函数图象的依据，感知函数的表示法：图象法．
理解函数的三要素：定义域、对应关系和值域．值域由定义域和对应关系确定，定义域和对应关系完全一致的两个函数相等．
学生容易将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．分析例3和例4，让学生在比较判断中进行体会、理解．
正确理解函数符号的意义，即“对定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．通过三个实例教学，让学生逐渐认识和理解函数符号的内涵，从而突破难点．
教学难点：学生对函数概念的整体性认识和抽象的函数符号的理解．
4．教学支持条件分析
从学生熟悉的三个实例出发，通过对函数解析式和图表进行定量分析，对函数图象进行定性分析，从中体会到两个变量之间的依赖关系，体会特殊到一般的思维过程．既关注学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，符合学生的认知规律．
函数概念意义建构的两个层面：一是通过对三个实例的主动探索，形成对函数概念的主动建构；二是通过思维构造把函数概念用数学的文字语言、符号语言和图形语言加以描述．这需要以下两方面条件的支持才能较好地完成：（1）学生方面：学生是教学的主体，解决教学中的重点问题，需要教师创设恰当的情境，适时提出恰当的问题引导，让学生参与讨论．使学生在原有认知基础上，把函数看成变量之间的依赖关系等进行建构．（2）多媒体方面：在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的数学思想方法．
5．教学过程设计
5．1设计情景，引入新课
实例1．本学期你们寝室的长和宽各5
米，下学期把你们调换到长增加2米，宽减少2
米的寝室．你们愿意吗？请说明理由．
考虑周长的学生说愿意，考虑面积的学生说不愿意． 图1
设长增加米，宽减少米，则面积．增加（或减少）的长度的变化范围是数集，面积S的变化范围是数集．
实例2．据新华社2002年3月12日电，图1显示1985年到2000年间，我国农村人均居住面积随时间的变化而变化的情况．时间的变化是数集,人均居住面积的变化是数集．
实例3．下表是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值的变化情况．
身高（cm）
60
80
100
120
140
160
体重（kg）
6.13
9.99
15.02
20.92
31.11
47.25
某地未成年男性体重平均值随身高增加而增加,身高变化．体重的变化是数集．
三个实例说明了当一个量(如长宽,时间和身高)变化时,另一个量(如面积,人均居住面积和体重)也随之变化．这就是初中用来描述两个变量之间的依赖关系的函数,今天我们进一步研究函数的知识(板书课题：函数的概念)．
设计目的:根据教材内容,恰当处理教材,选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积级性,让学生在迫切要求下学习．“从最简单的情形开始!”是笛卡儿的名言，也是体现自主探索，合作交流的教学活动的精髓与座右铭．
5．2 意义建构，讲解新课
通过对三个实例的分析，你能说出它们的异同点吗？（异质分组，小组讨论）
不同点：例1是用解析式刻画变量之间的对应关系；例2是用图象刻画变量之间的对应关系；例3是用表格刻画变量之间的对应关系．
共同点：1．两个都是非空数集；2．两个数集之间都有一种确定的对应关系．
其实，解析式、图象、表格都是一种对应关系．
函数的概念：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，，其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
设计目的：培养由具体到抽象的概括思维能力．一般化，数学理解的最高境界．
强调：①对的理解，作为一个整体，它是一种符号，可以是解析式，如例1；可以是图象，如例2；可以是表格，如例3．②定义中集合是非空数集．③对于的每一个值，按某个确定的对应关系，都有唯一的值与它对应．
分组讨论函数和的定义域，对应关系，值域．
分组讨论：函数定义中有几个要素？如何判定两个给定变量间是否具有函数关系？
板书函数的三要素：定义域，对应关系和值域．强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②函数记号表示“是的函数”，而不是“等于与的乘积”．
例1．判断下列对应是否为函数：
（1）已知集合，集合，对应关系如下表：

你
我
他

石头
剪子
布

1
2
3

2
4
6
（2）已知集合，集合，对应关系如上表：
（3），，；
（4），这里,，．
解：（1）不是数集，（1）不表示函数．
（2）都是非空的数集，且对于任意一个，被唯一确定，且，（2）是函数．
（3）对于任意一个非零实数,被唯一确定，当时，是函数．
（4），,即给定一个,和它对应的有二个，()不是函数．
函数的判断方法：“两个非空数集，一个对应关系，中任一对中唯一．”
设计目的：抽象问题具体化，有利于学生对事物本质的认识．同时触及学生情绪和意志领域的教学法有利于发挥高度有效的作用．
例2.判断下列图象是否为函数的图象
y y
x

（1） （2）
解：（1）图中任一对唯一，即直线与图中曲线只有一个交点，是函数的图象．
（2）图中任意一个的值对应两个、一个或零个的值，即直线与图中曲线有两个交点的可能．不是函数的图象．
设计目的：抽象的函数概念转化为具体图形语言，在研究图象时，注意代数刻画以求思考和表述的精确性，即通过直线与曲线有一个或零个交点形象生动地描述函数概念．
例3．已知函数,（1）求函数的定义域；
（2）求,的值；（3）当时，求的值．
解：（1），且，即,定义域是．
（2），．
（3）,；．
设计目的:（1）求函数定义域的方法：①开偶次方根其根号下面非负；②分母不为零．
（2）理解和：表示当时函数的值，是一个常量；而是自变量的函数，一般情况下，它是一个变量，是的一个特殊值．
例4 下列函数中哪个与函数相等？
(1)；（2）；（3）；(4)．
解：（1）函数定义域与不相等．这个函数与不相等．
（2）函数与的定义域和对应关系相同，是同一函数．
（3）函数与对应关系不相同，这个函数与不相等．
（4）函数与函数定义域不相同，这个函数与不相等．
设计目的：(1)通过判断函数是否相等认识函数的整体性．值得注意的是，在函数的三个要素中，由于值域由定义域和对应关系确定，所以只要两个函数的定义域和对应关系完全一致，这两个函数就相等．(2)进一步加深对函数概念的理解．
5．3 课堂练习，深化理解
1.函数的定义域，对应关系和值域各是什么？请用函数的定义进行描述．
2.判断下列对应是否为函数（1）高一（1）班的每一个学生对应高一（1）班的每一个座位；
（2）某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，列表表示如下：
笔记本数
1
2
3
4
5
钱 数
5
10
15
20
25
3.已知集合,,下列各对应关系不是函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4.课本P22，练习1．
5.课本P22，练习2．
6.课本P22练习3．
教学建议：函数概念讲解后做课堂练习1；例1讲解后做课堂练习2；例2讲解后做课堂练习3；例3讲解后做课堂练习4、6；例4讲解后做课堂练习5．
设计目的：根据维果斯基的最近发展区理论，在学生学习用集合与对应的语言刻画出函数概念的基础上，通过练习题给学生搭建思维平台，缩小学生认知水平与认知目标之间的差异，提高单位时间的教学效率．
5．4 课堂小结，总结提高
主要内容：函数的概念，函数的定义域，对应关系和值域等概念；函数相等的概念．主要方法：观察与归纳的思想方法、定义法．
5．5 布置作业，巩固知识
课本P28-29习题1.2组第1、2、4题；组第1题．

附件4：
“变化率问题”教学设计与教学反思
一、内容和内容解析
内容：均变化率的概念及其求法.
内容解析：本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-2）》第一章“导数及其应用” 的第一节“变化率与导数”中的“变化率问题”.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透.
教学重点：函数平均变化率的概念.
二、目标和目标解析
目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤.
目标解析：
(1)经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过