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1平面向量及其线性运算
教学内容：平面向量及其线性运算（2课时）
教学目标：理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义，掌握平面向量的线性
运算（向量加法、减法、数乘）的性质及其几何意义，理解平面向量共线的条件
和平面向量的基本定理．
教学重点：平面向量的线性运算．
教学难点：用基底表示平面内的向量．
教学用具：三角板
教学设计：
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量；向量的基本要素：大小和方向.
（2）向量的表示：
①几何表示法；用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的
方向表示向量的方向；②字母表示：或.
(3) 向量的长度（模）：即向量的大小，记作或.
(4) 特殊的向量：零向量：；单位向量：为单位向量.
(5) 相等的向量：大小相等，方向相同的向量.
(6) 相反向量：.
(7) 平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行(共线)向量，记作∥.
2. 向量的线性运算
运算
运算法则
运算性质
向量加法
是一个向量，
平行四边形法则
三角形法则

向量减法
是一个向量，
三角形法则

数乘向量
是一个向量,
满足，
时, 同向；
时, 异向；
时, .

3.重要定理、公式
（1）平面向量基本定理：如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平
面内任一向量，有且仅有一对实数，，使. 其中不共线的向量，
称为基底.
（2）向量共线定理：向量与向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得，
即∥.
二、典型例示
例1 判断下列命题是否正确：
① 零向量没有方向；② 两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③ 单位向量都相等；④ 在平行四边形中，一定有；
⑤ 若，，则；⑥ 若∥，∥，则∥；
⑦ 的充要条件是且∥；⑧ 向量就是有向线段；
⑨若∥，则直线∥直线；⑩ 两相等向量若共起点，则终点也相同.
解：只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确，是因为有向线段仅仅是向量的直观体
现，我们可以用有向线段来表示向量，但向量可以用不同的有向线段表示，只要
这些有向线段的长度相等方向相同即可，因此向量与有向线段是有区别的.
注：正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提．
例2 （1）化简下列各式：①；②；
③；④；⑤.
（2）若是的中点，则 ， ， .
注：正确运用向量的运算法则和运算律进行化简，尤其要注意差向量起点和终点的选择．
例3 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
注：逆用向量的运算法则，体现逆向思维.
例4 设，，，判断下列命题的真假：（1）若，则
三个向量可构成；（2）若三个向量可构成，则；并由此回答下列
问题：若命题甲为，命题乙为三个向量可构成，则命题甲是命题乙的什
么条件？
注：注意向量运算的几何意义，体现数形结合思想.
例5如图，梯形中，∥且，，分别是和的中
点，设，，试用，表示和.
解：
；
.
注：关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径，然后再借助于向量的运算逐步转
化成用基底表示．
三、课堂练习
1．已知分别是的边上的中线,且,则为（ ）
A. B. C. D.
2．已知,则是三点构成三角形的　　　（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D，则 .
4. 化简：
（1）_____________；
（2）______________；
（3）______________.
5. 判断下列命题是否正确
（1）若，则.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若，则是平行四边形.
（4）若是平行四边形，则.
（5）若，则.
（6）若，则.
6. 若，，与的方向相反，则 .
四、课堂小结
五、课外作业
1．下面给出四个命题：①对于实数m和向量，恒有
②对于实数m、n和向量，恒有
③若
④若，则m=n 其中正确的命题个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．在平行四边形中，若，则必有 ( )
A. B. C.是矩形 D.是正方形
3．下列命题中，正确的是（ ）
A.若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
4. 下列说法中错误的是（ ）
A. 向量的长度与向量的长度相等　
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
5．分别是的边的中点，且给出下列命题
① ② ③ ④
其中正确的序号是_________。
6．若，则__________。
7. 两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是______。
8. 如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。
9. 已知是内的一点，若，
求证：是的重心.
10. 在水流速度为的河中，如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12，求
船的航行速度与方向。

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