剖析高考题谈谈解答题备考策略.doc

对全国高考数学压轴试题的别解赏析
题1:全国卷理科第21题（文科第22题）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
别解：（Ⅰ）设椭圆方程为.∵A、B在椭圆上，且设A()、B()，
∴ ①
②
①—②，得
，也即
,
继续变形，得
.
而直线AB的斜率为，由与共线得，这样可得

从而离心率为所求。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆方程为；另可设直线AB的方程为：。则A()、B()是方程组
的两组解。
解上方程组，得

这样由在椭圆上，即在椭圆上，得

[]2=3
从而化简得为定值。
第一问回避具体的，设而不求，通过两式相减整体处理产生“斜率式”、“向量式”，问题获得简洁解法，这是差分法的效果使然，可谓特技；第二问盯着不放，直接求解方程，看似笨拙，实则反朴归真，运用基础知识解决基本问题，是为通法。通法与特技相辅相成，相得益彰。
题2:全国卷理科第22题
（Ⅰ）设函数，求的最小值；
（Ⅱ）设正数满足，证明
。
别解：（Ⅰ）令对计算二阶导数：

由二阶导数得为下凸（凹）函数，进而可得

令， 得
这样在时取得最小值-1。
（Ⅱ）由（Ⅰ）为下凸函数满足，即
∵正数满足，
∴。于是有

………

以上各式相加，得
++…+]

=
等号当且仅当时取得。从而原不等式得证。
给你一种工具让你来应用解题，是近年来高考考题的一大亮点。上面解法通过构造下凸函数反复使用性质进行放缩迭加，体现了不等式证明的灵活性和技巧性。本题的高等数学背景是凸（凹）函数的性质，这在2004年全国卷2理22题已经考过。由此我们不难发现函数和不等式解答试题是近年来高考命题的重要题型，考查基础知识主要表现在新旧内容的结合如函数与导数的综合；集中体现使用新观点、新方法来解决传统问题如用导数的方法研究解决函数的单调性与最值等问题。

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