高三文科数学综合练习十.doc

2013-2014学年度第一学期
如皋市第二中学高三年级第一次学情检测考试
数 学 试 题
命题人：刘正岳 审核人： 高三文科数学组
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 若全集为实数集，集合=
2. 函数则的值为　　　　
3. 已知一个圆锥的底面圆的半径为1,体积为,则该圆锥的侧面积为__________
4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别是，若，且，则△ABC的面积等于
5. 已知，则的值为
6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为
7. 若命题“,使得”为假命题,则实数的范围________
8. 设表示两条直线,表示两个平面,现给出下列命题:
① 若,则; ② 若,则;
③ 若,则; ④ 若,则.
其中正确的命题是___________ .(写出所有正确命题的序号)
【答案】④

9. 在中，若,，则
10. 观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为
11. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是

12. 已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为
13. 已知函数，设，若，则的取值范围是
14. 若函数满足，且，则 _
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，证明为等边三角形．
解：（Ⅰ）

………………………………………………………3分
………………………………………………………………………5分
所以 ………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题意知：由题意知：，解得：， …………………………8分
因为, ,所以 …………………………9分
由余弦定理知： ………………………………………10分
所以 因为，所以，
即：所以 ………………………………………………………11分
又，所以为等边三角形. …………………………………………………12分
16. 在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，点是的中点.

（1）求证：平面； （2）求证：平面⊥平面.
解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，------------2分
在三角形DPB中，EF为中位线，
EF//PB, --------4分 F
又，

平面；--------6分 w
（2）平面 ，
------------8分
又，
------------10分

------------12分
17. 如图，半径为1圆心角为圆弧上有一点C．
（1）当C为圆弧 中点时，D为线段OA上任一点，求的最小值.
A
E
D
C
B
（2）当C在圆弧 上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，
求·的取值范围．
解：（1）以O为原点，以为x轴正方向，建立图示坐标系，
设D（t，0）（0≤t≤1），C（）………………………2′
∴=（）
∴==（0≤t≤1）…4′
当时，最小值为…………………………6′
（2）设=（cosα，sinα）（0≤α≤π）
=（0，）—（cosα，sinα）=（）………8′
又∵D（），E（0，）
∴=（）…………………………10′
∴·==…………12′
∵≤≤…………………………13′
∴·∈[]…………………………14′

18．已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.
（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；
（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.
解：（Ⅰ） ，
……………………………………………3分
因为为方程的两个不相等的实数根.
所以，……………………………………………………………4分
解得：，,所以：……………………………………………………6分
（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是 …………9分

………………………………12分

19.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．
公路
公路
l1

B

F

C

E

l2

D

A

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．
（Ⅰ）如图，过作，垂足为，由题意得，公路
公路
l1

B

F

C

E

l2

D

A

M

故有，，． 4分
所以 5分

． 8分
（Ⅱ）设(其中)，
则． 10分
令得，即，得． 11分
列表

+
0
-

单调递增
极大值
单调递减
所以当时有，此时有． 15分
答：排管的最小费用为万元，相应的角． 16分

20. 已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.
解: （Ⅰ） ………………………………………2分
①当时，恒有，则在上是增函数；………………………4分
②当时，当时，，则在上是增函数；
当时，，则在上是减函数 …………………6分
综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数. …………………………………………………7分
(Ⅱ)由题意知对任意及时，
恒有成立，等价于
因为，所以
由（Ⅰ）知：当时，在上是减函数
所以…………………………………………………………………10分
所以，即
因为，所以…………………………………………………12分
所以实数的取值范围为 ………………………………………………………13分