高中数学教学中“余弦定理”教学案例分析.doc

高中数学教学中“余弦定理”教学案例分析

一、设计思路 
建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 
二、教学过程 
1、设置情境 
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。 

2、提出问题 
师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模） 
能，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。 
师：能用正弦定理求解吗？为什么？ 
不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。 
师：这个问题的实质是什么？ 
在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。 

3、解决问题 
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 
先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化） 
可以先在直角三角形中试探一下。 
直角三角形中 （勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造） 

师：垂足 D一定在边BC上吗？ 
不一定，当角 C为钝角时，点D在BC的延长线上。 
（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题） 
在锐角三角形 ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC 
又 BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC 

∴ c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2 
=b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C 
=a 2 +b 2 -2abcosC 
同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 
b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 
在钝角三角形 ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D， 
在直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2 ，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC 

∴ c 2 =(bsinC) 2 +(a-bcosC) 2 
=b 2 sin 2 C+a 2 -2abcosC+b 2 cos 2 C 
=a 2 +b 2 -2abcosC 
同理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 
b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 
同理可证 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 
b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 
师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？ 
4、反思应用 
师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？
知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。 
余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 

师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上） 
解：由余弦定理，得 
BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 -2AB.ACcosA 
＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ 
＝ 3.571 
∴ BC≈1.89(m) 
答：顶杆 BC约长1.89m。 
师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？ 
不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。 
师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？ 
已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。 
三、教学反思 
本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。