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高中数学必修——第一章集合与函数 测试题
一、选择题（每小题4分，共32分）
U
1、图中阴影部分表示的集合是 ( )

B
A
A. B.
C. D.

2、下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是 （ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
3、已知集合A={≤2，}，B={x≥a}，且，则实数a的取值范围是（　 ）
（A）a≥－２ （B）a≤－２ （C）a≥２ （D）a≤２
4、设全集，若，，
，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
5、设P=，则P、Q的关系是 （ ）
（A）PÍQ （B）PÊQ （C）P=Q （D）PÇQ=
6、下列四组函数，表示同一函数的是 （ ）
（A）f (x)＝, g(x)＝x （B） f (x)＝x, g(x)＝
（C）f (x)＝, g(x)＝ （D）f (x)＝|x＋1|, g(x)＝
7、函数的图象是图中的 （ ）

8、某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h与时间t的函数关系式是，则炮弹在发射几秒后最高呢？ （ ）
A. 1.3秒 B. 1.4秒 C. 1.5秒 D 1.6秒
二、填空题（每小题4分,共16分）
9、已知集合，则集合A的非空真子集的个数是
10、已知集合M={0，1，2}，N={}，则集合= ，= 。
11、A={－２＜x＜5}，B={x≤3或x≥8}，则（）（）＝
12、设f(x)＝，则f[f()]＝
三、解答题（每大题13分，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
13、已知集合，.
（1）当m=3时，求集合，； （2）若，求实数m的取值范围。

14、设集合,
（1）若，求a的值组成的集合C。 （2）若，求a的值。

15、求下列函数的值域：
⑴ ； ⑵ ；
⑶,x{0,1,2,3,4}； ⑷ （x[0,3]）

16、某市场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（元）与日销售量y（件）之间有如下表所示的关系。
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
（1）根据表中提供的数据，确定y与x的一个函数关系式y=f（x）；
（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

参考答案：
1—4：ADBB 5—8：DDCC
9.6 10. 11. 12.
13.① ②
14. ① ②
15.① ②
③ ④
16. ①
② 当x=40时，y有最大值300

高中数学必修一第二章基本初等函数 测试题
一、选择题：
1．已知p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是 （ B ）
A． B． C． D．
2、已知，则 （ D ）
A、 B、 C、 D、
3．函数当x>2 时恒有>1，则a的取值范围是 （ A ）
A． B．0 C． D．
4．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( B )
A．10% B．16．4% C．16．8% D．20%
5． 设g(x)为R上不恒等于0的奇函数，(a＞0且a≠1)为偶函数，则常数b的值为 （ C ）
A．2 B．1 C． D．与a有关的值
6．当时，函数和的图象只可能是 （ A ）

7、设，则 （ C ）
A、 B、 C、 D、
8．设f(x)=ax，g(x)=x，h(x)=logax，a满足loga(1－a2)＞0，那么当x＞1时必有 ( B ）
A．h(x)＜g(x)＜f(x) B．h(x)＜f(x)＜g(x) C．f(x)＜g(x)＜h(x) D．f(x)＜h(x)＜g(x)

9、某商品价格前两年每年递增，后两年每年递减，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ A ）
A、减少 B、增加 C、减少 D、不增不减
10． 对于幂函数，若，则，大小关系是（ A ）
A． B．
C． D． 无法确定
二、填空题
11．已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 (0,1) .
12．我国2000年底的人口总数为M，要实现到2010年底我国人口总数不超过N（其中M<N），则人口的年平均自然增长率p的最大值是.
13．将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为.
14．已知－1<a<0，则三个数由小到大的顺序是.
15．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 5 .
16．函数y= 的单调递增区间是.
17．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 0
三、解答题：
18、判断函数的奇偶性单调性。
奇函数，函数是减函数。
解：∵，
∴
即，∴函数是奇函数。
设，设，
则
且

∵，∴
∴，即，∴函数在定义域内是减函数。

19．已知函数(a、b是常数且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有ymax=3，
ymin=，试求a和b的值.
解：令u=x2+2x=(x+1)2－1 x∈[－，0] ∴当x=－1时，umin=－1 当x=0时，umax=0

20．已知函数f(x)=lg(a x2+2x+1)
（1）若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围及f(x)的值域；
（2）若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围及f(x)的定义域.
解：（1）因为f(x)的定义域为R，所以ax2+2x+1>0对一切xR成立．
由此得解得a>1. 又因为ax2+2x+1=a(x+)+1－>0，
所以f(x)=lg(a x2+2x+1) lg(1－)，所以实数a的取值范围是(1,+ ) ,
f(x)的值域是
( 2 ) 因为f(x)的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域(0, +).
当a=0时，u=2x+1的值域为R(0, +)；
当a≠0时，u=ax2+2x+1的值域(0, +)等价于
解之得0<a1. 所以实数a的取值范围是[0.1] 当a=0时，由2x+1>0得x>－,
f (x)的定义域是(－,+)； 当0<a1时，由ax2+2x+1>0
解得
f (x)的定义域是

21．（14分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

解：设日销售金额为y（元），则y=pQ．

当，t=10时，(元)；
当，t=25时，（元）．
由1125>900，知ymax=1125（元），且第25天，日销售额最大.
22．如图，A，B，C为函数的图象

上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t1).
(1)设ABC的面积为S 求S=f (t) ；
(2)判断函数S=f (t)的单调性；
(3) 求S=f (t)的最大值.

解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.

（2）因为v=在上是增函数,且v5,
上是减函数，且1<u; S上是增函数，
所以复合函数S=f(t) 上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1)

第三章 函数的应用
一、基本内容串讲
本章主干知识是：零点与方程根，用二分法求方程的近似解，函数的模型及其应用
1．函数与方程
（1）方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。
（2）二分法：二分法主要应用在求函数的变号零点当中，牢记二分法的基本计算步骤，即基本思路为：任取两点x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止．
2．函数的模型及其应用
（1）几类不同增长的函数模型
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2) 函数模型及其应用
建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．
解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．
二、考点阐述
考点1函数的零点与方程根的联系(A )
1、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）
A．函数在或内有零点 B．函数在内无零点
C．函数在内有零点 D．函数在内不一定有零点
解析：C 唯一的零点必须在区间，而不在
2、．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：D 或
3、 求零点的个数为 （ ）
A． B． C． D．
解析：C
，显然有两个实数根，共三个；
4、函数的零点个数为 。
解析： 分别作出的图象；
考点2 用二分法求方程的近似解( C关注探究过程)
5．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
解析： 令
6．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
解析：B 。
考点3 函数的模型及其应用( D关注实践应用)
7、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
 解析：（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。
将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，
所以y=0.2x（x∈N）。
因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为
95+0.5×15=98（万公顷）。
（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得
95+0.2x－0.6(x－5)=90，
解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。
三、解题方法分析
1．函数零点的求法
【方法点拨】对于一些比较简单的方程，我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的
点， 对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起
壹点， 来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根。
例1求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点．
【解析】：对求简单的三次函数的零点：一般原则是进行分解因式，再转化为求方程的根将零点求出．y＝x3－2x2－x＋2＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函数的零点为－1、1、2．
【点评】：本题主要考查考生对函数零点概念的理解，函数零点与方程的关系．
2．二分法求方程近似解
【方法点拨】对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，
通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值．
例2借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间（1，2）内的近似解
（精确到0.1）。
【解析】：原方程即，令，用计算器或计算机作出函数、的对应值表（如下表）和图象（如下图）。

-2
-1
0
1
2

2.5820
3.0530
2.7918
1.0794
-4.6974

　　观察图或上表可知，说明这个函数在区间（1，2）内有零点。
　　取区间（1，2）的中点，用计算器可得。因为，所以。
　　再取（1，1.5）的中点，用计算器可算得。因为，所以。
　　同理，可得，。
　　由于|1.3125-1.25|＝0.0625＜0.1，此时区间的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原方程精确到0.1的近似值为1.3。
【点评】：一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）＝0来说，我们用二分法求出
方程的近似解．
3．利用给定函数模型解决实际问题
【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式，我们需要根据函数关系式来处
理实际问题，有时关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来
确定之后，才能使问题本身获解．
例3有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
【解析】： 设投入甲产品资金为x万元（，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y万元．则= 当时， 答：对甲、乙产品各投资为1.5万元，获最大利润为万元。
【点评】：本题是给定函数求二次函数最值的应用问题，解答这类的问题关键是通过配方
求二次函数的最值。
4．建立确定的函数模型解决实际问题
【方法点拨】通过观察图表，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机对数据进
行处理，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题。
例4 2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地
震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J）
1.6
3.2
4.5
6.4
震级（里氏）
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量
(1)画出震级（）随地震强度（）变化的散点图；
（2）根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级（）随地震强度（）变化关系：，
（3）四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？（取）
【解析】：（1）散点图如下图：

（2）根据散点图，宜选择函数。
（3）根据已知，得解得：

当时， （J）
【点评】：函数模型的选择一方面要分析题中的实际意义，另一方面，要考虑函数的本身特点。
四、课堂练习
1．函数f(x)=2x+7的零点为 （ ）
A、7 B、 C、 D、-7
2．方程的一个实数解的存在区间为 （ ）
A、（0，1） B、（0.5，1.5） C、（-2，1） D、（2，3）
3．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A B C D 不能确定
4．函数在区间（1，2）内的函数值为（ ）
A、大于等于0 B、等于0 C、大于0 D、小于0
5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b<a），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）

6．若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）
A B C D
7．方程的实数解的个数为________________。
8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式为________．
9．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积V与x的函数关系式是 。
10．老师今年用7200元买一台笔记本。电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一。三年后老师这台笔记本还值
11．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：

－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2

－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数在哪几个区间内有零点？为什么？
12．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
13．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点。
14．有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率．（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？
15．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
参考答案
1-6 C B B D C A 6提示：作出图象，发现当时，函数与函数有个交点。7.2 8. y=av2+（v＞0） 9. 10.
11.解：因为函数的图象是连续不断的，并且由对应值表可知，
，，所以函数在区间（－2，－1.5），
（－0.5，0）以及（0，0.5）内有零点。
12.解：设成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：y1=100+（a+100）×2．4%
若月末售出，可获利y2=120－5=115（元），y1－y2=0．024a－12．6=0．024（a－525）
故当成本大于525元时，月初售出好；成本小于525元时，月末售出好．
13. 证明：函数的定义域为R，函数f(x)的图像在区间(2,3)上是连续的。
，，f(2)f(3)<0,函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个零点。
14.解：（1）设增长率为x，由题意得28400=7100（1+x）20,∴（1+x）20=4，
20lg（1+x）=2lg2，lg（1+x）≈0．03010，∴1+x≈1．072，∴x≈0．072=7．2%
（2）设y年可以翻两番，则28400=7100（1+0．08）y，即1．08y=4，∴y=，故18年后可翻两番。
15.解：根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式设为常数，且，，根据已知，得或 ，
显然更接近于1.37，故选用作为模拟函数较好

新思路教育 2011.1