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浅谈高中数学课堂中学生探究能力的培养
武汉市第十六中学高二数学组 孟俊清
【摘要】：高中数学新课程将科学研究式学习作为改革的突破口，以提高学生的科学素养为宗旨。新教材作为课程改革的物化形式，更是全面体现了课程改革的目标和内容。因此，如何在高中数学新教材中全面落实科学探究式学习,促使学生积极主动地学习成为高中数学新教材实施的重要问题。
关键词：高中数学教学，科学探究能力
《全日制普通高级中学数学教学大纲》明确指出：“培养学生的创新意识和实践能力要成为数学教学的一个重要目的和一条基本原则．在教学中要激发学生学习数学的好奇心，不断追求新知，要启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，要学会分析问题和创造性地解决问题，使数学成为再创造、再发现的教学。”就高中数学而言，科学探究能力的培养主要是指在数学课堂教学中，学生在教师指导下用科学探究的方式去获取知识、应用知识、解决问题的学习方式。它能促进学生思维水平的发展，提高学生运用知识、解决实际问题的能力，并从中感悟到科学研究的基本策略和方法，有利于培养学生的创新精神和实践能力。
一、创设问题情境，激发学生探索
“学起于思，思源于疑”。学生有了疑问才会去进一步思考问题，才会有所发展，有所创造，苏霍姆林斯基曾说：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要……”。而探究式思维活动的表现需要有一定的激发条件，因此，探究式教学常采用问题教学法，问题成为教学活动的开端，成为贯穿整个教学过程的主线，成为教学活动的归宿。这就要求教师在教学过程中创设一个学生能够明显意识到的问题情境，使学生产生认知上的困惑，从而激发探究欲望，这是探究式教学取得成功的基本条件之一。
主体性是素质教育的核心和灵魂．在教学中要真正体现学生的主体性，就必须使认知过程是一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用，在学习中学会学习．而创设问题情境，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，乃是主体参与的条件和关键。
在课堂上创设一定的问题情境，一方面培养学生的数学实践能力，有效地加强学生与实际生活的联系，让学生感受到数学知识无处不在，从而使学生把学习数学当作一种乐趣、懂得学习是为了更好地运用。另一方面可以拓展学生的思维，给学生充分的发展空间。创设问题情境的方式与作用如下：
1、创设开放性问题情境，引导学生积极思考
 案例　直线ｙ＝ｘ＋ｍ与抛物线ｙ＝2ｘ2相交于Ａ、Ｂ两点，条件 ，求直线ＡＢ的方程．（需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
 此题一出示，学生的思维便很活跃，补充的条件形形色色．例如：
　 ①｜ＡＢ｜＝8；
　 ②若Ｏ为原点，∠ＡＯＢ＝90°；
　 ③ＡＢ中点的纵坐标为5；
　 ④ＡＢ过抛物线的焦点Ｆ．
　 此案例涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生的确进行了积极的思考与探索．
　 2、创疑设惑，引导学生主动参与
　 案例　双曲线上ｘ2／25－ｙ2／144＝1一点Ｐ到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（　　）．
　Ａ．Ｐ到左焦点的距离为8
　Ｂ．Ｐ到左焦点的距离为15
　Ｃ．Ｐ到左焦点的距离不确定
　Ｄ．这样的点Ｐ不存在
　 教学时，根据学生平时练习的反馈信息，有意识地示错如下：
　 错解1．设双曲线的左、右焦点分别为Ｆ1、Ｆ2，由双曲线的定义得
　｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜＝±10．
　∵｜ＰＦ2｜＝5，
　∴｜ＰＦ1｜＝｜ＰＦ2｜＋10＝15，故正确的结论为Ｂ．
　 错解2．设Ｐ（ｘ0，ｙ0）为双曲线右支上一点，则
　｜ＰＦ2｜＝ｅｘ0－ａ，由ａ＝5，｜ＰＦ2｜＝5，得ｅｘ0＝10，
　∴｜ＰＦ1｜＝ｅｘ0＋ａ＝15，故正确结论为Ｂ．
然后引导学生进行讨论辨析：若｜ＰＦ2｜＝5，｜ＰＦ1｜＝15，则｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＝20，而｜Ｆ1Ｆ2｜＝2ｃ＝26，即有｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＜｜Ｆ1Ｆ2｜，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，可见这样的点Ｐ是不存在的．因此，正确的结论应为Ｄ．
　 进行上述引导，让学生比较定义，找出了产生错误的在原因即是忽视了双曲线定义中的限制条件，所以除了考虑条件｜｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜｜＝2ａ，还要注意条件ａ＜ｃ和｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜≥｜Ｆ1Ｆ2｜．
通过上述问题的辨析，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了防御“陷阱”的经验，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权．
二、设计知识的再创造过程，让学生体验发现与创造
教材中的概念、公式、定理是学生学习的重要内容，对学生而言都是新的，但教师不必直接将各种方法、概念及定理灌输给学生，而是应该发挥学生主体性，引导学生运用已有的知识、经验、方法去探索和发现，从而获得新知，这对学生而言是一个知识的再创造的过程。
例如：在讲诱导公式sin(180°+ )=-sin 时，可以设计如下步骤：
（１）用三角函数定义求sin30°、sin210°（教师强调在同一坐标系中求）；
（２）由学生谈感想并进行猜想。
大部分学生得出下列结果：sin210°=-sin30°、sin(180°+ )=-sin（为锐角）。如果再经过思考呢？会有个别学生进一步得到：sin(180°+ )=-sin  ；
（３）引导学生验证。
教师设问提示：如何在同一坐标系中求sin 、sin(180°+ )呢？学生都在终边上取一点p(x , y)，设op=r，并顺利找到180°+ 的终边即终边的反向延长线。接着，有的学生在180°+ 的终边上任取一点p′，借助相似三角形性质验证；有的学生在取点后，令o p′=r，利用对称性验证。教师对学生的猜想和证明肯定后，要他们看教材进行比较，并展开讨论，有的说：“单位圆是画蛇添足”，有的说：“单位圆更简单”。这样学生在对知识的探索和争论中，获得对发现和创造的体验。
三、诱发好奇心理，让学生积极探索
教学中充分激发和利用学生的好奇心有利于提高课堂教学效果，而这样的过程又能使学生的好奇心理得到进一步强化。比如用现代教学手段增强新奇感（运用多媒体演示太空星球运动、向量的平移、基因的配对、动点的轨迹等），运用生活中的现象增强趣味性（用打桥牌时对牌的分布的可能性引入概率、用几只弹簧称演示向量的合成与分解），运用数学史料激发求知欲（用数学史上的三次危机引入无理数、用国际象棋发明者与印度国王的故事引入等比数列）。
在学生的好奇心被充分调动后，利用学生的好奇心和求知欲，给学生提供探索和发现的机会，鼓励学生透过现象看本质，激发他们追根求源的探索精神。如讲正弦定理时，不按照先推导公式再研究其应用的传统模式进行，而是先给几个具体问题让学生研究。
例如，在三角形ABC中，(1)已知a=3，b=4，B=60°，求A；
(2)已知a=3，A=30°，B=120°，求b等等。
学生分别用构造直角三角形的方法解决了这些问题后，自然产生这样的感觉：能否建立一个模式来统一解决呢？这样既激发了学生的探索热情，又使正弦定理的引入变得水到渠成。
再如，讲点到直线的距离公式时，学生自然地想到：过P(x0，y0)作直线L：Ax+By+C=0的垂线，先求垂足Q的坐标，再求︱PQ︱。我没有因其较繁而打断学生的思路，而是让他们继续操作并加以解决。学生解决后自己也感到计算过程的繁琐，意识到应该寻找更简捷的解决方法，经过一阵讨论反思后，探索性思维又一次展开了，最后引入公式。
四、进行研究性学习，引导学生探究
学生的研究性学习过程是学生自主分析、研究、探索、发现的思维过程，它与人类认识世界的过程非常相似，都要经历探索、实践、猜想、发现、失败、再探索，再实践，不断总结教训经过多次努力，最终从失败走向成功的过程。课堂教学由于时间的限制，不可能让学生经历多次反复的探索，但学生的探索过程也不会一次成功。研究性教学要展现学生的思维过程，应重点展示学生发生的错误，恰当分析引导，克服障碍、困难，由失败走向成功。
例如在我们研究抛物线的焦点弦的性质时，我曾经上过这样一节课，现整理如下：
教师：今天我们共同研究抛物线的焦点弦的有关性质。
当抛物线的焦点弦垂直于它的对称轴时，该焦点弦叫做抛物线的通径。如图(1)点F是抛物线的焦点，线段AB 是它的通径，若 ，对此我们能发现什么结论？
通过引导学生探索推理，得到如下结论
学生：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
教师：请同学们证明。
然后学生自己证明，主要两种证法： 1、用定义来证 ； 2、求出两点坐标。
教师：那么对于通径中的这些结论，在抛物线的一般焦点弦中会怎样呢？
思考后，有学生说

（1） （2）
： ， 就是说，抛物线的焦点弦的长恒是定值 。
教师：这是一个很大胆的猜想，其结论一定正确吗？几分钟后。
学生1：这猜想是错误的，可以通过一个特例来验证。
学生2 如图当抛物线的焦点弦AB 的倾斜角小于时，焦半径 增大， 减小。而增大的比减小的多。所以图（2）中的大于图（1）中的 。（大家都善意的笑起来，这只是观察并非证明。）
学生3 ：当抛物线的焦点弦的倾斜角由逐渐减小到时，抛物线的焦点弦就逐渐变成了抛物线的对称轴，它的长度将从趋向正无穷大。所以弦长为变量这猜想是错误的。
教师：太好了，从极限的角度来分析问题非常自然。那么这个猜想有没有合理的地方？
又有学生说：在所有焦点弦中是否通径长最短？
这又是一个很好的猜想。能否给于证明？
学生4：利用“均值不等式”得 ，又因为 ，所以 。
很多学生对这种解法有疑问，就是在一般焦点弦中 是否成立还不知道。
学生5 设 的方程为与抛物线 联立就可以了。
学生经过运算得出结论正确。那么等号能否成立？
由“均值不等式”中等号成立的充要条件可知，当且仅当时成立，此时抛物线的焦点弦 就是它的通径。
结论：抛物线的通径是焦点弦中唯一最短的。
五、培养化归意识，鼓励大胆猜想
归纳法是通过一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而得出一般结论的推理方法。以某些已知的事实和一定的经验为依据，对数学问题作出推测性的判断即猜想。化归意识的培养，不仅有助于实际问题的解决，而且有助于养成自觉地联想、自觉地调整思维方式的钻研精神和思考习惯。数学上的许多创造都是以猜想为前提的，著名的哥德巴赫猜想“任何一个大于２的偶数都可以表示成两个素数之和”就是一个典型的例子。
比如在讲等差数列的概念时，让学生填空：
（１）1，4，7，＿＿ ，13，＿
（２）3，0，＿ ，-6，＿ ，＿
引导学生将观察与思维有机结合，分析与猜测同步进行。
在平时的教学过程中，我们应有意识地提出问题而不忙于解答，先让学生猜想问题的答案，再运用所学数学知识进行解决、证明这是发展学生想象力和洞察力的有效途径。
数学的研究性学习充满了探索精神，在探索的历程中首先要让学生认真观察，严谨思考，大胆猜想发现问题，教师不是课堂上拥有至上权力的“指挥官”，而应该是一个“导演”或参与者。站在旁观者的的角度，积极参与，在问题的关键时刻恰当点拨、引导，对学生的多方面的想法进行整合，让学生们的探索能够顺利进行。
探索是数学的生命，学生是课堂的主人。数学教学的主要途径是课堂教学，而课堂是教师与学生、学生与学生、教材与学生相互作用的场所。在课堂上应采取各种可能性的措施极大地调动学生思维的积极性，发挥其学习的主观能动性，引导学生积极探索与创新，唤起学生对数学的热爱，让他们在迫切的需求下学习，使他们把数学学习成为自觉的学习活动，使学生真正成为课堂教学的主体，切实培养起良好的思维能力和数学素养，让学生真正成为有用之才！

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