带有任意弹性支撑的大型有面外支撑杆X撑结构屈曲分析.pdf

文章编号：1000-4750(2023)Suppl-0147-11带有任意弹性支撑的大型有面外支撑杆X 撑结构屈曲分析崔哲华1,2,3，康元顺1,3，张伟为1,2,3，曾晓辉1,3(1.中国科学院力学研究所，北京100190；2.中国科学院大学未来技术学院，北京100049；3.中国科学院大学工程科学学院，北京100049)摘要：X 型支撑结构已广泛应用于大型海洋工程主要支撑结构设计中，如设计使用不当，将有可能发生由支撑杆的屈曲失稳而引发的结构坍塌变形。在极限荷载下，X 撑杆的屈曲失稳本质上属于典型的多跨压杆稳定问题，其极限承载力与撑杆的结构组成、几何参数以及端部约束密切相关。该文主要研究有(无)面外支撑的非对称交叉支撑体系在任意弹性支撑下X撑结构屈曲特性，侧重于考察端部约束、受力形式、面外支撑刚度等因素的影响。首先基于线弹性理论框架，建立了双跨受压杆件平衡方程，利用牛顿迭代算法进行屈曲载荷计算，从而得到跨中连续的非对称交叉支撑杆的有效长度因子数值解，并对端点支撑刚度和跨中支撑刚度进行了敏感性分析。结合工程实践，给出了杆件屈曲长度系数和刚度约束条件关键设计参数。关键词：任意弹性支撑；屈曲分析；牛顿迭代法；屈曲长度系数；X 撑结构；刚度约束中图分类号：TU312文献标志码：Adoi:10.6052/j.issn.1000-4750.2022.05.S032BUCKLINGANALYSISOFLARGEOUT-OF-PLANEX-BRACESTRUCTUREWITHARBITRARYELASTICSUPPORTCUIZhe-hua1,2,3,KANGYuan-shun1,3,ZHANGWei-wei1,2,3,ZENGXiao-hui1,3(1.InstituteofMechanics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100190,China;2.SchoolofFutureTechnology,UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China;3.SchoolofEngineeringScience,UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China)Abstract:TheX-bracedstructurehasbeenwidelyusedinthedesignofmajorsupportstructuresinlarge-scaleoceanengineering,thecollapsedeformationofthestructuremaybecausedbythebucklinginstabilityofthesupportrodifitisnotdesignedproperly.Undertheultimateload,thebucklinginstabilityofX-bracedstructureisatypicalmulti-spanstabilityproblemofcolumnsinessence,anditsultimatebearingcapacityiscloselyrelatedtothestructuralcomposition,geometricparametersandendrestraintofthestrut.Thispapermainlystudiesthebuckling characteristics of X-braced structures with or without out-of-plane support under arbitrary elasticsupports,focusingontheinfluenceofendconstraints,forceformsandout-of-planebracingstiffness.Firstly,basedonthelinearelastictheoryframework,theequilibriumequationofdoublespancompressionbarwasestablished,andthebucklingloadwascalculatedbynewtoniterativealgorithm,soastoobtainthenumericalsolutionofeffectivelengthfactorforcontinuousasymmetriccrossstrutsinmid-span,andthesensitivityanalysisof the end support stiffness and mid-span support stiffness is also carried out.Combined with engineeringpractice,thekeydesignparameters,suchasbucklinglengthcoefficientandstiffness,aregiven.Keywords:arbitraryelasticsupport;bucklinganalysis;Newtoniterationmethod;bucklinglengthcoefficient;X-bracedstructure;stiffnessconstraint近年来，伴随着我国海洋科技逐渐向深水域发展，超大型海洋平台的研究与建设越来越受到相关产业机构和科研单位的重视，采取有效的措施来保证超大型海洋平台在复杂深海环境下安全收稿日期：2022-05-26；修改日期：2023-01-11基金项目：国家自然科学基金项目(11672306)通讯作者：曾晓辉(1972)，男，湖南人，研究员，博导，主要从事结构动力响应、稳定性和流固耦合领域研究(E-mail:).作者简介：崔哲华(1998)，男，山西人，博士生，主要从事工程力学研究(E-mail:);康元顺(1997)，男，贵州人，博士生，主要从事工程力学研究(E-mail:);张伟为(1996)，男，江苏人，博士生，主要从事工程力学研究(E-mail:).第40卷增刊Vol.40Suppl工程力学2023 年 6月June2023ENGINEERINGMECHANICS147稳定运行、提升海洋油气资源的开发效率具有重大意义。其中，设计带有面外支撑的大型 X 型支撑结构是近年来深水海洋平台导管架结构改进优化的一项关键技术，X 型支撑结构因其具有良好的承载能力、抗侧性能、造价低廉且易于安装等优点，已广泛应用于现代海洋工程主要支撑结构设计中1。然而深水区常伴有飓风、海啸等极端外部荷载环境，如果设计、施工或应用不当，极有可能发生由支撑杆的屈曲失稳而引发的结构坍塌变形。同时，从实际出发，避免因过度保守设计增加建造成本。因而需要进一步探究X 型支撑结构在极限荷载环境下屈曲失稳机理，提高结构的承载力。已有的研究中，X 撑的屈曲分析是基于线弹性屈曲理论并辅以数值计算进行的，即根据杆的受力分析建立其挠曲微分方程，其次代入杆的边界条件，通过求解特征值矩阵获得杆的屈曲长度系数2。针对海上导管架平台，国外学者 KNAPP 和DIXON3给出任意跨中连接的 X 撑结构分别在两端简支和两端固定下的屈曲长度系数解，发现受压杆两端均为简支时屈曲长度系数临界值趋近于1.0，而受压杆两端均为固支时屈曲长度系数临界值趋近于 0.5，即在固定端条件下更容易发生屈曲失稳，这表明当交叉构件提供的横向支撑得到适当利用时，可以有效提高结构的稳定性。但是其结果仅适用于双杆截面属性和杆长相等的假设条件3。STOMAN45则考虑了更一般的情况，考虑了交叉杆的相对刚度以及受拉杆端约束条件，基于能量法，得到了任意载荷比下受压撑杆临界载荷的封闭关系以及有效长度因子的解析表达式。根据计算公式，在任意约束条件下 X 撑杆的有效长度因子介于 0.351.0。THEVENDRAN 和WANG6针对非对称连接的 X 撑结构，基于能量法给出其受压构件临界屈曲载荷和有效长度系数，并得到了典型工况下 X 撑杆有效长度因子的曲线图。DAVARAN7侧重考虑了中心连接对X 撑结构平面外屈曲载荷的影响，给出了端部铰接、跨中铰接或半刚性(不连续)连接的 X 支撑有效长度因子的计算公式。MOON 等8研究了具有非连续连接 X 型支撑在具有不同的截面特性、长度和轴向载荷时的屈曲特性，给出了其有效长度因子的近似解。朱永庆等9针对国内外关于输电塔架中交叉斜材的计算长度因子进行了分析和验证，提出了斜材的布置、拉杆内力、受压和两杆交点变化对压杆稳定的影响，并给出相应的计算公式。陈勇等1011针对一般非对称交叉支撑杆系的弹性屈曲临界荷载进行了数值分析，建立了有效长度因子的闭式经验方程，与理论计算结果相吻合。目前针对具有面外支撑杆的 X 撑结构系统进行屈曲分析的研究较为少见，本组之前研究中只考虑了撑杆端部均为固定时的情形12。然而实际工程结构中撑杆端部支撑情况较为复杂，当端部无法提供适当的转动约束时，在极限荷载下使得撑杆屈曲方式发生改变，导致结构失效。因而在工程设计中，需考虑更为一般的情形(任意弹性支撑)。目前工程实践中，对于海上导管架 X 撑结构设计，主要参考国外规范 API13、ISO14以及ASCE15。而国内规范在这方面还有待发展。已有规范大多参照文献所给值，基于两端固支(铰支)的双跨受压杆件进行分析，在交点处仅考虑了平动刚度弹簧的约束，这种假设对于没有面外支撑的 X 撑结构是合理的。当在交点处存在面外支撑时，面外支撑杆的转动约束不能被忽略。此外，实际情况中端部约束一般不会是理想支座(固支、铰支)，而应看作有限的平动刚度约束和有限的转动刚度约束组合。因此，本文侧重考察跨中带有任意线弹性的双跨受压杆件稳定性问题，探究屈曲长度系数与撑杆端部弹性约束、面外支撑的弹性约束、交点连接位置以及双杆的载荷条件之间的关系。基于线弹性屈曲理论给出带有任意弹性约束下具有面外支撑杆 X 撑结构屈曲长度系数的数值解，将其退化解与已有文献结果中关于无面外支撑下屈曲长度系数的解析结果做对比，吻合度较好，其计算结果可为工程设计提供理论支撑。1任意端部弹性支撑下有面外支撑X 撑结构数学模型1.1模型描述图 1 为某陆丰-海上大型导管架平台模型图，模型主体主要由大跨度有面外支撑 X 撑空间桁架结构单元组成。在外界风、浪、流及自重作用下，两撑杆主要受到恒定轴力作用，即双杆受压或一杆受拉、一杆受压。模型四个端点通常连接在具有一定刚度约束的立柱上。不考虑交叉点处复杂的连接方式以及端点处任何偏心构造，其横向支撑刚度和转动弹性支撑刚度主要由支撑对角线和面外支撑杆提供16。148工程力学图1陆丰-海上大型导管架Fig.1LargeoffshorejacketofLufengL1L2L1L2L1L2假设杆件满足线弹性、小变形条件，基于图 2所建立的坐标系，大型有面外支撑的 X 撑结构可建模为双对称模型。长度为 L2的面外支撑杆DD垂直于 2 个对称的 X 支撑平面，即：长度为L的面内撑杆AB=AB、长度为 L 的面内撑杆CE=CE。D 点作为撑杆交叉点，将两撑杆分为4 部分，即：AD 段长为、BD 段长、CD 段长为 L1、DE 段长为 L2。考虑到面内撑杆的几何不对称性，L1+L2+，并且交点不一定在中点，L1L2。假设 AB 杆两端受压力荷载 F，CE 杆两端受拉力荷载 P，而 AB杆与 CE杆未受外力作用。受力的不对称由两支撑对角线的端部荷载特性决定，即|F|P|。此外，设 AB 杆的弹性模量为 E1，截面惯性矩为 I1，CE 杆的弹性模量为 E，截面惯性矩为 I。面外支撑杆 DD的弹性模量为 E2，截面惯性矩为 I2。支撑对角线的弯曲刚度不一致以考虑材料的不对称，即 E1I1EI。如图 2 所示，在有面外支撑的 X 支撑系统中，通过 LIBOVE17提出的屈曲平面判定准则，AB 杆受压屈曲模式主要分为面内屈曲(yoz 平面)和面外屈曲(xoy 平面)2 种工况。假设 AB 杆两端受压、CE 杆两端受拉。对受压杆 AB 进行受力分析，可考虑端部带有任意线弹性支撑的在交点处有横向支撑与转动支撑的计算模型。在交点处的支撑刚度由拉伸杆件和面外支撑杆件提供。1.2公式推导y1y2以 AB 杆为研究对象进行受力分析。如图 3 所示，设 AB 杆两端受轴向压力 F，在 A、B、D 处由于刚性连接，分别受弯矩 MA、MB、MD。设AD 段任意一点的挠度为 y1(x1)、转角为(x1)，BD 段任意一点的挠度为 y2(x2)、转角为(x2)。xMAyAFFAx1xx2LBFBFDDMBMDFy(x)oy1(0)y1(0)y1(x1)y2(x2)y2(x2)y1(x1)y(x)y2(L)y2(L)图3连续压缩杆件的分析模型Fig.3Analysismodelofcontinuouscompressionbar建立平衡微分方程，在 AD 段，即 0 x1x 时，控制微分方程为：E1I1y1(x1)=FAx1MAF(y1(x1)y1(0)(1)引入，令：2=FL2E1I1(2)y1(x1)容易求得的通解，即 AD 段的挠曲线方程为(a、b 为待定常数)：y1(x1)=acos(Lx1)+bsin(Lx1)+FAFx1MAF+y1(0)(3)x1式(3)对取一阶导数，可得AD 段的转角方程：y1(x1)=aLsin(Lx1)+bLcos(Lx1)+FAF(4)同理，在 BD 段，即 xx2L时，控制微分方程为(c、d 为待定常数)：y2(x2)=ccos(Lx2)+dsin(Lx2)+FBF(Lx2)+MBF+y2(L)(5)x2同样对取一阶导数，可得 BD 段的转角方程：y2(x2)=cLsin(Lx2)FBF+dLcos(Lx2)(6)在式(3)、式(4)中令 x1=0，得到压杆 A 处的L3L2L1L2LA B C E PPD ABCEDFFxyzoLL1图2端点不同支撑情况的几何模型Fig.2Ageometricmodelofdifferentsupportsattheendpoints工程力学149变形满足：aMAF=0(7)bL+FAFy1(0)=0(8)在式(5)、式(6)中令 x2=L，得到压杆 B 处的变形满足：ccos()+dsin()+MBF=0(9)cLsin()+dLcos()FBFy2(L)=0(10)压杆在 D 处变形连续，满足变形连续性条件，即：y1(x)=y(x)=y2(x)(11)y1(x)=y(x)=y2(x)(12)在式(3)和式(4)中令 x1=x，得：y1(x)=acos(Lx)+bsin(Lx)+FAFxMAF+y1(0)(13)y1(x)=aLsin(Lx)+bLcos(Lx)+FAF(14)在式(5)和式(6)中令 x2=x，得：y2(x)=ccos(Lx)+dsin(Lx)+FBF(Lx)+MBF+y2(L)(15)y2(x)=cLsin(Lx)FBF+dLcos(Lx)(16)由静力平衡条件可知：Fy=0:FA+FB+FD=0(17)Mo=0:FAx+MA+MB+MDy1(0)F+y2(L)F+FB(Lx)=0(18)根据线弹性屈曲理论，杆端和连接处的变形符合胡克定律，即：Fi=Ki(i)(19)Mi=Ci(i)(20)i 分别取 A、D、B 代入式(19)、式(20)可得：FA+KA(A)=0(21)MA+CA(A)=0(22)FD+KD(D)=0(23)MD+CD(D)=0(24)FB+KB(B)=0(25)MB+CB(B)=0(26)y1yy2y1y2式(21)式(26)中，(A)=y1(0)、(D)=y(x)、(B)=y2(L)、(A)=(0)、(D)=(x)、(B)=(L)。支撑刚度系数 KA、CA、KD、CD、KB和CB由端点连接杆件和面外支撑杆件提供。联立方程式(7)式(26)，经整理化简可以得到一个关于16 个参量的齐次线性方程组，即 a、b、c、d、FA/F、MA/F、FD/F、MD/F、FB/F、MB/F、y1(0)、(0)、y(x)、y(x)、y2(L)、(L)，有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为 0，即：?10000100000000000L00100000010000cosLxsinLx00 x10000101000LsinLxLcosLx0010000000010000cosLxsinLx0000Lx100101000LsinLxLcosLx00001000010000cossin00000100000000LsinLcos00001000000100001010100000000000 x101Lx11000100000100000KAL22E1I10000000000100000CAL22E1I10000000000100000KDL22E1I10000000000100000CDL22E1I10000000000100000KBL22E1I10000000000100000CBL22E1I1?=0(27)在式(27)中，中间支撑的刚度系数 KD和CD由拉伸杆件 CE 杆或面外支撑杆件提供，而KA、CA、KB和 CB由端点约束决定，K=、C=0代表铰支端约束，K=、C=代表固定端约束。下150工程力学面详细讨论对端点弹性约束的数值分析。1.3面外支撑刚度计算1.3.1线刚度 KD1)由于 AB 杆两端受压，在极限荷载下其屈曲方式主要分为面内屈曲(即平行于 yoz平面)和面外屈曲(即平行于xoy 平面)。当 AB 杆发生面内屈曲时，线刚度 KD由 CE 杆提供：KD=EA/L(28)2)当 AB 杆发生面外屈曲时，由 Chen 等11的工作可知，受拉支撑对角线 CE 提供的线刚度为：KCE=Psinh()L(1)sinh()sinh()sinh()(29)式中：2=Pl2/(EI)(30)=L1/L(31)特别地，当 P=0 时，CE 杆的线刚度为：KCE=3EI2(1)2L3(32)此时，线刚度 KD由面外支撑杆 DD与无外力的 X 支撑 ABCE共同提供：KABCD=3E1I1L3(1)2+3EIL3(1)2(33)KDD=E2A2L2(34)KD=KCE+KABCDKDDKABCD+KDD(35)此外，定义无量纲平动刚度因子 m：m=K/Ke(36)式中，Ke代表单位线弹簧刚度：Ke=3EI/L3(37)1.3.2角刚度 CD1)当 AB 杆发生面内屈曲时，受拉杆件 CE 可通过对图 2 建立平衡微分方程，通过推导得到CE 杆提供的转动约束 CD为：CD=PL1sinh()cosh()cosh()sinh()(38)当 P=0 时，式(38)应转换成：CD=4EILL1(LL1)(39)2)当 AB 杆发生面外屈曲时：CD=3EIL1(3+(1)3+3)(40)此外，定义无量纲转动刚度因子 n：n=C/Ce(41)式中，Ce代表单位转动弹簧刚度：Ce=4EI/L(42)综上，特征值矩阵中跨中的弹性刚度 KD和CD由 1.3 小节中的方法进行计算。由此，可对无量纲刚度系数、长度比例系数和拉压比等进行参数化研究。2程序验证为便于结果讨论，定义无量纲线刚度系数：=KDL/F0(43)其中：F0=2E1I1/L2(44)另外，定义无量纲角刚度系数为：=CD/(F0L)(45)将屈曲荷载无量纲化为 Fcr/F0。而杆件长度比例系数为：=L1/L=x/L(46)=L1/L=x/L(47)须定义无量纲拉压比(CE 杆受力与 AB 杆受力之比)：/=P/F(48)=P=F式中：，。P此处，为 CE 杆的无量纲受力大小：P=P/F0(49)F而 为 AB 杆的无量纲受力大小：F=F/F0(50)L1L2对于受压杆 AB，假设/=1，即只讨论=0.5 的情况。同时认为=、L=L、E1I1=EI。此外，在分析同一工况时，认为受压(拉)杆 AB(CE)的两端约束情况一致。为验证上述理论方法的有效性，令交点平动刚度为 0，即不考虑面外支撑杆的作用，可将交点视为无面外支撑的 X 撑杆结构。将计算结果和现有文献结果：PICARD 和 BEAULIEU18所做的实验(受压杆件与受拉杆件的端点均为铰支，交点处连续固接)、KNAPP 和 DIXON3给出的导管架X 撑结构屈曲长度系数计算结果(受压杆和受拉杆两端均固定和两端均铰支)作了对比。通过调整受工程力学151压杆件 AB 两端约束情况，KA=KB=、CA=CB=0 代表铰支支座，KA=KB=、CA=CB=代表固定支座。如图 4(a)所示，给出屈曲长度系数和拉压比/(规定受拉为正)的变化曲线，当两端简支时，理论计算结果与 PICARD 和 BEAULIEU 实验结果以及 KNAPP 和 DIXON 的计算结果吻合良好，当撑杆两端简支时，压杆的屈曲长度系数随着拉压比的增加而降低，最终趋于 0.5。如图 4(b)和图 4(c)所示，当杆两端均为固定时，不论整杆还是半杆，其结果与 KNAPP 的计算公式吻合良好，即当撑杆两端固定时，压杆的屈曲长度系数随着拉压比的增加而降低，最终趋于 0.35。此外，在现行规范中给定1314，对于整杆长，当两端固定且受压时，屈曲长度系数规范值为 0.70；而对于半杆长，当两端固定且一端受压、一端受拉时，屈曲长度系数规范值为 0.80，这相对于本文的理论分析值尚存在一定的安全裕度，侧面证明本文方法的合理性。除了两杆两端均固定和两端均铰支两种极端情况外，还可以选取不同的端部约束组合。如图 4(d)所示，给出了在不同拉压比下其余两类工况，即受拉杆 CE 两端简支、受压杆 AB 两端固定和受拉杆 CE两端固定、受压杆AB两端简支的屈曲长度系数理论计算值。可以看到，其变化趋势和两杆两端均固定以及两端均铰支类似，其最大值介于两端均固定(0.50)和两端均铰支(1.0)之间，从而进一步说明了端部约束刚度对结构屈曲的影响，即增加端部约束使得结构屈曲长度系数减小，提高结构稳定性。3结果分析3.1工况设计根据前文所建立的理论分析模型，分别针对有无面外支撑杆的情形开展参数化研究。设计参数包括：交叉点的线刚度、角刚度、端部的线刚度、角刚度、双杆的拉压比、交叉点的位置等。如表 1 所示，给出每个设计工况下具体的研究内容和分析指标。3.2端点约束一定时交点弹性约束敏感性分析针对两端任意线弹性连接的分析模型，分别讨论了跨中弹性平动刚度和弹性转动刚度对结构屈曲长度系数的影响，从而对面外支撑杆的支撑作用进行有效评估。使用屈曲特征方程式(27)进行迭代求解，考察在两端为弹性约束时，跨中交点处弹性约束所在位置对屈曲长度系数的影响。0.700.750.800.850.900.951.00两端固定(半杆)计算结果KNAPP&DIXON计算结果API&ISO规范值(c)两端固定(半杆)计算结果对比0.30.40.50.60.7拉杆简支、压杆固支拉杆固支、压杆简支1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/屈曲长度系数屈曲长度系数(d)一端固定、一端简支计算结果图4与文献或规范中无面外支撑时研究结果对比Fig.4Comparisonoftheresultswiththedataintheliteratureorthespecificationwithoutout-of-planeX-Brace0.350.400.450.500.550.600.650.70两端固定(整杆)计算结果KNAPP&DIXON计算结果1.00.50.00.51.00.50.60.70.80.91.0两端简支计算结果KNAPP&DIXON计算结果PICARD&BEAULIEU实验结果无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/(a)两端简支(整杆)计算结果对比屈曲长度系数屈曲长度系数API&ISO规范值(b)两端固定(整杆)计算结果对比152工程力学同时也对端点处的弹性刚度进行了敏感性分析，探讨了端点处不同弹性刚度因子对 X 撑杆件屈曲长度系数的影响。表1工况设计表Table1Designtableofworkingconditions序号面外支撑工况不变量自变量1有端点约束一定时交点弹性约束敏感性分析拉压比、端点线(角)刚度交点线(角)刚度交点位置2有端点约束任意时交点及端点弹性约束敏感性分析拉压比、端点线刚度交 点 线(角)刚度、端 点 角 刚度、交点位置3无端点弹性约束敏感性分析交点(端点)线刚度拉压比、交点角刚度、端点角刚度、交点位置在实际工程中，X 撑系统的四个端点 A、B、C、E 一般焊接在刚度比较大的立柱上。因此假设四个端点的平动刚度为 EA/LKe，并假设端点处转动刚度为 10 Ce。图 5 分别给出 X 撑杆结构屈曲长度系数在不同弹性平动刚度和弹性转动刚度下的计算结果。为了计算方便，选取若干代表值，即平动刚度 K=(10.0,30.0,50.0,100.0,150.0)Ke，而转动刚度 C=(1.0,4.0,7.0,10.0,13.0)Ce。此处考察了 X 撑交点处不同弹性刚度下，交点位置对屈曲长度系数的影响。图像具有很好的对称性，证明了本文理论模型的正确性。如图 5(a)所示，考察交点弹性平动刚度对屈曲长度系数的影响，忽略弹性转动刚度的作用。由图可见，在端点处(=0.0、=1.0)弹性平动刚度对于结构屈曲影响较小，而在跨中(=0.5)弹性平动刚度的影响最大。交点越靠近端点处，X 撑结构屈曲长度系数介于两端铰支和两端固支的极限屈曲长度系数之间，即 0.5Ke。若端点处平动刚度较小且非远大于交点所提供的平动刚度，交点处提供的平动刚度将对屈曲长度系数产生影响，并随着 KD/KA的比值增大，产生的影响也越大，如图 5(b)所示，考察交点弹性转动刚度对屈曲长度系数的影响，忽略弹性平动刚度的作用。可以发现，在端点处(=0.0、=1.0)和跨中处(=0.5)弹性转动刚度对于结构屈曲影响较小，而在跨中两侧(0.28、0.72)弹性转动刚度的影响最大，随着交点弹性转动刚度增大，屈曲长度系数逐渐减小，可以发现，当无量纲转动因子 n10.0 时，此时曲线基本不再下降，因而可近似认为此时的交点弹性转动约束已经对结构有了足够的支撑作用。0.00.20.40.60.81.00.360.400.440.480.520.560.60交点位置0.00.20.40.60.81.0交点位置K=10.0Ke K=30.0KeK=50.0KeK=100.0KeK=150.0Ke0.390.420.450.480.510.540.570.600.63C=1.0CeC=4.0CeC=7.0CeC=10.0CeC=13.0Ce屈曲长度系数屈曲长度系数(a)平动刚度对结构屈曲的影响(b)转动刚度对结构屈曲的影响图5不同刚度条件下屈曲长度系数与弹性支点的位置的关系Fig.5Relationshipbetweenbucklinglengthcoefficientandelasticfulcrumpositionunderdifferentstiffnessconditions端点处平动刚度无穷大时，从数学上可以解释为端点处的挠度 w(0)=w(L)=0。但是，端点处的转动刚度和交点处的转动刚度对跨中(=0.5)的屈曲长度系数几乎没有影响。这是由于撑杆结构发生了半波形屈曲，此时对应 w(0)=0，故支点处的转动刚度对跨中的屈曲长度系数没有影响。交点在跨中的屈曲长度系数只取决于端点处的平动刚度和 X 撑杆交点处的平动刚度。这对于结构设计有十分重要的意义。工程力学1533.3端点约束任意时交点及端点弹性约束敏感性分析结合工程实际进行了理论计算，在实际工程结构中，X 撑的四个端点通常被固定在刚度较大的立柱或梁上。此时端点处(A 点、B 点、C 点、E 点)平动刚度可设置为 EA/LKe，而端点处的转动刚度因子 n 通常大于 5，即 CA5Ce，基于此，分别考察了端点处线弹性转动刚度因子为n=1.0、n=2.0、n=3.0、n=4.0、n=5.0 五种工况。同时，当发生面外(yoz 平面)屈曲时，此时面外撑杆提供的转动刚度一般为定值，不失一般性，这里分别讨论了 X 撑交点提供的转动刚度为 CD=0 和 CD=Ce两种工况。各个工况下交点处提供的无量纲的线弹性平动刚度与屈曲长度系数的计算结果如图 6 所示。总体来看，在任意端部弹性约束下，整体结构的屈曲长度系数随着交点的弹性平动刚度的增加呈现先快后慢的下降趋势，最终趋于收敛。此外，当=0.5 时，交点提供的转动约束对屈曲长度系数几乎没有影响，当 值远离 0.5 时，其对屈曲长度系数的影响逐渐增大，在=0.8 时影响超过 25%。由图 6(a)图 6(h)可得，CA5Ce时，结构屈曲长度系数已趋于收敛，而实际工程中端点处的转动约束往往会更大。因此，此时端点约束可以当作固支进行分析。同时，对于交点处面外支撑提供的平动刚度KD，只需 KD100.0Ke可起到很好的约束作用。而这意味着面外支撑杆的横截面积只需满足 Ac/A0.08(Ac为面外支撑杆 DD杆的横截面面积，A 为受压杆 AB 杆的横截面积)，就可以起到良好的支撑效果。而这个条件是很容易达到的。此时进行0204060801000.40.50.60.70.80.91.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.00.40.50.60.70.80.91.00.40.50.60.70.80.91.00.40.50.60.70.80.91.00.40.50.60.70.80.91.00.40.50.60.70.80.91.00.40.50.60.70.80.91.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.00.40.50.60.70.80.91.0无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数020406080100无量纲弹性平动刚度系数屈曲长度系数屈曲长度系数屈曲长度系数屈曲长度系数屈曲长度系数屈曲长度系数屈曲长度系数屈曲长度系数(a)交点无转动约束，长度因子=0.5(c)交点无转动约束，长度因子=0.6(e)交点无转动约束，长度因子=0.7(g)交点无转动约束，长度因子=0.8(b)交点转动约束为Ce，长度因子=0.5(h)交点转动约束为Ce，长度因子=0.8(d)交点转动约束为Ce，长度因子=0.6(f)交点转动约束为Ce，长度因子=0.7图6不同转动刚度下屈曲长度系数与平动刚度的关系Fig.6Relationshipbetweenbucklinglengthcoefficientandtranslationalstiffnessunderdifferentrotationalstiffness154工程力学屈曲分析时，认为面外撑杆为稳固支点，此时只需对单跨进行稳定性设计即可。(取 AD 和 BD 中长度较长一跨)。3.4无面外支撑时端点弹性约束敏感性分析此外，针对转动约束的刚度敏感性进行了考察。如前所述，由于面外支撑提供的的平动刚度大小只会是屈曲曲线在横坐标(拉压比)上发生平移，对结构的屈曲长度系数临界值并不产生影响。不失一般性，选取无面外支撑的 X 撑来考察转动约束对结构屈曲的影响，即认为面外撑杆提供的平动刚度为 0(m=0)。端点(A、B、C、E)处的平动刚度可设置为 EA/LKe。分别考察了端点处线弹性转动刚度因子为 n=1.0、n=2.0、n=3.0、n=4.0、n=5.0 五种工况。同时，当发生面外(yoz 平面)屈曲时，此时面外撑杆提供的转动刚度一般为定值，这里分别讨论了 X 撑交点提供的转动刚度为 CD=0 和 CD=Ce两种工况。各个工况下 X 撑拉压比与屈曲长度系数的计算结果如图 7所示，总体来看，在任意端部弹性约束下，整体结构的屈曲长度系数随着无量纲拉压比的增加，呈现先快速下降后趋于收敛的变化趋势。而且，当=0.5 时，交点提供的转动约束对屈曲长度系数几乎没有影响，当 值远离 0.5 时，其对屈曲长度系数的影响逐渐增大。由图 7(a)图 7(h)可得，CA5Ce时，结构屈曲长度系数已趋于收敛，此时可近似认为，端点的转动约束已经对结构有了足够的支撑作用。1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/1.00.50.00.51.0无量纲拉压比/(a)交点无转动约束，长度因子=0.5(c)交点无转动约束，长度因子=0.6(e)交点无转动约束，长度因子=0.7(g)交点无转动约束，长度因子=0.80.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数0.40.50.60.70.80.91.0屈曲长度系数n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0n=0.0n=1.0n=2.0n=3.0n=4.0n=5.0(b)交点转动约束为Ce，长度因子=0.5(h)交点转动约束为Ce，长度因子=0.8(d)交点转动约束为Ce，长度因子=0.6(f)交点转动约束为Ce，长度因子=0.7图7不同转动刚度下屈曲长度系数与拉压比的关系Fig.7Relationshipbetweenbucklinglengthcoefficientandtension-compressionratiounderdifferentrotationalstiffness4结论本文推导了任意线弹性的双跨压杆稳定的屈曲特征方程，与现有研究中关于无面外支撑杆屈曲长度系数计算结果进行了对比，验证了其有效性。在此基础上，考察了极限状态下压杆的屈曲工程力学155长度系数随支撑刚度、拉压比、长度因子等因素的变化关系，并针对不同支撑刚度(平动刚度)和(转动刚度)进行了敏感性分析，分析得到屈曲长度系数随这些因素的变化规律，并结合工程实践，给出了结构设计的理论推荐值，其主要结论如下：(1)当面外撑杆刚度为 0 时，此时可近似将其看作无面外支撑结构。计算发现，在端部固定或端部简支条件下，其屈曲长度系数随拉压比的增加(拉压比小于 0 代表两端受压、拉压比大于 0 代表一端受压、另一端受拉)，呈现出先减，而后趋于某一稳定值。即表明一端受压、另一端受拉时杆件可承受相对较大的承载力、稳定性优于两端受压工况，且在同等受力条件下，不容易发生屈曲。这与现