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小学数学思想方法的梳理（二）

课程教材研究所 王永春

二、化归思想
1. 化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2. 化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：
（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。
3. 化归思想的具体应用。
学生面对的各种数学问题，可以简单地分为两类：一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题；另一种是陌生的知识、或者不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决的问题。如知道一个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形面积公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第二类问题转化为第一类问题。解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。
化归思想在小学数学中的应用如下表。
知识领域
知识点
应用举例
数与代数
数的意义
整数的意义：用实物操作和直观图帮助理解

小数的意义：用直观图帮助理解

分数的意义：用直观图帮助理解

负数的意义：用数轴等直观图帮助理解

四则运算的意义
乘法的意义：若干个相同加数相加的一种简便算法。

除法的意义：乘法的逆运算。

四则运算的法则
整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法。

小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算。

小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点。

小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数除法的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。

分数加减法：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法。

分数除法：转化为分数乘法。

四则运算各部分间的关系
a + b = c, c －a = b
ab=c, a=c÷b

简便计算
利用运算定律进行简便计算

方程
解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）。

解决问题的策略
化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等。

化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系、帮助推理。

化实际问题为数学问题：

化一般问题为特殊问题：

化未知问题为已知问题：
空间与图形
三角形内角和
通过操作把三个内角转化为平角

多边形的内角和
转化为三角形求内角和

面积公式
正方形的面积：转化为长方形求面积

平行四边形面积：转化为长方形求面积

三角形的面积：转化为平行四边形求面积

梯形的面积：转化为平行四边形求面积

圆的面积：转化为长方形求面积

组合图形的面积：转化为求基本图形的面积

体积公式
正方体的体积：转化为长方体求体积

圆柱的体积：转化为长方体求体积

圆锥体积：转化为圆柱求体积
统计与概率
统计图和统计表
运用不同的统计图表描述各种数据

可能性
运用不同的方式表示可能性的大小
4．解决问题中的化归策略。
（1）化抽象问题为直观问题。
数学的特点之一是它具有很强的抽象性，这是每个想学好数学的人必须面对的问题。从小学到初中，再到高中，数学问题的抽象性不断加强，学生的抽象思维能力在不断接受挑战。如果能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题，那么不但使得问题容易解决，经过不断的抽象→直观→抽象的训练，学生的抽象思维能力也会逐步提高。下面举例说明。
案例：　 ＋ ＋ ＋ ＋…＝
分析：此问题通过观察，可以发现一个规律：每一项都是它前一项的 。但是对于小学和初中的学生来说，还没有学习等比数列求和公式。如果把一条线段看作1, 先取它的一半表示 ，再取余下的一半的一半表示 ，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。因此，上式的结果等于1, 这样利用直观手段解决了高中生才能解决的问题。
（2）化繁为简的策略。
有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便得到解决。下面举例加以说明。
案例１：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？
分析：此题中的数比较大，如果用枚举法一个一个地猜测验证，比较繁琐。如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归纳法，看看能否找到解决方法。如从10开始，10可以分成：1和9, 2和8, 3和7, 4和6, 5 和5。它们的积分别是：9, 16, 21, 24, 25。可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大，如果不确定，还可以再举一个例子，如12可以分成：1和11, 2和10, 3和9, 4和8, 5和7, 6和6, 它们的积分别是：11, 20, 27, 32, 35, 36。由此可以推断：把186拆分成93和93, 93和93的乘积最大，乘积为8649。适当地加以检验，如92和94的乘积为8648, 90和96的乘积为8640, 都比8649小。
因为187是奇数，无法拆分成相等的两个数，只能拆分成相差1的两个数，这时它们的乘积最大。不再举例验证。
案例2：你能快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝吗？
分析：仔细观察可以看出，此类题有些共同特点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是5。如果不知道个位数是5的相等的两个数的乘积的规律，直接快速口算是有难度的。那么，此类题有什么技巧呢？不妨从简单的数开始探索，如15×15＝225,25×25＝625,35×35＝1225。通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝11025，实际验证也是如此。
很多学生面对一些数学问题，可能知道怎么解答，但是只要想起解答过程非常繁琐，就会产生退缩情绪，或者在繁琐的解答过程中出现失误，这是比较普遍的情况。因此，学会化繁为简的解题策略，对于提高解决繁难问题的能力大有帮助。
（3）化实际问题为特殊的数学问题。
数学来源于生活，应用于生活。与小学数学有关的生活中的实际问题，多数可以用常规的小学数学知识解决；但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量，似乎能用常规的数学模型解决问题。但真正深入分析数量关系时，可能由于条件不全面而无法建立模型。这时，就需要超越常规思维模式，从另外的角度进行分析，找到解决问题的方法。下面举例说明。
案例1：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行4千米，下午4时到达山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？
分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具体时间，因此无法直接求出上山和下山的路程，但是知道总路程。仔细观察可以发现：题中给出了两个未知数量的总和以及与这两个数量有关的一些特定的数量，如果用假设的方法，那么就类似于鸡兔同笼问题。假设都是上山，那么总路程是18（6×3）千米，比实际路程少算了2千米，所以下山时间是2﹝2÷（4－3）﹞小时，上山时间是4小时。上山和下山的路程分别是12千米和8千米。
案例2：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱?
分析：此题初看是关于单价、总价和数量的问题，但是，由于题中没有告诉苹果和香蕉各自的总价是多少，无法直接计算各自的单价。认真观察，可以发现：题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价，虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个未知数，但这二者没有直接的关系，如果用方程解决，也超出了一元一次方程的范围。那么这样的问题在小学的知识范围内如何解决呢？利用二元一次方程组加减消元的思想，可以解决这类问题；具体来说就是把两组数量中的一个数量化成相等的关系，再相减，得到一个一元一次方程。不必列式推导，直接分析便可：1千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元。
（4）化未知问题为已知问题。
对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可以利用已有知识通过探索，把新知识转化为旧知识进行学习。如平行四边形面积公式的学习，通过割补平移，把平行四边形转化为长方形求面积。这种化未知为已知的策略，在数学学习中非常常见。下面举例说明。
案例：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？
分析：学生在学习列方程解决问题时学习了最基本的有关两个数量的一种模型：已知两个数量的倍数关系以及这两个数量的和或差，求这两个数量分别是多少。题中的苹果和香蕉的关系，不是简单的倍数关系；而是在倍数的基础上增加了一个条件，即苹果比香蕉的2倍还多30千克。假如把180减去30得150，那么题目可以转化为：如果水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，那么这两种水果一共销售了150千克。销售香蕉多少千克？这时就可以列方程解决了，设未知数时要注意设谁为x，题目求的是哪个量。
这个案例能给我们什么启示呢？教师在教学中要让学生学习什么？学生既要学习知识，又要学习方法。学生不仅要学会类型套类型的解题模式，更重要的是在理解和掌握最基本的数学模型的基础上，形成迁移类推或举一反三的能力。教师在上面最基本的模型基础上，可以引导学生深入思考以下几个问题：
1. 水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？
2. 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？
3. 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 少30千克，这两种水果一共销售了120千克。销售苹果多少千克？
4. 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是香蕉的3倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？
5. 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是苹果的2倍。这三种水果一共销售了210千克。销售香蕉多少千克？
从以上几个题目的步数来说，可能已经超越了教材基本的难度标准。但笔者近年来一直有一个理念：“高标准教学，标准化考试”教师们可以在课堂上大胆探索，这样的问题经过引导和启发，学生到底能否解决？学生是否能在数学思想方法和数学思维能力上得到更好的发展？是否贯彻了课程标准提倡的不同的人在数学上得到不同的发展的理念？
（5）化一般问题为特殊问题。
数学中的规律一般具有普遍性，但是对于小学生而言，普遍的规律往往比较抽象，较难理解和应用。如果举一些特殊的例子运用不完全归纳法加以猜测验证，也是可行的解决问题的策略。下面举例说明。
案例：任意一个大于4的自然数，拆成两个自然数之和，怎样拆分才能使这两个自然数的乘积最大？
分析：此问题如果运用一般的方法进行推理，可以设这个大于4的自然数为N。如果N为偶数，可设N＝2K（K为任意大于2的自然数）；那么N＝K＋K＝（K－1）＋（K＋1）＝（K－2）＋（K＋2）＝…，
因为K²>K²－1>K²－4>…，
所以K×K>（K－1）×（K＋1）>（K－2）×（K＋2）>…，
所以把这个偶数拆分成两个相等的数的和，它们的积最大。
如果N为奇数，可设N＝2K＋1（K为任意大于1的自然数）；那么N＝K＋（K＋1）＝（K－1）＋（K＋2）＝（K－2）＋（K＋3）＝…，
因为K²＋K>K²＋K－2>K²＋K－6>…，
所以K×（K＋1）>（K－1）×（K＋2）>（K－2）×（K＋3）>…，
所以把这个奇数拆分成两个相差1的数的和，它们的积最大。
仔细观察问题可以发现，题中的自然数只要大于4, 便存在一种普遍的规律；因此，取几个具体的特殊的数，也应该存在这样的规律。这时就可以把一般问题转化为特殊问题，仅举几个有代表性的比较小的数（只要大于4）进行枚举归纳，如10,11等，就可以解决问题，具体案例见前文。
化归思想作为最重要的数学思想之一，在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在，对于学生而言，要学会善于运用化归的思想方法解决各种复杂的问题，最终达到在数学的世界里举重若轻的境界。
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