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抛物线的几何性质
目标：1、了解抛物线的几何性质；
2、能运用抛物线的几何性质解题。
新知建构：
1、运用类比的思想填写下表
图形
标准方程
范围
对称性
顶点
离心率

预习检测：
◆顶点在原点，焦点为F（5，0）的抛物线方程是_________________；
◆如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米，则水面宽度为_______________________。（书P49）
2、如何定义抛物线的通径？通径长是多少？

通径反映了抛物线的何种特征？

◆ 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm。由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的交点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为获得平行光线，应如何安装灯泡？

例题分析
例一:已知抛物线，焦点为F，
准线为，过F的直线交抛物线与。
⑴求、的值；

⑵求AB（如果直线的倾斜角为，AB为多少）

⑶判断以AB为直径的圆与准线的位置关系

(3)求证：

⑸过A作AN⊥，过B作BM⊥，垂足为N、M，
设P为MN的中点，
① 求证：PF⊥AB，⊥NF。
② 设AB的中点为E，PE交抛物线与点Q，
求证Q为PE中点；
③ 求证：A、O、M三点共线.

⑹设AB的中点为E，过E作EH⊥于H，EH交抛物线于G，求证FH⊥AB，且HG=EG=GF

(6)若AB的垂直平分线交X轴于R，
求证：FR=AB

例二：已知抛物线的内接正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线上，求此正三角形的边长与面积。
变2：已知抛物线的内接三角形
的一个顶点在原点，另两个顶点A、B在抛物线上，
若△AOB的重心恰好是抛物线的焦点，
求A、B两点的坐标。
变2：将变1中的垂心改为重心
变3：已知与顶点在原点O，
焦点在X轴上的抛物线C交于A、B两点且
△ AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，
求抛物线C的标准方程。

例三、已知抛物线的方程为y²=4x,
直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,
当k为何值时，直线l与抛物线y²=4x,
只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

变1：求过点（0，1）且与抛物线y²=4x
只有一个公共点的直线方程。
变２：过点（－１，２）且与抛物线y²=4x
只有一个公共点的直线有　　　　　　　条
过点（１，２）且与抛物线y²=4x
只有一个公共点的直线有　　　　　　　条
过点（２，１）且与抛物线y²=4x
只有一个公共点的直线有　　　　　　　条
小结：
例四、求抛物线被点Ｐ（－１，１）所平分的弦所在的直线方程
变：过点（０，－２）的直线与抛物线交于Ａ、Ｂ两点，若线段ＡB中点M的横坐标为2，求直线AB的方程

例三：1、在抛物线上求一点P，
使P到直线的距离最短，
并求出距离的最小值。

2、P为抛物线上一点，
点A（a，0），求PA的最小值。

3、已知抛物线和定点A（2，2），F为焦点，
P为抛物线上一动点，则PA+PF的最小值为 。
变：定长为5的线段AB的两个端点在
抛物线上移动，则线段AB的中点
M到Y轴的最小距离为 。

例五：正方形的一条边AB在直线上，
顶点C、D在抛物线上，求正方形的边长。

例六：已知A、B是抛物线上两点，
满足OA⊥OB（O为坐标原点）。
求证：（1）A、B两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB必过一定点；
（3）△AOB面积的最小值为4.

例六：如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正上方一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于点P、Q.
（1）若=2，求c的值；

巩固练习
1、已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则这点的坐标为_____________ ；
2、已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程是__________________________；
3、以抛物线焦半径为直径的园与轴的位置关系是_________________；
4、抛物线的通径为_____________________；
5、已知直线与抛物线交与A、B两点，且经过抛物线的焦点F，A点坐标为（8，8），则线段AB的中点到准线的距离为_________________ ；
6、过抛物线的焦点的直线倾斜角为600，则弦长为__________________；
7、过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

8、已知抛物线上有点，且，若线段AB、BC在轴上的射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列。

9、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。