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5.放射性核废料处理问题放射性核废料处理问题 以前美国原子能委员会将放射性核废料装在封闭圆桶以前美国原子能委员会将放射性核废料装在封闭圆桶里，扔到水深为里，扔到水深为91米海底。生态学家和科学家担心这种做米海底。生态学家和科学家担心这种做法不安全，而原子能委员会向他们确保，圆桶绝不会破漏。法不安全，而原子能委员会向他们确保，圆桶绝不会破漏。经过周密试验，证实了圆桶封闭性确实很好，但工程师们经过周密试验，证实了圆桶封闭性确实很好，但工程师们提出疑问，圆桶是否会因与海底相撞而发生破裂，原子能提出疑问，圆桶是否会因与海底相撞而发生破裂，原子能委员会却说决不会。委员会却说决不会。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 于是，工程师们经过大量试验发觉：当圆桶在海于是，工程师们经过大量试验发觉：当圆桶在海水中速度超出水中速度超出 12.2 米时，圆桶就会因碰撞破裂。现在米时，圆桶就会因碰撞破裂。现在问题是，圆桶抵达问题是，圆桶抵达91米海底时速度是不是超出了米海底时速度是不是超出了 12.2 米问题。米问题。第1页 首先来建立直角坐标系。设海平面为首先来建立直角坐标系。设海平面为 x 轴，轴，y 轴方向向轴方向向下为正。下为正。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 依据牛顿第二定律：依据牛顿第二定律：F=ma，其中圆桶质量为，其中圆桶质量为W=239.456 kg，a 为圆桶下沉加速度，假设为圆桶下沉加速度，假设 t 时刻圆桶下沉时刻圆桶下沉到到 y 处，则处，则。第2页 圆桶在向海底沉过程中，受到三个力作用：圆桶在向海底沉过程中，受到三个力作用：一是重力，一是重力，W=239.456 kg；二是圆桶受海水浮力二是圆桶受海水浮力 B，已知海水浮力为，已知海水浮力为1025.94 kg/m3，圆桶体积为，圆桶体积为V=0.208 m3，那么，那么，B=1025.94V=213.396 kg；数学与信息科学学院数学与信息科学学院 三是圆桶下沉过程所受阻力三是圆桶下沉过程所受阻力 D，工程师们做，工程师们做了大量试验得出结论：阻力与圆桶方位无关，而了大量试验得出结论：阻力与圆桶方位无关，而与下沉速度成正比，百分比系数与下沉速度成正比，百分比系数 k=0.12，于是，于是，第3页数学与信息科学学院数学与信息科学学院依据牛顿第二定律得微分方程：依据牛顿第二定律得微分方程：其中其中 为重力加速度。方程（为重力加速度。方程（1）是）是 t 为自变量（但不显含为自变量（但不显含 t），），y 为未知函数二阶微分方程，为未知函数二阶微分方程，我们要求是当圆桶下沉到我们要求是当圆桶下沉到 91 米海底时圆桶下降速度，米海底时圆桶下降速度，所以，把速度所以，把速度 v 看成看成 y 函数函数 v=v(y)。因为。因为，所以，所以 ，于是方程（，于是方程（1）化为一）化为一阶微分方程阶微分方程第4页数学与信息科学学院数学与信息科学学院或或求解微分方程（求解微分方程（3）得其通解）得其通解将初始条件将初始条件 v=v(0)代入（代入（4）式得）式得从而，方程（从而，方程（3）特解为）特解为第5页数学与信息科学学院数学与信息科学学院 算到这里，我们似乎感到失望，因为不能算到这里，我们似乎感到失望，因为不能从（从（5）式中解出显函数）式中解出显函数 v=v(y)。不过，这个。不过，这个困难是能够克服。借助于计算机很轻易计算出困难是能够克服。借助于计算机很轻易计算出 v(91)，我们只需要为计算机提供一个，我们只需要为计算机提供一个 v(91)很很好近似表示式，近似表示式可按下述方法取得。好近似表示式，近似表示式可按下述方法取得。第6页 在微分方程（在微分方程（3）中，暂时）中，暂时设设 k=0（无阻力），从而（无阻力），从而得新微分方程得新微分方程为了区分于方程（为了区分于方程（3）未知函数，方程（）未知函数，方程（6）用）用u表示未知表示未知函数。直接对（函数。直接对（6）式积分得）式积分得数学与信息科学学院数学与信息科学学院整理上式得整理上式得尤其有尤其有第7页现在来说明现在来说明 u(91)就是就是 v(91)很好近似。很好近似。第一，当不存在阻力时，圆桶下沉速度总要比有第一，当不存在阻力时，圆桶下沉速度总要比有阻力时下沉速度快，即阻力时下沉速度快，即v(91)u(91)；第二，第二，v=v(y)是关于是关于 y 增函数，所以，当增函数，所以，当 y91时，时，v(y)v(91)。水作用在圆桶上阻力。水作用在圆桶上阻力 D 总是小于总是小于0.12 u(91)=0.16 kg，圆桶向下协力（，圆桶向下协力（W-B）近似于）近似于26.06 kg，该值比，该值比 D 大得多。所以，大得多。所以，u(91)就是就是 v(91)很好近很好近似。似。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 经过上述分析、论证知：将装满放射性核废料圆桶经过上述分析、论证知：将装满放射性核废料圆桶扔到海里，当圆桶抵达深海底扔到海里，当圆桶抵达深海底 91m 时速度可抵达时速度可抵达13.93 m/s，超出了，超出了12.2 m/s，所以，将放射性核废料装在封闭，所以，将放射性核废料装在封闭圆桶里扔到水深为圆桶里扔到水深为 91m 海底是不安全。海底是不安全。第8页上述分析是无道理。看下面分析：上述分析是无道理。看下面分析：设设 u=u(y)是方程是方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院特解，则特解，则再设再设=(y)是方程是方程第9页特解，则特解，则设设 v=u+a为方程为方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院特解，其中特解，其中 a 是待定参数，则是待定参数，则从而从而第10页其中其中数学与信息科学学院数学与信息科学学院（16）因为因为 所以所以 第11页数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以，由式（所以，由式（3）、（）、（18）（20）得二次方程）得二次方程二次方程式（二次方程式（20）解为）解为（22）第12页因为因为数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以所以 当不存在阻力时，圆桶下沉速度总要比有阻力时下沉当不存在阻力时，圆桶下沉速度总要比有阻力时下沉速度快，所以速度快，所以 v(91)u(91)，又因为，又因为v(y)0，所以取，所以取a=0.66188，从而，从而第13页计算机仿真计算机仿真由式（由式（5）得）得数学与信息科学学院数学与信息科学学院则则所以当所以当 v(y)00时，时，所以，所以 y=y(v)有唯一反函数有唯一反函数 v=v(y)。另首先，因为另首先，因为 第14页所以所以数学与信息科学学院数学与信息科学学院将式（将式（27）（29）代入到式（）代入到式（14）得）得方程式（方程式（30）解为）解为第15页由式（由式（10），（），（12）得）得数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以所以设设，则，则第16页数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以所以 在区间在区间0,91单调下降，于是单调下降，于是所以所以从而从而第17页又因为又因为 v(y)，故取，故取因为方程式（因为方程式（25）可化为）可化为数学与信息科学学院数学与信息科学学院 利用利用 MATLAB 软件编程绘制出函数式软件编程绘制出函数式(34)，(35)图图像如图像如图10-1所表示。仿真结果表明：用速度函数式所表示。仿真结果表明：用速度函数式(34)代代替由隐函数方程式替由隐函数方程式(35)确定圆桶运动真实速度，其拟合精确定圆桶运动真实速度，其拟合精度已经非常高。度已经非常高。第18页数学与信息科学学院数学与信息科学学院第19页6水电站调压塔功效水电站调压塔功效 当前我们使用电能，是发电厂发出电经过输电、变电当前我们使用电能，是发电厂发出电经过输电、变电和配电后供给。发电系统发电方式主要包含：水力发电，和配电后供给。发电系统发电方式主要包含：水力发电，火力发电，核能发电等。火力发电，核能发电等。水力发电是当位于高处水（含有势能）往低处流动时水力发电是当位于高处水（含有势能）往低处流动时势能转换为动能。此时装设在水道低处水轮机，因水流动势能转换为动能。此时装设在水道低处水轮机，因水流动能推进叶片而转动（机械能），假如将水轮机连接发电机，能推进叶片而转动（机械能），假如将水轮机连接发电机，就能带动发电机转动将机械能转换为电能。水力发电普通就能带动发电机转动将机械能转换为电能。水力发电普通可分为川流式、水坝（库）式发电。可分为川流式、水坝（库）式发电。对于水库式发电，水电站要把贮存在水库水经过长达对于水库式发电，水电站要把贮存在水库水经过长达数百米管道引到水轮发电机。在输送水流过程中会碰到严数百米管道引到水轮发电机。在输送水流过程中会碰到严重水击作用致使管道破裂。重水击作用致使管道破裂。数学与信息科学学院数学与信息科学学院第20页 水利发电含有用电负荷突然发生改变时调整作用。当水利发电含有用电负荷突然发生改变时调整作用。当用电负荷突然上升时，要马上增加输送水量以增加发电量；用电负荷突然上升时，要马上增加输送水量以增加发电量；当用电负荷下降时，又要使水流很快慢下来以降低发电量。当用电负荷下降时，又要使水流很快慢下来以降低发电量。因为水是不可压缩液体，管道本身弹性又非常小，致使水因为水是不可压缩液体，管道本身弹性又非常小，致使水高压波沿管道传输，工程上称为高压波沿管道传输，工程上称为“水击作用水击作用”，它是可能，它是可能破坏管道。缓解这种作用方法是在输送管中水进入水轮机破坏管道。缓解这种作用方法是在输送管中水进入水轮机前先注入一个称为调压塔贮水箱中。前先注入一个称为调压塔贮水箱中。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 当负荷需求较低时，水轮机需要水量较少，调压塔贮当负荷需求较低时，水轮机需要水量较少，调压塔贮存下大量水，水位较高。当负荷需求突然变大时，能够用存下大量水，水位较高。当负荷需求突然变大时，能够用塔中水满足水轮机对水量需求增加，防止输送管道中水流塔中水满足水轮机对水量需求增加，防止输送管道中水流速度发生突然大改变。速度发生突然大改变。现在讨论当调压塔出口水流速度改变时，调压塔水位现在讨论当调压塔出口水流速度改变时，调压塔水位怎样改变，并分析水位改变过程与各参数之间关系。输水怎样改变，并分析水位改变过程与各参数之间关系。输水管管调压塔部分如图调压塔部分如图11-1所表示。所表示。第21页数学与信息科学学院数学与信息科学学院 设输水管管长为设输水管管长为 L，截面积为，截面积为 s1，与地面成夹角，与地面成夹角，水流速度水流速度 u(t)，两端压强分别，两端压强分别 p1 和和p2(t)。调压塔水液面。调压塔水液面高高h(t)，截面积，截面积 s0，顶部大气压，顶部大气压 p0，出口水流速度，出口水流速度 v(t)，出口截面积出口截面积 s2，水密度为，水密度为。假设水库水位不变，所以输。假设水库水位不变，所以输水管始端压强为是水管始端压强为是 p1 常数。水与水管均无弹性。常数。水与水管均无弹性。第22页 由流体运动学知，单位长度管壁对水流阻力与水流速由流体运动学知，单位长度管壁对水流阻力与水流速度平方成正比，百分比系数度平方成正比，百分比系数 c 为粘滞系数。为粘滞系数。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 依据以上说明及假设，作用在水运动方向力有：输水依据以上说明及假设，作用在水运动方向力有：输水管两端压强差形成压力管两端压强差形成压力 s1(p1-p2)；水柱本身重力；水柱本身重力Ls1sing；管壁对水流阻力；管壁对水流阻力 cLu2(t)。依据牛顿第二定律得方程。依据牛顿第二定律得方程 因为调压塔进水口在塔底部，塔内水柱重力因为调压塔进水口在塔底部，塔内水柱重力s0 gh 形形成底部与顶部压力差成底部与顶部压力差 s1 p2-s0 p0。于是得静力学方程。于是得静力学方程第23页 依据守恒定律，调压塔进出水量之差等于塔内水位依据守恒定律，调压塔进出水量之差等于塔内水位改变，所以改变，所以对上三式加以整理，消去对上三式加以整理，消去 p2 和和 u(t)得微分方程得微分方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院注：注：1.消去消去 p2，由（，由（2）式得）式得 2.消去消去 u(t)，由（，由（3）式得）式得。进而。进而 将上两式代入到（将上两式代入到（1）式）式第24页从而从而数学与信息科学学院数学与信息科学学院第25页 这是一个非线性二阶微分方程，它求解相当困难。所这是一个非线性二阶微分方程，它求解相当困难。所以只能就尤其情形来讨论。以只能就尤其情形来讨论。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 设调压塔出口水流速度设调压塔出口水流速度 v(t)稳定，即稳定，即v(t)=v0为常数，为常数，当当 v(t)稳定在稳定在 v0 附近时，附近时，h(t)稳定在稳定在 h0 附近。所以先设附近。所以先设v(t)=v0，h(t)=h0，则由方程（，则由方程（4）得）得第26页再设再设则则数学与信息科学学院数学与信息科学学院，其中，其中非常小。非常小。将（将（6）式代入到（）式代入到（4）式得）式得利用（利用（5）式）式第27页进而进而略去略去 项，并整理得项，并整理得数学与信息科学学院数学与信息科学学院设设 则方程（则方程（7）化为）化为第28页对于方程（对于方程（8），可假设初始条件为），可假设初始条件为 对于给定某种形式对于给定某种形式 v1(t)，轻易求出方程（，轻易求出方程（8）满足）满足初始条件解初始条件解 h1(t)，由（，由（6）式，便可得到）式，便可得到 h(t)近似改近似改变规律。变规律。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 从（从（5）式开始，我们采取特殊方法研究了复杂方）式开始，我们采取特殊方法研究了复杂方程（程（4）解。即对于给定）解。即对于给定 v0，先求出稳态解，先求出稳态解 h0，再利用，再利用 h0 和和 h1(t)求出方程（求出方程（4）近似解。对普通工业装置，）近似解。对普通工业装置，近似解精度已经能满足要求了。近似解精度已经能满足要求了。第29页