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1/16例例1.（第（第14届希望杯）假如届希望杯）假如 ，则，则 =_.解解:由已知得由已知得,原式原式=例例2.把把 展开后得展开后得 +,则则 =_.(祖冲之杯祖冲之杯)3652/16例3.(武汉)若 -x=1,则 +-7x+值等于()A.1999 B.C.D.解：解：-x=1，-x-1=0原式原式=-3x+-4x-4+=3x（-x-1）+4（-x-1）+=0+0+=3/16例例4.对于一个自然数对于一个自然数n，假如能找到自然数，假如能找到自然数a和和b，使，使得得n=a+b+ab，则称是一个，则称是一个“好数好数”，在，在1100这这100个自然数中，个自然数中，“好数好数”共有共有_个个.解解:n=a+b+ab,n+1=a+1+b+ab=(a+1)(b+1)由此知由此知,“好数好数”n与与1和为合数和为合数.1n-1100,2n101.而在而在2100中共有中共有25个质数个质数,且且101也是质数也是质数,故故在在2101这这100个自然数中共有合数个自然数中共有合数100-25-1=74个个4/16例例5.已知已知 =(x-2y+A)(x+y+B)求求A,B值值A=-3,B=25/161.（1999年武汉）设年武汉）设a是一个无理数，且是一个无理数，且a，b满足满足ab-a-b+1=0，则，则b是一个（是一个（）A.小于小于0有理数有理数 B.大于大于0有理数有理数C.小于小于0无理数无理数 D.大于大于0无理数无理数由由ab-a-b+1=0，得（，得（a-1）（）（b-1）=0 a是无理数，是无理数，a-10，b-1=0，b=12.（全国）若（全国）若a，b是正数，且满足是正数，且满足12345=（111+a）（）（111-b），则），则a与与b之间大小关系是（之间大小关系是（）A.ab B.a=b C.ab D.不能确定不能确定解解:12345=（111+a）（）（111-b）=+111（a-b）-ab 111（a-b）=12345-+ab=24+ab，因为，因为a0，b0，ab0，24+ab0，即，即a-b0，ab。6/163.(北京市迎春杯北京市迎春杯)已知已知 ,.那么那么a,b,c,d从小到大次序是从小到大次序是()A.abcd B.abdc C.bacd D.adbcD4.(上海市普陀区竞赛上海市普陀区竞赛)设设a,b,c,d都是自然数都是自然数,且且 ,a-c=17,则则d-b值为值为()A.261 B.269 C.273 D.275解：设解：设 ，（m，n为自然数），则为自然数），则由已知得由已知得 ，即，即因因17是质数，是质数，,是自然数。是自然数。所以所以 ,，解得，解得m=3，n=8。B7/165.(美国美国)假如假如 有两个因式有两个因式 x+1 和和 x+2,则则a+b=()A.8 B.7 C.15 D.216.若若x是正整数是正整数,设设 ,则则()A.y一定是完全平方数一定是完全平方数B.存在有限个存在有限个x,使使y是完全平方数是完全平方数C.y一定不是完全平方数一定不是完全平方数D.存在无限多个存在无限多个x,使使y是完全平方数是完全平方数D解解:=(x+1)C8/167.(1999年第年第10届希望杯届希望杯)若若 有一个因式是有一个因式是x+1,则则k=_.-58.(绍兴竞赛绍兴竞赛)若若2x+5y-3=0,则则 =_.9.(“英才杯英才杯”竞赛竞赛)a,b,c,d都是正数都是正数,且且则则a,b,c,d中中,最大一个是最大一个是_.10.(北京市竞赛北京市竞赛)若若则则 =_.8b-1209/1611.(1999年江苏年江苏)已知已知a,b,c,d是四个不一样有理数是四个不一样有理数,且且 ,那么那么 值为值为_.,提醒提醒:(a+c)(a+d)=1=(b+c)(b+d),(a-b)(a+b+c+d)=0 而而 ab,a+b+c+d=0,即即b+c=-(a+d)(a+c)(b+c)=-(a+c)(a+d)=-112.(广西)已知 ，则a，b，c大小关系是（）A.2ba+c B.2b=a+c C.2ba+c D.a+bc10/1613.(1997年上海年上海)已知已知 x-y-2=0 ,则则 -y 值为值为_.解解:将将 x-y-2=0,变形得变形得 x=y+2,=,得得 x-=3/2y,-y=3/2.11/1614.(1990年江苏竞赛年江苏竞赛)若若 ,且且mn,则则 =_.解解:把已知两式相减把已知两式相减,得得 mn m-n0,于是于是m+n=1 =m =m =m()=m(3m+2)=5m+3同理同理 =5n+3 =5(m+n)+6=5+6=1112/1615.在展开式在展开式 中中,系数是系数是1,x系数是系数是9,求整数求整数a,b值值.提醒提醒:直接展开直接展开,得到得到 与与x项系数项系数.所以所以 ab-a-b=1 b+ab=9 由由得得 (a-1)(b-1)=2,a,b为整数为整数,有有 a-1=1 a-1=2 a-1=-1 a-1=-2 b-1=2 b-1=1 b-1=-2 b-1=-1由由检验可知检验可知,a=2,b=3.13/1616.按以下规则扩充新数.已知a,b两数,可按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c,而a,b,c三个数中任取两数,按规则又可扩充得到一个新数,每扩充一个新数叫做一次操作,现有数1和4.(1)求按上述规则操作三次得到扩充最大新数;(2)能否经过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由.(1)第第1次只能得到次只能得到14+4+1=9,要得到最大新数要得到最大新数,第二次第二次应取应取4和和9,得到得到49+4+9=49,第三次应取第三次应取9和和49,得到得到949+9+49=499.即即499为扩充三次最大数为扩充三次最大数.(2)c=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1,c+1=(a+1)(b+1),取取数数a,c可得新数可得新数.d=(a+1)(c+1)-1=(a+1)(a+1)(b+1)-1=d+1=取数取数b,c可得新数可得新数e=(b+1)(c+1)-1=e+1=设扩充后新数为设扩充后新数为x,由上述可知由上述可知,总存在总存在当当a=1,b=4时时,又又 故故1999能够经过上述规则扩充得到能够经过上述规则扩充得到.14/16再见15/16；http:/ nqx37kop 熘土豆丝嘛，也是咱娘最拿手厨艺哇！”耿英瞪了弟弟一眼，说：“你奇怪什么啊？莫非说俺们这些年在南边儿吃过这些菜吗？”耿直突然明白了，说：“可不是耶！江南没有土豆啊？”尚武说：“听也不曾听说过呢！”耿老爹说：“这土豆其实很好种，预计江南也应该能种！你走时候带一些回去哇，试着种种！”尚武说：“唔，好好好，假如真能种得成，那可就太好啦！”大家一边吃饭，一边继续聊着。耿正看到小妹妹耿兰一直拘谨地坐在那里默默地吃饭，就站起来探手给她碗里夹一块儿红烧肉，亲切地说：“兰兰，这是爹、大哥、二哥和姐姐啊，你怎么不跟俺们说话呢？”看到耿兰红着脸不敢抬头看大哥样子，耿直摇着头说：“唉，兰兰啊，你忘记了吗？咱爹带哥哥姐姐和俺走之前，你可是二哥小尾巴呢！二哥在南边，像想娘一样想你”想起来离家一年之后那个八月十五夜里耿直哭着睡去情景，耿老爹、耿正、耿英和耿直都声噎了郭氏赶快说：“兰儿，你整天跟娘念叨爹和哥哥姐姐们，这会儿他们就在你眼前儿了，你倒是叫啊！爹、大哥、二哥和姐姐想听呢！”耿兰怯怯地低着头小声儿说：“俺很想叫呢，可俺就是”耿英含泪轻轻地推一推妹妹，小声说：“这是咱爹！你快叫啊！”耿兰慢慢地抬起头来，又怯怯地扭过头望着身旁慈爱爹爹正眼含热泪，满怀歉意和期待地看着自己她嗫嚅着，终于轻轻地叫了一声：“爹！”“哎！”耿老爹高兴地答应着，一串眼泪噗噜噜滚落下来。他顾不上抬手擦去眼泪，就低头在耿兰额头上轻轻亲了一下。看到妹妹转回头来看着哥哥耿正迟疑着，耿英又含泪低声儿催促她：“快叫大哥啊！”耿兰又轻轻地叫了一声：“大哥！”“哎！”耿正高兴地答应着，又往小妹妹碗里夹了一大块烤鸭！急性子耿直等不及了，说：“小尾巴，俺呢？”“二哥！”“哎！”耿直高兴地跳起来，满桌子寻找着说：“二哥看看俺小尾巴最爱吃什么？”耿英擦一把眼泪，笑着说：“行了哇小直子，你小尾巴碗里好吃多着呢，你就免了哇！”耿直也笑了，把胳膊搭在尚武肩膀上，歪着头说：“那二哥就送你一个更大礼品，叫三哥！”“三哥！”“哎！”尚武答应着，赶快站起身来给耿兰施礼！耿英忍不住笑出声来，说：“俺说三弟啊，你在咱家门口已经给妹妹施过礼了，哪来那么多礼节啊！快坐下吃饭哇！”尚武笑着坐下了。“姐姐！”“哎！”耿英大声答应着抱住妹妹，在她脸颊上“吧”地亲了一大口！郭氏擦去满脸泪水，高兴地说：“好啦，俺们兰儿好不轻易叫出口了！”说罢了，又转身招呼旁边桌上都停顿了吃饭董、耿两家人，高兴地说：“大家伙儿都快吃，这顿俺们等了快十年团圆面，咱们可一定要吃16/16