有理数域上的不可约多项式市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件.ppt

7.8 7.8 有理数域上不可约多项式有理数域上不可约多项式第七章第七章 多项式环多项式环1/15 本节讨论有理数域上多项式可约性，以及怎样求Q上多项式有理根，因为与 在 上可约性相同。所以讨论在Q上可约性可转化为求整系数多项式在Q上可约性。一、整系数多项式可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式系数互素，则称是一个本原多项式。比如：本原多项式加、减运算所得未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。是本原多项式。2/15引理（高斯定理）：两个本原多项式乘积仍是本原多项式。证：设都是本原多项式若 不是本原多项式，则存在素数p，使因为都是本原多项式，故系数不能都被p整除，系数 也不能被p整除，3/15可设但 但 现考虑除了这一项外，p能整除其余各项，所以这是一个矛盾，故 是本原多项式。定理 1：一个整系数n（n0）次多项式在有理数域上可约充要条件是它在整数环上可约。4/15证：充分性显然。下证必要性。设可分解成中两个次数都小于n多项式与 乘积，即有设 系数公分母为m，则一个整系数多项式，把是系数公因式n提出来，是本原多项式，即 同理，存在有理数S，使也是本原多项式，5/15于是下证是一个整数，设（p,q互素且p0），因为是整系数多项式，故p能整除q与每一系数乘积，而p,q互素，故p能整除每一系数，但由引理1知，是本原多项式，故p=1，从而rs是一个整数。6/15 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根二次多项式，Q上不可约多项式特征是什么？下面Eisenstein判别法回答了这个问题。问题定理 2（Eisenstein判别法）：设是整系数多项式，若存在素数p，使 则 在Q上不可约。7/15证（反证法）：若在Q上可约在Z上可约，即存在：使 其中故 或 但二者不能同时成立。8/15不妨设但 。因为 ，由 知 系数不能都被p即但 现考虑但p能整除其它项，故与已知矛盾。假设是第一个不能被p整除系数，整除，在 中不可约在 中不可约。9/15 由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。例1 是Q上不可约多项式，p是素数。例2 判断在Q上是否可约？解：分别取p=2,p=3即知。解：取素数p即知。10/15Eisenstein是判别多项式在Q上不可约充分条件，但不是必要条件。注意：例：不可约，但找不到素数p。系数多项式。尤其地，若是本原，则也是本原。推论：设若 都是整系数多项式，且是本原，则必是整全部系数。）（若不是11/15二、整系数多项式有理根定理 3：设是一个整系数多项式，若有理数是整系数多项式一个根，这里u，v是互素整数，则证：（1）是 根，有一次因式12/15即 因为是本原多项式是整系数多项式，故是整系数多项式。（2）设是整数。比较两边n次项与常数项系数得：13/15 由定理 3，要求整系数多项式有理根，只要求出最高次项系数因数以及常数项因数。然后对形如有理数用综合除法来检验，假如最高次系数为1，则整系数多项式f有理根只能是整根。这么例 3 求有理根。解：2因数是因数是故 可能有理根只能是对 用综合除法逐一检验知：有理根只能是 。14/15定理 4：设是互素整数，且是整系数多项式根，则证：由把 代入得：15/15