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如何培养学生的数学解题能力
安庆田中 刘 进
摘 要：
几年来，我多次参加了由市教研室组织的中考阅卷工作。在阅卷过程中，我注意到许多考生的解题能力存在着一定的问题，主要表现为：一是审题不清，不该错的错了；二是理题混乱，不求灵活简洁；三是表述草率，漏洞百出。看到这些问题，联系实际，我想就自己在平时课堂教学的片断当中，对学生在审题、理题、表达和反思等方面，谈谈自己对学生解题能力的培养。
关键词： 审题、理题、表达、反思
正 文：
我从教已经整整十个年头了，教过的学生几近千人。他们中有的平时成绩很好，可是一到考试，尤其像中考这样的重要的场合，往往不能发挥出应有的水平。他们的这些状况，让我想到自己做学生的经历，那时总记得一味的埋怨自己不细心、不小心。其实，要解决这种“学与考”的矛盾，已是教师的我认为，一定要从平时的教学中培养学生的审题、理题、表达和反思等环节入手，才能将平时的学识积累在实战中得以爆发，因为一个好的解题是分不开这些环节的。
一、要培养学生有仔细审题的习惯，不要惧怕学生的错误。
我们知道当一个问题提出来，审题目的就是要求学生弄清题目的两个组成部分：条件和结论，然后解决它。这是一件说起来简单，做起来挺难的一件事。记得，我刚走入课堂时，上课的速度很快，一节课能讲六、七个大小例题。当时想的就是争取多讲些例题，让学生多见识点各种类型的题型。在我看起来容易的地方，往往一带而过，有时几乎干脆不讲。结果呢？在每次考试后，许多学生（甚至是一部分程度比较好的学生）在我们认为只要稍稍细心点，决不会错的一些细节上老是丢分，有时候自己都想不通为什么这些学生怎么这样粗心？甚至在平时反复强调的东西，一到考试总有相当部分的学生偏偏出错。例如：刚上完分式方程的内容后，我在布置数学课堂作业时，惟恐学生出错，连忙提示说：“同学们，这两道方程都是什么方程？”“分式方程！”“有个地方需要大家注意，分式方程要检验哦！”我想学生们经过我的一番提醒，应该都能解对，更何况这两道方程都不难。可结果是在我巡视后，竟然有半成的学生仅仅停留在解出正确的答案，而都忘记了检验。白强调了！这是为什么？太恐怖了！真是朽木不可雕也？我一直在思考这个问题。一次，在讲解这样的一个问题时，却彻底地让我认识到所有的学生都是“可镂的金石”。这个问题是：已知方程 的两个实根是，求 的最大值。
不少同学都由韦达定理，求得得出有最大值19的结论。然而，这是一个错误的结论。事实上，从方程的根判别式△≥0中，容易得到△=（k-2）2-4（k2+3k+5）≥0即-12≤3k≤-4，此时k取不到－5这个值，这样，只能取，的最大值应是18。解题的过程中容易忽视隐含条件——k的取值范围！正当我又想提醒大家时，一个念头闪过：为什么怕他们出错？我们教师引导学生读题、分析，目的就是让他们自己去发现错误！许多学生果然又出现了漏考虑方程的根判别式△的问题，他们都想急切地知道结果，问我正确答案。当我说出正确答案时，他们都感到惊讶？明明自己做法是“天衣无缝”的，可为什么与老师的答案不一样呢？看着他们又重新将题目读起来，又重新分析起来，我真的认为我刚才的念头简直就是“灵光一现”，感到非常兴奋！终于经过他们的深思熟虑之后，纷纷表示自己粗心，漏考虑了方程的根判别式△。也奇怪，在后面一元二次方程的章节测验中，全班成绩中上等的同学，竟然都没有再犯这样的错误，因为他们自己意识到遇到一元二次方程的问题，“要优先考虑△了”。我想如果当初又是我“善意”的提醒，可能到了考试暴露问题时，自己感到又很委屈，总会又是一句“那么强调都记不住，你们还有什么题能做对呢？”，殊不知，真正的委屈者是学生。这样的经历，让我发现本应该由他们自己先去尝试的问题，也许就是每次我们“善意”的提醒，让自己的学生失去了仔细审题的机会，是我们使得学生成了一个“委屈者”。要知道这样做，实际上你正在抹杀学生审题的权利！久而久之，大部分学生养成了等待老师的提醒，等待老师的分析，等待老师的讲解，成了清闲者、局外人。这样的学生从不犯错误，没了思考的积极性，又如何养成仔细审题的习惯呢？所以留给他们思考问题的时间，不要怕他们出错，也许正是他们的错误，反而可以促使他们养成了良好的审题习惯。
二、要培养学生学会理题，学会对解题思路进行优化。
从去年的中考试卷看，许多考生在解决一些问题时，思路混乱，过程迷茫，让阅卷老师不知所云。我认为“一题多解、数形结合”，对于改变这种状况，不失为一种好办法。所谓一题多解，就是同一个题目，因思考的角度不同，可得到多种不同的思路，广阔寻求多种不同的解法，有助于拓宽解题思路，在深思对比中挑选出最佳的解题方法。例如，在讲解八年级数学基础训练上的一个计算题：
若x＝，求x5＋x4－10x3－10x2＋x＋3的值？
我是这样做的：首先让学生自己仔细的去审题，独立的思考五分钟。在巡视的过程中发现部分学生直接代入，草稿纸上密密麻麻。此时，不失时机的故意找数学课代表回答他的结果，当然是没法解出来！
然后我在指出直接代入，考虑到计算量过大，不可取！接着提出解题的思路①：
x＝＝，那么x2＝5－2，
原式＝x5－10x3＋x4－10x2＋x＋3
＝x3（x2－10）＋x2（x2－10）＋x＋3
＝x2（x＋1）（x2－10）＋x＋3
＝－（5－2）（5＋2）（x＋1）＋x＋3
＝－（x＋1）＋x＋3
＝2。
同学们在弄懂后，纷纷表示这种做法有点麻烦！希望还有别的简便的解法。这时候我再提示同学们注意②：
原式＝x5＋x4－10x3－10x2＋x＋1＋2
＝x4（x＋1）－10 x2（x＋1）＋（x＋1）＋2
＝（x＋1）（x4－10x2＋1）＋2
＝（x＋1）＋2
＝（x＋1）（49－20－50＋20＋1）＋2
＝2。
在看到大家似乎对自己听懂这题感到满足时，我又让大家计算一下的值，大家带着疑云解了起来，很容易得出答案为10，这时数学课代表脱口而出：“太容易了！老师我知道了另一种解法！”我看过以后，给予了肯定。同时让他上黑板板书给大家看③：
原式＝x5＋x4－10x3－10x2＋x＋3
＝x5＋x4－（）x3－（）x2＋x＋3
＝x5＋x4－x5－x－x4－1＋x＋3
＝2。
通过这节课学生解决这道题的实际表现看，一题多解不仅可以营造课堂气氛，而且还能改变不少学生对题意的理解，对条件的充分利用。让他们在纠正错误解题思路的同时，挑选出最佳解题方法。
同时，数形结合也是帮助学生学会理题的一个好的方法。有时一个纯代数的问题，乍看起来，似乎与一个几何图形没有一点具体的内在联系，但通过仔细的分析、比较之后，能让学生切实感受到它们存在着一定的必然的联系，更能体会到在具体问题中转化思想的应用，从而促使他们在理题时，从不同的角度、不同的侧面不断地改变解题方向，养成解题之前先把理题思路进行优化。在此我举一实例说明数形结合确实能帮助学生学会理题：在讲解 “勾股定理”这一章的过
程中，八年级（1）班章可同学就遇到了这样的一个问题：求的最小值。我并不急于解释给她听，反而先让她回忆以前学过的知识，联想正在学习的知识或类似较为熟悉的问题与之进行比较，设法建立联系，逐步把隐含的数学关系明朗化。以下是我和她的谈话：“首先，勾股定理是从图形中得出的，这个问题出现在勾股定理这一章中，肯定要结合图形，将“数”向“形”进行转化。我们可以构造这样的两个直角三角形，如图1则AP＋BQ＝”接着，我又进一步向她提出问题：“能否将两个三角形通过平移，使得E、P、Q、F在一条直线上，并且P、Q点重合？”她似乎明白了些什么，说：“行！这样以来和上学期学过的一个图形非常像。”“对！在什么问题上有如图2这样的图形还记得吗？”
“嗯！是《放羊饮水》的问题！”“显然，≥AB＝=13”。看着她满意的离开，让我感觉到一个似乎非常棘手的问题，通过我们的分析不仅可以让学生能很快的学会理题，利用以往的知识对问题进行迁移、梳理，而且对于师生的感情的交流，也是一种非常好的融合方法。
三、清晰的板书，可以培养学生的书面表达能力。
任何数学题的解答叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范。想让学生在考试过程中，能把数学的解答简洁而又严谨地叙述出来，是一门有着较高的能力要求的艺术。正确、合理、严密、清楚的书面表达，又是我们学生必须掌握的能力。所有这些能力的培养有一个渐进的过程，非蹴而就。我认为：清晰的板书胜过精彩的分析，特别是在几何证明中。如：正△ABC内有一点P到△ABC三个顶点的距离分别为1、、2，如图3所示，求证：正△ABC的边长为。
分析：本题中P到△ABC三个顶点的距离分别为1、、2，而这三个数值如果在一个三角形中，正好可以利用勾股定理逆定理说明这个三角形是一个直角三角形，于是想到了可以构造一个三角形，然后证明它是直角三角形，如图4所示。
证明：以BP为边在的外部作连接AD
（交待作辅助线的具体作法，一般要求在证明之初就要讲清！）
∵正△BPD和正△ABC
∴∠ABC=∠DBP=60°，
AB=BC，DB=PB=
∴∠PBC=∠DBA（等式的性质）
∴△PBC≌△DBA（ASA）
∴AD=PC=2（等量代换）
∴在△ADP中，AP2+DP2
=12+（）2=22=AD2
∴△ADP为直角三角形
（这是勾股定理的逆定理！！！）
∵AD=2=2AP
∴∠ADP=30°（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半）
∴∠ADP+∠DBP=30°+60°=90°
∴△ADB为直角三角形
在Rt△ADB中，
AB2=AD2+DB2
=22+（）2
=7（这是勾股定理！！！）
∴正△ABC的边长为
可见一道好的习题，讲的好固然非常重要，学生弄懂了，似乎我们这节课的任务也就完成了，实际上我们应该通过规范的课堂板书，教会学生一个道理，那就是：你弄懂了还是远远不够的，关键在于你要把你弄懂了的东西用数学语言表达出来，让别人也看得懂才行！简而言之，就是“弄懂了” 并不等于“弄透了”！
四、要培养学生养成解后反思的习惯，学做“事后诸葛亮”。
俗话说“遇事要三思而后行！”解后反思实际上是知识再积累的过程，能促进学生的理解从一个水平升到更高的水平，促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，从而深化对问题的理解。所以，我认为事情发生后，能够做到“事后诸葛亮”也是一种能力的表现。在复习三角形三线（高线、角平分线、中线）这个知识点时，很多学生都认为这个知识点太简单，“三角形的三条高所在直线、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点，”“等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线合一”，早已烂熟于心，但一解题还是要出错。例如去年中考试卷第12小题：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于 。这道试题我在对初二的学生进行训练时，有学生错解：30°。错误的原因就是这位同学没有认真理解“三线”这个知识点，他认为“三线”都在三角形内部。我通过让大家反思、讨论，最终使学生们（包括这位同学和没有做出来的学生）对“三线” 这个知识点有了进一步理解，发现三角形的内心（即角平分线的交点）肯定在三角形内部，三角形三条中线的交点也肯定在三角形内部，但三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在外部或其中一个顶点上，于是得出了正解：当△是锐角三角形时，顶角=30° ；当△为钝角三角形时，顶角=150° 。继续通过对此题的进一步反思，学生们又发现了三角形的外心（即三边垂直平分线的交点）也有三种可能位置。可见，“马后炮”也是一着好棋。我想，通过不断进行这样的反思训练，就能够起到对学生知识再积累的目的，养成全面思考，善于分析的习惯。还有在对去年的中考试卷进行分析后，我发现解后反思还可以起到缓解考试时心理压力的作用。许多的考生由于对中考试卷上的新题型感到陌生而失分，导致失分的原因大致分为两类：1、直接原因是学生自身知识所限，对所问的内容一无所知。2、间接原因是心理定势的反作用，使解题时学生经常机械地照搬过去的经验，去解决类似的问题，缺乏思维的灵活性。当然还有一个造成部分成绩相对比较好的同学失分的原因就是考试时间紧迫，心里紧张，头脑一时发生了短路，从而造成发挥失常。所有这些造成失分的原因就是这一部分的学生平时对数学问题解后没有进行很好的反思，从不相信“事后”也能出一个“诸葛亮”的缘故。如果我们平时加强对某一类问题的反思训练，使学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，知道解题时要多层面、多角度地去观察、去尝试，那么考试的时候，这些平时的“事后诸葛亮们”就能够冷静地思考、分析，当然也就不会感到考试心理压力过大了。
学生数学解题能力的培养，任重而道远。然，拙见难登大雅！而我，只能为学生的点滴成功而鼓掌、喝彩！

参考文献：
【1】田万海，《谈解题能力》，浙江教育出版社，2007年。
【2】顾泠沅，《有效改进学生的学习》，《数学通讯》2008年第一期
【3】林国泰，《中学数学思想方法概论》，暨南大学出版社，2000年。
【4】王 生，《特级教师教学优化设计》，江苏教育出版社，2007年。
【5】 张奠宙、赵小平，《数学教学》，《数学教学》2000年第6期
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