第四节幂函数与二次函数.doc

第四节 幂函数与二次函数
知识清单
1、幂函数的定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中底数是自变量，为常数.
2、常用幂函数的图像与性质

图像

定义域

值域

奇偶性

单调性

公共点

3、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
一般式： 顶点式： 两点式：
（2）二次函数的图像与性质
知识拓展
1、幂函数图像的特点
（1）幂函数的图像一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；
（2）幂函数的图像最多只能经过两个象限；
（3）如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一点是原点.
2、与二次函数有关的不等式恒成立问题
（1）（）恒成立的充要条件是；
（2）（）恒成立的充要条件是.
3、函数的对称轴
（1）对于函数定义域内所有的，都有，则函数的图像关于对称.
（2）若二次函数对定义域内所有都有，则对称轴为．
4、二次函数最值的类型及解法
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．
考点一、幂函数
1、若是幂函数，且满足，则

2、若幂函数的图像经过点，则的单调减区间为

考点二、求二次函数解析式
1、设二次函数满足且图象在轴上的截距为，在轴上截得的线段长为，求的解析式.

考点三、二次函数的图像与性质
1、平面直角坐标系中，设定点，点是函数（）图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为
2、已知函数与直线相切于点，若对任意的，不等式恒成立，则满足条件的所有实数组成的集合为

考点四、二次函数的综合应用
1、已知函数，且，.
（1）求的值；
（2）已知定点，设点是函数（）图像生任意一点，求的最小值，并求出此时点的坐标.

2、已知函数（）.
（1）若函数的最小值为，且，，求的值；
（2）若，，且在区间上恒成立，求实数的取值范围.

综合测试
1、若幂函数的图像经过点，则

2、若幂函数为偶函数，且在上为减函数，则整数的值为

3、函数在上是增函数, 则实数的取值范围是___________

4、若函数在上是减函数，则实数的取值范围是___________

5、函数在区间上最大值为，则实数_________

6、已知函数与轴相切，若直线与分别交的图像于四点，且四边形的面积为，则正数的值为

7、设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是，集合.
（1）若,且,求和的值；
（2）若，且，记，求的最小值.

8、设函数，.
（1）对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意恒有，求实数的取值范围.

9、已知二次函数满足：对任意实数，都有，且当时，有成立．
（1）求；
（2）若，求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，设，，若图象上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围．