高三数学第二轮专题讲座复习：等差数列、等比数列性质的灵活运用.doc

高三数学第二轮专题讲座复习：等差数列、等比数列性质的灵活运用
高考要求
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容
重难点归纳
1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用
2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形
3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果
典型题例示范讲解
例1已知函数f(x)= (x<－2) (1)求f(x)的反函数f-－1(x);
(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由
命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，考查学生的逻辑分析能力
知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题
错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{}为桥梁求an,不易突破
技巧与方法 (2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想
解 (1)设y=,∵x<－2,∴x=－,即y=f－-1(x)=－ (x>0)
(2)∵，∴{}是公差为4的等差数列，
∵a1=1, =+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=,由bn<,得m>,
设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<成立
例2设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)
命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力
知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解
错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方
技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一 设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
化简得
设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)
=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n
可见，当n=时，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5项和最大
解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,
∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，
令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5 5
由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大
例3　等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________
解法一由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）将Sm=30,S2m=100代入，得
,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
解法二根据等差数列性质知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，
从而有 2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210
解法三 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210
学生巩固练习
1 等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于( )
C 2 D －2
2 已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<logm(ab)<1,则m的取值范围是_________
3 等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________
4 已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_________
5 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由
6 已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列
a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求
参考答案:
1 解析 利用等比数列和的性质 依题意，，而a1=－1,故q≠1,
∴,根据等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数列，
且它的公比为q5,∴q5=－,即q=－ ∴答案 B
2 解析 解出a、b,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)
3 解析 利用S奇/S偶=得解答案 第11项a11=29
4 解法一 赋值法 解法二 b=aq,c=aq2,x=(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q),
==2答案 2
5 (1)解 依题意有 得公差d的取值范围为－＜d＜－3
(2)解法一 由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为 ak≥0且ak+1＜0,即∵a3=12,∴，∵d＜0,
∴2－＜k≤3－∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5 5＜k＜7
因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大
6 解 (1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,
∵d≠0,∴a1=2d,数列{}的公比q==3,
∴=a1·3n－1 ①
又=a1+(bn－1)d= ②
由①②得a1·3n－1=·a1 ∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1
(2)Tn=Cb1+Cb2+…+Cbn
=C (2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C(2·3n－1－1)
=(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C)
=［(1+3)n－1］－(2n－1)= ·4n－2n+,

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