3-格林函数法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

经典格林函数法，又称为点源函数法或影响函数经典格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。法。实际上，希尔伯特空间中实际上，希尔伯特空间中S-L系统（微分算子方系统（微分算子方程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中我们能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林我们能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程表述转化为积分方程，进而函数，也就将微分方程表述转化为积分方程，进而得到问题求解。得到问题求解。格林函数与格林定理格林函数与格林定理第1页有源有源电磁场问题要求解电磁场问题要求解非齐次非齐次波动方程，格林函数法波动方程，格林函数法是其中一个主要求解方法。是其中一个主要求解方法。格林函数表示单位强度点源产生场，是非齐次波动方格林函数表示单位强度点源产生场，是非齐次波动方程基本解。程基本解。在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布源所产生在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布源所产生场。场。假如源分布是未知，也可借助格林函数建立积分方程，假如源分布是未知，也可借助格林函数建立积分方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，从而有将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，从而有利于用数值方法对问题进行求解利于用数值方法对问题进行求解.确定论问题边值问题第2页格林函数法主要特点是：格林函数法主要特点是：1）直接求得问题特解，（它不受方程类型和边）直接求得问题特解，（它不受方程类型和边界条件局限），界条件局限），2）通常结果用一个含有格林函数有限积分表示，）通常结果用一个含有格林函数有限积分表示，物理意义清楚，便于以统一形式研究各类定解问题；物理意义清楚，便于以统一形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就能）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就能够算出任意源场，这么将一个复杂求解问题，就转换够算出任意源场，这么将一个复杂求解问题，就转换为关键是求解点源相对简单问题。为关键是求解点源相对简单问题。第3页1、点电荷密度、点电荷密度函数表示函数表示(1)、函数函数(x0)(积分区域积分区域V包含包含x=0点点)(x=0)函数函数-密度函数密度函数第4页(2)函数一个主要性质函数一个主要性质若若 f(x)在在x点附近连续，则点附近连续，则同理，若同理，若 f(x)在原点附近连续，则在原点附近连续，则这一性质称为这一性质称为函数选择特征函数选择特征。第5页处于原点上处于原点上单位点电荷单位点电荷密度用函数密度用函数(x)表示表示(3)点电荷电荷密度点电荷电荷密度处于原点上处于原点上点电荷点电荷Q密度可用密度可用Q(x)表示表示,即即(积分区域积分区域V包含包含x=x点点)(xx点点)处于处于x点上点电荷点上点电荷Q密度可用密度可用Q(x-x)表示表示,即即第6页2、格林函数引入格林函数引入Green函数是与理想点源相联络。函数是与理想点源相联络。详细地说，详细地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程解函数是理想点源在给定边界条件下微分方程解答。答。用用Green函数求解电磁场是场论中主要方法之一。函数求解电磁场是场论中主要方法之一。当给定边界条件当给定边界条件Green函数比较轻易求得时，利用函数比较轻易求得时，利用Green函数计函数计算分布场源解答经常是方便。算分布场源解答经常是方便。借助于相关点电荷较简单边值问题处理较复杂边值问题。借助于相关点电荷较简单边值问题处理较复杂边值问题。第7页静态场时，位于原点静态场时，位于原点点电荷点电荷q在自由空间产生标量电位为在自由空间产生标量电位为式中，式中，G为静态场自由空间为静态场自由空间Green函数。函数。上式表明，格林函数上式表明，格林函数G将将电电荷与荷与电电位位联络联络起来。起来。利用格林函数，分布电荷标量位为利用格林函数，分布电荷标量位为场与源电荷源第8页时谐场中，位于原点时谐场中，位于原点电流元电流元Idl在自由空间产生矢量磁位为在自由空间产生矢量磁位为位于原点位于原点磁流元磁流元Imdl在自由空间产生矢量电位为在自由空间产生矢量电位为式中式中，G为为交交变场变场中自由空中自由空间间格林函数。格林函数。利用格林函数，分布电流和磁流矢量位为利用格林函数，分布电流和磁流矢量位为电流源第9页3、格林函数普通概念、格林函数普通概念定义：纯点源产生场定义：纯点源产生场（不计初始条件和边界条件影响）。（不计初始条件和边界条件影响）。例子：例子：G=(r-r)，G|=0(t a2)G=(r-r)(t-t)，G|=G|t=0=0普通形式普通形式L G(xi)=(xi-xi)G|边界边界=G|初始初始=0第10页分类：分类：按泛定方程能够分为：按泛定方程能够分为：稳定问题格林函数稳定问题格林函数 L=热传导问题格林函数热传导问题格林函数 L=(t a2)波动问题格林函数波动问题格林函数 L=(tt a2)按边界条件能够分为按边界条件能够分为无界空间格林函数，又称为基本解；无界空间格林函数，又称为基本解；齐次边界条件格林函数。齐次边界条件格林函数。第11页格林函数格林函数稳定问题稳定问题G=(r-r)输运问题输运问题(t a2)G=(r-r)(t-t)G|t=0=0波动问题波动问题(tt a2)G=(r-r)(t-t)G|t=0=0Gt|t=0=0无界空间无界空间泊松方程基本解热传导方程基本解波动方程基本解齐次边界齐次边界G|=0泊松方程格林函数热传导方程格林函数波动方程格林函数第12页性质：性质：设数学物理方程为设数学物理方程为 L u(x)=f(x)而格林函数方程为而格林函数方程为 L G(x)=(x-x)在相同齐次定解条件下在相同齐次定解条件下因为：因为：f(x)=f(x)(x-x)dx所以：所以：u(x)=f(x)G(x-x)dx应用（求解数学物理方程格林函数法）应用（求解数学物理方程格林函数法）范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件程序：先求出对应格林函数，再积分得待求函数程序：先求出对应格林函数，再积分得待求函数格林函数是为了求解实际问题格林函数是为了求解实际问题泊松方程而泊松方程而找到特殊函数，不找到特殊函数，不一样实际问题对应不一样格林函数。一样实际问题对应不一样格林函数。第13页4、稳定问题基本解、稳定问题基本解原问题点源问题点电荷电场方程解稳定问题基本解能够利用静电场类比法得到稳定问题基本解能够利用静电场类比法得到第14页原问题原问题点源问题点源问题关系关系n基本思绪基本思绪第15页求解方法求解方法稳定问题格林函数也能够利用静电场类比法得到。稳定问题格林函数也能够利用静电场类比法得到。点源问题能够看成接地导体边界内在点源问题能够看成接地导体边界内在 r 处有一个电处有一个电量为量为-0 点电荷。点电荷。边界内部电场由点电荷与导体中感应电荷共同产生。边界内部电场由点电荷与导体中感应电荷共同产生。在一些情况下，导体中全部感应电荷作用能够用一在一些情况下，导体中全部感应电荷作用能够用一个构想等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷电个构想等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷电像。像。这种方法称为这种方法称为电像法电像法第16页例题例题在半空间内求解稳定问题格林函数在半空间内求解稳定问题格林函数解：依据题目，定解问题为解：依据题目，定解问题为 这相当于在接地导体平面上方点这相当于在接地导体平面上方点 M(x,y,z)处放处放置一个电量为置一个电量为-0 点电荷，求电势。点电荷，求电势。构想在构想在M对称点对称点 N(x,y,-z)处放置一个电量为处放置一个电量为+0 点电荷，轻易看出在平面点电荷，轻易看出在平面 z=0上电势为零，上电势为零，这表明在这表明在N点点电荷就是电像。点点电荷就是电像。第17页依据点电荷电势公式，我们不难得到格林函数依据点电荷电势公式，我们不难得到格林函数第18页一个处于一个处于x x点上单位点电荷所激发电势满足泊松方程点上单位点电荷所激发电势满足泊松方程若方程解满足第一类边界条件若方程解满足第一类边界条件 ，则方程解就叫做，则方程解就叫做第第一类边值问题格林函数一类边值问题格林函数。5、泊松方程泊松方程格林格林函数函数若方程解满足第二类边界条件若方程解满足第二类边界条件 则方程解则方程解就叫做就叫做第二类边值问题格林函数第二类边值问题格林函数。格林函数普通用格林函数普通用G表示，则表示，则G所满足微分方程为：所满足微分方程为：第19页格林格林函数与实际问题对应关系：函数与实际问题对应关系：格林函数格林函数:实际问题实际问题:求解区域求解区域V内内：已知已知(x)方程：方程：边界边界S上：上：已知已知令令令令已知已知第20页在无界空间中在无界空间中x点上放一个单位点电荷，激发电点上放一个单位点电荷，激发电所以，无界空间格林函数为所以，无界空间格林函数为常见几个常见几个格林格林函数：函数：（1）无界空间格林函数。）无界空间格林函数。势为势为:第21页 当当Q1时时，可可得得上上半半空空间间第第一一类类边边值值问问题题格格林林函函数。数。以以导导体体平平面面上上任任一一点点为为坐坐标标原原点点，设设点点电电荷荷所所在在点点坐坐标标为为(x,y,z)，场场点点坐坐标标为为(x,y,z)，上上半半空空间间格格林函数为：林函数为：（2）上半空间格林函数。）上半空间格林函数。第22页（3）球外空间格林函数。）球外空间格林函数。以以球球心心O为为坐坐标标原原点点。设设电电荷荷所所在在点点P坐坐标标为为R，场场点点P坐标为坐标为R。yzxRRR0ro第23页其中：其中：依据镜象法得依据镜象法得第24页由上分析可知，普通自由空间格林函数为标量，量纲为由上分析可知，普通自由空间格林函数为标量，量纲为1/m1/m。它它们们将将电电荷、荷、电电流和流和电电位、磁位位、磁位联络联络起来。起来。在线性系统理论中，系统冲击响应函数含有非常主要地位。在线性系统理论中，系统冲击响应函数含有非常主要地位。在某种意义上，格林函数具备系统冲击响应函数特征。在某种意义上，格林函数具备系统冲击响应函数特征。所以许多近代电磁场问题能够借助于格林函数，采取线性系所以许多近代电磁场问题能够借助于格林函数，采取线性系统理论方法来分析。统理论方法来分析。第25页对 jDf应用高斯定理，可得标量第一格林定理第一格林定理相减，可得标量第二格林定理 6、标量格林公式、标量格林公式第26页7、矢量格林公式、矢量格林公式对区域对区域V中任意两个矢量场中任意两个矢量场P和和Q，对，对P(DQ)应用高应用高斯定理，可得矢量第一格林定理斯定理，可得矢量第一格林定理若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理第27页格林定理说明格林定理说明区域中场区域中场与与边界上场边界上场之间关系。所以，利之间关系。所以，利用格林定理能够将区域中场求解问题转变为边界上场求用格林定理能够将区域中场求解问题转变为边界上场求解问题。解问题。另外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满另外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足关系。所以，假如已知其中一个场分布特征，即可利足关系。所以，假如已知其中一个场分布特征，即可利用格林定理求解另一个场分布特征。用格林定理求解另一个场分布特征。第28页先考虑第一类边值问题先考虑第一类边值问题，设，设V内有电荷分布内有电荷分布，边界边界S上给定电势上给定电势|s，求，求V 内电势内电势(x)。设区域内有两个函数设区域内有两个函数(x)和和(x)，格林公式，格林公式:取取(x)为实际问题解，满足泊松方程为实际问题解，满足泊松方程 8、格林公式与边值问题解、格林公式与边值问题解第29页取取(x)为格林函数为格林函数G(x,x)，将，将x与与x交换，则交换，则有有 这就是用这就是用Green函数求解静电问题一个形式解。函数求解静电问题一个形式解。d第30页所以第一类边值问题解为所以第一类边值问题解为由这公式，只要知道格林函数由这公式，只要知道格林函数G(x,x)，在给定边，在给定边界上界上|s值情形下就可算出区域内值情形下就可算出区域内(x)，因而第一，因而第一类边值问题完全处理。类边值问题完全处理。在在第一类边值问题第一类边值问题中，格林函数满足边界条件中，格林函数满足边界条件第31页对对第第二二类类边边值值问问题题，因因为为G(x,x)是是x点点上上单单位位点点电电荷荷所所产产生生电电势势，其其电电场场通通量量在在边边界界面面S上上应应等于等于1/0，即，即 满足上式最简单边界条件是满足上式最简单边界条件是第32页所以，第二类边值问题解所以，第二类边值问题解其中其中s是电势在界面是电势在界面S上平均值。上平均值。第33页1.12 并矢和并矢格林函数并矢和并矢格林函数在数学、物理和工程技术中引入矢量分析之后在数学、物理和工程技术中引入矢量分析之后,使一些使一些复杂标量式用较简单矢量式来描述。复杂标量式用较简单矢量式来描述。而对于一些更复杂物理量而对于一些更复杂物理量,如应力、各向异性媒质介电如应力、各向异性媒质介电常数或导磁率等常数或导磁率等,使用张量来描述很方便使用张量来描述很方便,这些量在三这些量在三维空间坐标中是以二阶张量形式来表示。维空间坐标中是以二阶张量形式来表示。张量：满足某种坐标转换关系有序数组成集合。张量：满足某种坐标转换关系有序数组成集合。1、并矢、并矢第34页并矢并矢(式式)实际上是三维空间坐标中二阶张量一实际上是三维空间坐标中二阶张量一个特殊形式个特殊形式,其定义是两矢量或两矢性函数按其定义是两矢量或两矢性函数按一个特定规律组合一个数学形式一个特定规律组合一个数学形式,记为记为 ，其，其定义式为定义式为第35页任意两个矢量任意两个矢量a、b并写在一起，并写在一起，ab称为称为并矢并矢，即，即张量积张量积任意电流源任意电流源(或磁流源或磁流源)所引发场都能够表示成并所引发场都能够表示成并矢形式。矢形式。第36页2、并矢格林函数、并矢格林函数自由空间并矢格林函数定义为自由空间并矢格林函数定义为利用并矢格林函数，有利用并矢格林函数，有于是，并矢格林函数将电流密度于是，并矢格林函数将电流密度J、磁流密度、磁流密度Jm和电场和电场E直接联直接联络起来。络起来。当散射场是各媒质、各面、各方向电流元叠加，可采取并当散射场是各媒质、各面、各方向电流元叠加，可采取并矢格林函数。矢格林函数。如采取并矢格林函数可简练表示任意偶极源如采取并矢格林函数可简练表示任意偶极源(电偶极源或磁电偶极源或磁流源流源)所引发场。所引发场。第37页